Qualche quiz

[aspesi]

astromauh

Se è giusto il calcolo di quest'altro, vuol dire che lui ha considerato che la Terra è una sfera, mentre Erasmus aveva semplificato il problema considerando la Terra piatta.

La distanza minima tra due punti, è il segmento della retta passante tra questi due punti. La nave B percorrendo una rotta curvilinea, arriva nel punto della minima distanza, in un tempo maggiore rispetto a quello che impiegherebbe per arrivare allo stesso punto seguendo una rotta diritta.

Certo, questo può essere il motivo per cui la distanza minima trovata da Erasmus è leggermente inferiore.
Però, è strano che il tempo (e la distanza percorsa) siano maggiori...

[Erasmus]

astromauh

Se è giusto il calcolo di quest'altro, vuol dire che lui ha considerato che la Terra è una sfera, mentre Erasmus aveva semplificato il problema considerando la Terra piatta.

Ma se considero la Terra sferica, che significa una rotta da W a E?
Vuol dire seguire un parallelo, quindi non andare lungo una geodetica (che su una superficie curva è la linea a distanza minima da due suoi punti qualsiasi, e su una sfera è un cerchio massimo).
Se la nave A continua ad andare da W a E su un cerchio massimo, allora sta percorrendo un tratto di Equatore. Diversamente, non può continuare ad andare da W a E se non percorrendo un parallelo. Ma in questo caso il problema non è solubile perché la traiettoria della nave A dipende dalla latitudine (di cui nel testo del problema non c'è traccia!)

astromauh

La distanza minima tra due punti, è il segmento della (retta) geodetica passante tra questi due punti. La nave B percorrendo una rotta curvilinea, arriva nel punto della minima distanza, in un tempo maggiore rispetto a quello che impiegherebbe per arrivare allo stesso punto seguendo una rotta diritta.

Dici bene!
[Ho corretto da "retta" a "geodetica" (linea equivalente alla retta in una superficie curva)].

astromauh

Quindi se la nave arriva in questo punto seguendo una rotta curvilinea, è perchè non può seguire una rotta diritta su una superficie sferica. Le navi sono più grandi dei neutrini!

Qui non ti capisco.
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Comunque, l'errore dovuto a confondere la superficie sferica con una piana (per angoli al centro minori di un grado.... dato che 100 km sulla sfera di raggio [40.000/(2π)] km hanno angolo al centro 0,9 gradi) è molto piccolo.
Certamente minore di quello che c'è tra 45, 6 e 45,033.
Quindi ... lil valore della distanza minima del Tizio che fa fare alla nave B la traiettoria curva che si ha puntando a vista sempre sulla nave A è comunque più grande di quello che sarebbe il mio errore se la risposta giusta fosse solo quella di correggere segmenti con archi di cerchio massimo.
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Solo nel primo tratto la nave B, se punta verso A, riduce la distanza.
All'inizio passo la riduzione è massima (andando B perpendicolarmente alla velocità della nave A). Ma poi cala progressivamente. Per continuare a puntare su A, la nave B deve continuare a curvare a destra. Quando ha fatto una curva globalmente di un certo angolo "phi", la velocità di A ha ancora una componente trasversale rispetto alla direzione della velocità di B, ma anche una longitudinale, cioè nella direzione della velocità di B . Fatti i conti, la distanza riprende ad aumentare quando
tan("phi) = 1/2
cioè "phi" ≈ 26,56 gradi.
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Mi convinco sempre più che quella della traiettoria curva della nave B è ... una soluzione cervellotica che magari sarà interessante perché trova quella curva espressa da equazione di 4° grado, ma non è la soluzione ottimale del problema.

aspesi

[...]
y = 2 * 52 / 3^(1/4) circa 45.6 miglia nautiche.

Cos'è y?
In che relazione è con la distanza minima?
Guarda che 2*52/√[√(3)] ≈ 79,0229...
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[aspesi]

Erasmus

non è la soluzione ottimale del problema.

Cos'è y?
In che relazione è con la distanza minima?
Guarda che 2*32/√[√(3)] ≈ 79,0229...
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Questa mia è semplice opera di trascrizione... **

Posto che sia x l'asse di moto della nave A e posto che l'origine del
sistema cartesiano sia collocata nella posizione iniziale della nave A,
mentre le coordinate x,y siano i coefficienti numerici delle misure
espresse in miglia, risulta allora che la traiettoria ha per equazione:

y^4 - 3 52^2 x y + 3 52^4 = 0 *

D'altra parte nota la traiettoria la distanza si ottiene facilmente e
la distanza minima risulta:

y = 2 * 52 / 3^(1/4) circa 45.6 miglia nautiche.

mentre il tempo di percorrenza risulta:

t = ((8/27^(1/4) - 2)/6) 52/10 circa 1.3 ore corrispondenti alla
distanza percorsa di circa 13 miglia nautiche.

* Da dove esce?

Dalla condizione che il vettore relativo di posizione BA ed il vettore
di velocità B' siano paralleli B' x (BA) = 0, ottengo:

(vA t - x, -y) x (x',y') = (vt -x)y' + y x' = 0

dividendo per y' ottengo:

(vt - x) + y dx/dy = 0

derivando ancora rispetto ad y ottengo;

vA dt/dy + y d^2x/dy^2 = 0

dt/dy = (ds/vB)/dy = -sqrt(1+(dx/dy)^2) / vB e quindi l'equazione a variabili separabili:

-vA/vB sqrt(1+x'^2) + y x'' = 0

(qui l'apice indica derivazione rispetto ad y) da questa risulta:

asenh(x') = (vA/vB) ln(y)

cioè:

2x' = (y^k - 1/y^k)

dove k = vA/vB = 2. Integrando ancora rispetto ad y ottengo la quartica che dicevo. In generale la traiettoria si calcola in forma chiusa con questo metodo, ed il problema di determinare la distanza minima è a questo punto solo un problema differenziale (che grazie al valore di k = 2) si trasforma nel caso specifico in una equazione di secondo grado.
Ma per ottenere l'intervallo temporale occorre integrare la funzione:

dt/dy

e questo integrale in generale non è esprimibile in funzioni elementari.

Lo è fortuitamente in questo caso per via delle semplificazioni rese possibili dai numeri scelti, che quindi intervengono a due livelli: nel rendere semplice il problema di minimo e nel rendere esprimibile analiticamente la funzione t(y).

** Da it.scienza.matematica (Tetis)

[Erasmus]

aspesi

[...] la probabilità p(n) di trovare a caso una serie con questo ordine (fra tutte quelle con 2^(n-1) "1" e 2^(n-1) "0") tende rapidamente a zero all'aumentare di n:
p(n_1) = 1
p(n=2) = 0,6666...
p(n=3) = 0,22857..
p(n_4) = 0,019891..
p(n_5) = 0,000109..
p(n_6) = 2,3436*10^(-9)
p(n_7) = 7,7018*10^(-19)

Precedentemente avevi indicato con n_1, n_2, n_3, ecc il numero di soluzioni del quiz , cioè il numero di parole di lunghezza 2^n caratteri sull'alfabeto ["0", "1"] con tanti "1" quanti "0" tali che, spostando un carattere dalla testa alla coda quante volte si vuole, i primi n caratteri significassero un numero binario ad n cifre sempre distinto da ciasacuno degli altri (2^n)–1.
Hai anche detto che il numero di soluzioni dipende da n secondo la formula
C(n) = 2^[2^(n–1) – n]
e hai scritto correttamente i valori di C(n) per n da 1 a 8 compresi.
Una delle C(n) soluzioni è lunga 2^n caratteri.

Qualcosa allora non mi torna.

I numeri da N cifre binarie sono 2^N.
Ce n'è uno solo con tutti "1" ed un solo con tutti "0".
Ce ne sono N con un solo "0" e N–1 "1" ed N con un solo "1" ed N–1 "0",
In generale, ce ne sono
C(N, k) = (N sopra k) = (N!)/[(N–k)! ·k!]
con k "zeri" e N–k "uni" ed altrettanti con k "uni" e N–k "zeri"
In particolare, se N è pari, diciamo N = 2M, il numero di numeri con 2M cifre di cui M sono "uni" ed M sono "zeri" vale
C(2M, M) = [(2M)!]/[(M!)^2)] = [2M·(2M–1)·...·(m+1)]/(M!).
Per M sempre più grande questo numero (usando l'approssimazione di Stirling per i fattoriali) tende a coincidere con
[2^(2M)]/√(M·π).
Per le nostre soluzioni M =2^(n – 1)
Allora, la probabilità che un numero di 2^n cifre binarie di cui 2^(n–1) sono "uni" e 2^(n–1) sono "zeri" coincida con una soluzione delle C(n) vale:
p(n) = {2^[2^(n–1) – n]}/C[2^n, 2^(n–1)]

n      M =2^(n–1)     C(n)=2^[2^(n–1) – n]      [(2M)!]/(M!)^2            p(n)  
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1         1                              1                            2                        1/2 = 0,5               
2         2                              1                            6                        1/6 = 0,16666666...
3         4                              2                           70                     2/70 = 0,02857142857 ...
4         8                             16                        12870             6/12870 = 1,243201 .../10^3
5        16                          2048                   601080390               ...    = 3,407198 .../10^6
6        32                      671088645      1,83326241 ...·10^18       ...    =  3.661900 ../10^11
7        64         1,44115188...·10^17    2,39511460 ...·10^37       ...    =  6,017047.../10^21

Dove è che sbaglio?
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[aspesi]

Erasmus

Dove è che sbaglio?
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Non sbagli in nulla.
E' solo una diversa interpretazione.

Tra i tuoi valori di p(n) e quelli che avevo riportato io, c'è semplicemente un fattore * (2^n)

Es. p(5) = tuo 3,407198../10^6 * 2^5 = mio 1,09*10^(-4)

Perché secondo me bisogna moltiplicare per 2^n?
Perché stavo rispondendo ad Astromauh, che si chiedeva se fosse possibile distinguere una serie "ordinata" da una casuale.
E il numero di tali serie (che rispondono al quiz), se non sbaglio, deve tenere conto di tutte le stringhe spazialmente identiche che si possono ottenere a seconda del bit di partenza.

Ad es. le soluzioni distinte di n=3 sono 2, ma le stringhe "buone" tra le 70 con 4 "1" e 4 "0" sono 2*2^3 = 16 e precisamente:
00010111
00101110
01011100
10111000
01110001
11100010
11000101
10001011

11101000
11010001
10100011
01000111
10001110
00011101
00111010
01110100

[aspesi]

Venticinque commensali sono seduti attorno ad un tavolo rotondo.
Il commensale che siede in corrispondenza del cassetto delle posate tira fuori 25 posate e le appoggia sul tavolo (davanti a lui).
Poi, visto che manca ancora un po' al pranzo, propone questo passatempo:
-il commensale che ha davanti più posate (se due hanno lo stesso numero di posate si sceglie a caso) deve passare una posata al suo vicino di destra ed una al suo vicino di sinistra. Questa procedura deve essere ripetuta fino a che ciascun commensale si trova davanti la propria (una) posata.
Quante operazioni sono necessarie (in generale per 2N + 1 commensali)?

[Erasmus]

Riproponi ol nuovo quiz scrivendolo meglio! C
Così come lo presenti, 'sto quiz mi pare un casino!

Che vuol dire "più posate"?
"Più di ogni altro"? Oppure "almeno 2"?
E che vuol dire "si trova davanti la propria (una) posata"?
Quale sarebbe la "propria"?
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[astromauh]

Erasmus

Riproponi ol nuovo quiz scrivendolo meglio! C
Così come lo presenti, 'sto quiz mi pare un casino!

Che vuol dire "più posate"?
"Più di ogni altro"? Oppure "almeno 2"?
E che vuol dire "si trova davanti la propria (una) posata"?
Quale sarebbe la "propria"?
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Ma dai... questa volta è tutto chiarissimo.

Più posate vuol dire più di ogni altro.
La propria posata vuol dire una posata qualsiasi.

2n più 1, vuol dire che bisogna provare a vedere cosa succede con un numero dispari e possibilmente piccolo, di commensali e posate.

Se tua moglie è d'accordo, potresti fare una simulazione in cucina, con 3, 5, 7 cucchiai e altrettanti piatti di plastica, una volta ottenuto il numero di operazioni necessarie per n=3, 5, o 7 credo che potrai trovare facilmente la formula che calcola le operazioni necessarie in funzione di n.

[aspesi]

Erasmus

Riproponi ol nuovo quiz scrivendolo meglio! C

Penso che l'idea-suggerimento di Astromauh non sia da trascurare
"...potresti fare una simulazione in cucina, con 3, 5, 7 cucchiai e altrettanti piatti di plastica, una volta ottenuto il numero di operazioni necessarie per n=3, 5, o 7 credo che potrai trovare facilmente la formula che calcola le operazioni necessarie in funzione di n."

[astromauh]

astromauh

La propria posata vuol dire una posata qualsiasi.

Certo che per capirti, bisogna conoscere l'aspesi (il linguaggio).

Altrimenti come si farebbe a capire, che la propria posata, significa una posata qualsiasi?