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Vecchio 22-10-13, 17:17   #1521
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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nino280 Visualizza il messaggio
... Fi è la lettera greca che io non riesco a scrivere e che indica su tutti i libri la sezione aurea, io so che tu lo sai ma so anche che fai il nesci. [...]

Mai vista questa lettera greca prima di adesso in questo senso [anzi: nel senso di rapporto o tra la sezione aurea e il tutto ... o viceversa – quello che tu chiamavi "numero aureo", dato che la sezione aurea non è un numero ma una parte di un qualcosa di misurabile, per esempio di un segmento].
Occhio: (√5 –1)/2 è irrazionale, ma non è trascendente!
Qui ... sei tu che lo sai ma fai il finto tonto!

Ah no? Dici che non lo ricordi più?
Allora cùccati che te lo dica!
Razionale è un numero se (e solo se) è rappresentabile come rapporto tra numeri interi.
• Due grandezze "omogenee" (cioè misurabili con la stessa unità di misura ... due aree, due segmenti, due masse, due frequenze ... mai un'area e un segmento, una massa ed una frequenza, ... ) sono "commensurabili" se (e solo se) esiste un loro sottomultiplo comune (ossia un'altra grandezza omogenea [con esse] contenuta esattamente un numero intero di volte in ciascuna delle due).
Quindi: dire che due grandezze sono "commensurabili" (che letteralmente vorrebbe dire "misurabili con una medesima [opportuna] unità di misura") equivale a dire che il loro rapporto è razionale. Se dico che A è 5/4 di B intendo che se divido A in cinque parti trovo che B vale 4 di queste parti. E se divido B in 4 parti, trovo che A vale 5 di queste parti. Se uso questa parte come unità di misura trovo che A vale 5 e B vale 4.

Nella cultura occidentale (la nostra), si dice che i primi a scoprire che ci sono grandezze incommensurabili (ossia con rapporto irrazionale) siano stati i Pitagorici, quando hanno scoperto che l'ipotenusa ed un cateto di un triangolo rettangolo isoscele (cioè ... mezzo quadrato tagliato lungo una diagonale) sono incommensurabili, ossia che √(2) non è un numero razionale. Si dice che ci sono rimadti tanto male da tener segreta la scoperta ... per non sputtanarsi, perché fino allora avevano sostenuto che "tutto è numero", cioè che bastasse prendere per unità di misura un pezzettino opportunamente piccolo per farcelo stare esattamente un numero intero di volte in ciascuna di più grandezze omogenee.
Ma, al giorno d'oggi, anche un bambino può capire che, se la radice quadrata di un numero intero non è pure intera, allora non è nemmeno razionale.
Prendiamo, per esempio, √(5). Siccome
2·2 = 4 < 5 e 3·3 = 9 > 5,
√(5) non è intera e sarà compresa tra 2 e 3 esclusi.
Questo numero ... deve esistere perché – ci insegna Pitagora – è il rapporto tra l'ipotenusa ed il cateto minore di un triangolo rettangolo che ha il cateto minore metà di quello maggiore.
Supponiamo (per assurdo) che √(5) sia razionale, cioè del tipo
√(5) = p/q,
con p e q numeri interi opportuni, già ridotti a numeri "coprimi" (= senza fattori comuni).
Senz'altro deve essere q > 1, se no √(5) sarebbe intera.
Allora sarebbe
5 = (p^2)/(q^2) = (p·p)/(q·q)
Siccome 5 è intero, vuol dire che tutti i fattori di q·q si semplificano con altrettanti identici fattori di p·p. Ma i fattori di q·q e di p·p altro non sono che gli stessi fattori [rispettivamente] di p e q, soltanto raddoppiati dai loro "gemelli".
Quindi, se (p·p)/(q·q) si semplificasse in 5, anche p/q si semplificherebbe in un numero intero il cui quadrato farebbe 5. Ma abbiamo visto che √(5) non è un numero intero.
Quindi l'iporesi che √(5) sia razionale conduce a contraddizione (cioè ad un "assurdo").
I numeri irrazionali sono ... pane quatidiano nelle equazioni algebriche di 2° grado a coefficienti interi [o razionali, ... fa lo stesso, V. nota (*) più sotto].
Quel tuo "numero aureo" è uno di questi casi:
x^2 – x – 1 = 0 ––> x = [1 ± √(5)]/2.
Quando un numero (razionale o no) può essere soluzione di una equazione algebrica (di grado qualsiasi) a coefficienti razionali [che poi è lo stesso di dire a coefficienti interi (*)], quel numero è "algebrico".
Algebrico è un numero [razionale o no] che può essere soluzione di una [opportuna] equazione algebrica a coefficienti interi.
Ci sono dei numeri ... più bastardi dei numeri algebrici irrazionali, (per esempio "e" – base dei logaritmi naturali – o "π" –rapporto tra circonferenza e diametro dello stesso cerchio–= . Sono i numeri "trascendenti"
trascendente è un numero che non può essere soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti interi [o razionali ... fa lo stesso (*)], per elevato che sia il suo grado.
Ovviamente, nessun numero trascendente può essere razionale, del tipo p/q.
[Se no sarebbe soluzione dell'equazione p·x – q =0, e non sarebbe trascendente. ––> contraddizione!]. Tantomeno intero.

(*) Dire "equazione algebrica a coefficienti interi" o "a coefficienti razionali" fa lo stesso perché, per passare da una equazione algebrica a coefficienti razionali ma non [tutti] interi ad un'altra equivalente a coefficienti interi, basta moltiplicare tutto per il minimo comune multiplo dei denominatori [dei coefficienti].
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Erasmus
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Vecchio 23-10-13, 11:11   #1522
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Sezione aureaSimbolo
Valore1,6180339887...

Come vedi il simbolo comunemente adoperato per indicare la sezione aurea è 0/ zero tagliato come i meccanici per indicare il diametro , e al mio paese si legge Fi

Lessi un libro anni fa 2003 " La sezione aurea"
storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni. Mario Livio, la copertina mostra il simbolo di Fi.
Eccolo:
http://bur.rcslibri.corriere.it/libr...rea_livio.html

Se apri il link a fianco del cavalluccio marino si intravede.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 23-10-13 11:28.
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Vecchio 24-10-13, 06:30   #1523
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Predefinito Re: Qualche quiz

E' vero Ø non è trascendente, ma mi ricordavo molto ma molto vagamente che Fi non è un irrazionale qualsiasi ma aveva qualche particolarità, infatti si dice che Fi è il più irrazionale fra gli irrazionali, che sinceramente non so cosa significa. Provo ad cercarlo in rete:

Essendo i numeratori della frazione continua tutti 1, ne risulterà che, ogni frazione si scelga, questa presenterà la minore accuratezza di approssimazione verso l'omologa persa al medesimo numerare di qualsiasi altro numero irrazionale; ovvero il numero aureo è il numero più difficile da approssimare con un rapporto fra due interi razionali, da qui l'affermazione di numero "più irrazionale" fra gli irrazionali. (Presa da Wiki)
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 24-10-13 06:38.
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Vecchio 24-10-13, 18:58   #1524
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

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E' vero Ø non è trascendente, ma mi ricordavo molto ma molto vagamente che Fi non è un irrazionale qualsiasi ma aveva qualche particolarità, infatti si dice che Fi è il più irrazionale fra gli irrazionali, che sinceramente non so cosa significa.
Appunto: non significa un tubo!
Ogni irrazionale è diverso da ogni altro!
[E cavati dalla testa che quel tuo "rapporto aureo" si indichi universalmente con la lettera greca "phi maiuscolo" Φ (che poi non è nemmeno il tuo Ø) . Vedi che a dire 'ste fesserie è una pagina web ... accattivante per il popolo bue, nella quale si confonde sezione aurea, Fibonacci, legge di Mendel, conchiglie e lumache, piramidi d'Egitto ... e quant'altro in un unico calderone, senza per altro spiegare alcunché di "scientifico"].

Insomma: Se G è una grandezza e Sa(G) è la sua sezione aurea, allora
Sa(G)/G = (√5 – 1)/2
G/Sa(G) = (√5 + 1)/2
Punto e basta!

Ovviamente, essendo (√5 –1)/2 < 1, una progressione geometrica con questa ragione tende a zero. E una progressione con ragione reciproca, cioè (√5 + 1)/2, diverge.
E via a tutte le spirali! E via a tute le conchiglie e lumache il cui guscio cresce con legge esponenziale!
E con ciò?
Tutte queste cose van bene con qualsiasi progressione geometrica di ragione diversa da 1.

Proprio la definizione di "sezione aurea" porta all'equazione del "rapporto aureo" x:
x^2 + x –1 = 0
o del suo reciproco y = 1/x (che è il "tuo" fottutissimo "numero aureo"):
y^2 – y – 1 = 0.
Dare come grande meraviglia il fatto che y e x, numeri uno reciproco dell'altro, differiscono di 1 è ancora ... da popolo bue dato che la cosa è ovvia essendo i due numeri del tipo a ± 1/2.
E anche non sapendo questo si ha subito
y – x = 1 e y·x = 1 ––> y = x + 1 ––> (x+1)·x = 1 ––> x^2 + x – 1 = 0 ; oppure
y – x = 1 e y·x = 1 ––> x = y – 1 ––> y·(y – 1) = 1 ––> y^2 – y– 1 = 0,
cioè le due equazioni di sopra.

E così pure [è ancora da popolo bue] dare per sorprendente il fatto che y sia quel numero il cui quadrato differisce di un'unità dal numero stesso, dato che la menzionata equazione:
y^2 – y – 1 = 0
è equivalente a
y^2 – y = 1.
Oh bella: che c'è di tanto speciale nel fatto che dire y^2 – y –1 = 0 è lo stesso di dire y^2 – y = 1?

E sono stufo anche di Fibonacci, della legge di Mendel ... e compagnia bella!
Altre volte (più di una) ne abbiamo parlato.
Ho ripetutamente spiegato la connessione tra le sequenze linearmente dipendenti e le progressioni geometriche.
Se, per esempio, nella sequenza a(n) succede che per qualsiasi n
A·a(n+2)+B·a(n+1) + C·a(n) = 0 [dove A, B e C sono tre costanti e A ≠ 0]
la seguenza a(n) è la somma di due seguenze che sono progressioni geometriche; e le ragioni di queste progressioni sono le soluzioni dell'equazione associata
A·y^2 + B y + C = 0.

La sequenza di Fibonacci – già l'abbiamo visto più volte – è il paerticolare caso in cui un termine è la somma dei due precedenti, ossia
a(n + 2) = a(n + 1) + a(n) ––> a(n+2) – a(n + 1) – a(n) = 0 ––> y^2 – y – 1 = 0.
Toh! L'equazione associata è la stessa di quella del tuo fottutissimo "numero aureo".
Le soluzioni di questa equazione erano y1 = (√5 + 1)/2 e y2 =(1 – √5)/2 = – (√5 – 1)/2.
Perciò la successione di Fibonacci è la somma di due progressioni geometriche: una di ragione y1, l'altra di ragione y2.
Esistono cioè due costanti H e K per le quali, se diciamo F(n) la sequenza di Fibonacci, (con n = 0, 1, 2, 3, ...], abbiamo:
F(n) = H·[(√5 + 1)/2]^n + K·[(1 – √5)/2]^n
E siccome F(0) = 0 e F(1) = 1, troviamo H e K così:
n = 0 ––> H + K = 0 ––> K = – H;
n = 1 ––> H·(√5 +1)/2 + K·(1 –√5)/2 = 1 ––> H·[(√5 +1)/2 –(1–√5)/2] = 1 ––> H = √(5)/5; K = – √(5)/5.
E in conclusione:
F(n) = [√(5)/5]·{ [(√5 + 1)/2]^n – [(–√5 +1 )/2]^n}

Ovviamente – e anche questo l'abbiamo visto più volte – , siccome la seconda delle due progressioni geometriche ha una ragione di valore assoluto minore di 1, a lungo andare questa diventa trascurabile rispetto all'altra. Per cui al crescere di n si tende sempre meglio ad avere
F(n+1)/F(n) = (√5 + 1)/2 = y1.
Allo stesso rapporto si tenderebbe anche con la sequenza (per esempio):
..., 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ... [ e poi sempre uil prossimo termine somma degli ultimi due]
che con quella di Fibonacci
..., 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
sembra aver poco a che fare.

Certo: tutta 'sta roba è qualcosa di "elegante".
Ma non ci trovo niente di sorprendente, né di speciale, tanto meno di "magico".

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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 24-10-13 19:59.
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Vecchio 25-10-13, 16:07   #1525
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz


Ciao,ciao.
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Vecchio 25-10-13, 16:33   #1526
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Predefinito Re: Qualche quiz

Il concetto geometrico è molto antico, ma i termini "rapporto aureo","sezione aurea","numero aureo" hanno una origine molto più recente.

Il termine "sezione aurea" sembra essere stato usato per la prima volta nel 1835 dal matematico Federico Martin Ohm nella seconda edizione del suo libro "La matematica elementare pura"; il simbolo consueto per indicare il numero aureo era la lettera greca Τ (tau), iniziale di tomè=sezione.
Il simbolo Φ per il numero aureo fu introdotto all'inizio del xx secolo dal matematico americano Mark Barr, dall'iniziale del nome di Fidia, grande scultore dell'antica Grecia,il quale, secondo numerosi storici, lo utilizzò nelle sue opere più importanti, come il Partenone di Atene.
Ciao,ciao
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Vecchio 26-10-13, 10:58   #1527
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Predefinito Re: Qualche quiz

Ø Ø Ø ♫ § ☺ ♂ ¾ Ñino e via di seguito !!!!!!
Evviva, ci sono riuscito, ci ho messo 8 anni, ma alla fine, cioè da questo momento, riesco a scrivere i caratteri ASCII, finalmente.
Ciao
Ho sottomano la tabella con 255 simboli e caratteri, non vedo però gli operatori matematici tipo radice quadrata che sarebbe anche utile.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 26-10-13 11:07.
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Vecchio 01-11-13, 02:22   #1528
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Ancora questo:
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
In qualsiasi poligono regolare, posto = 1 il raggio del cerchio circoscritto, che cosa si ottiene se si moltiplicano fra loro le distanze fra un dato vertice e tutti gli altri ? (io non ho capito perché )
Finpra, possiamo dire: «Perché SI'», avendo sperimentato che è così anche se non abbiamo capito!
=====
@aspesi

Ho scritto il paper che avevo promesso.
E' di due pagine.

Lo metto qui.
Dai, aspesi: fa uno sforzo e guarda se ti riesce di andare avanti ... dove io non so procedere!
pagina 1 di 2


Pagina 2 di 2
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 01-11-13 20:12.
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Vecchio 03-11-13, 13:01   #1529
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Erasmus, non mi sopravvalutare (in particolare per le nozioni teoriche)

Ho cercato di seguire tutti i passaggi del tuo papier e ... mi è venuto il mal di testa (che è rimasta vuota! )
Senza riuscire, non dico a trovare una parvenza della dimostrazione che cerchi, ma neppure a capire se, ammesso che si riesca a completare il tuo ragionamento, il procedimento da te seguito sia una strada percorribile per trovarla.

-------
(... e poi sei tu a lamentarti della decadenza...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 03-11-13, 16:40   #1530
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
... e poi sei tu a lamentarti della decadenza...
Io non mi lamento. La constato e basta!
Ma poi ... «non si parla di corda a casa dell'impiccato!»
-------------
Ho trovato un'altra cosa, sempre a proposito di questo argomento.
Se n (dispari) è una potenza di un altro dispari, per esempio n = b^2, continuando con la prostaferesi, si semplifica tutto fino che resta la potenza della base, (P(n) = b·P(b) nell'esempio).

Mi spiego con n = 9 = 3^2, dove alla fine mi viene P(9) = 3·P(3).

[NB: in quel che segue, i simboli c1, c2, c3 ... e in generale ck per k da 1 a n–1 stanno a significare cos(π/n). cos(2·π/n), cos(3·π/n) ... e in generale ck = cos(k·π/n).]

Abbiamo già visto che, per n = 7 e n = 11, si arriva [rispettivamente] a:
P(7) = 7 – (1 – c1 + c2 – c3 – c4 + c5 –c6) = 7 – 0
perché, essendo ora ck = cos(kπ/7), la somma tra parentesi è la proiezione sull'asse delle x di una stella di 7 vettori di modulo 1 a simmetria centrale (cioè a somma nulla).

P(11) = 11 – (1 – c1 + c2 – c3 – c4 + c5 – c6 + c7 – c8 + c9 – c10) = 11 – 0
perché, essendo ora ck = cos(kπ/11), la somma tra parentesi è la proiezione sull'asse delle x di una stella di 11 vettori di modulo 1 a simmetria centrale (cioè a somma nulla).

Invece con n = 9, sempre continuando con la prostaferesi e semplificando poi quel che si può, si trova
P(9) = 6 + 6 c3.
Siccome ora c3 = cos(3π/9) = cos(π/3) = 1/2, si trova ancora P(9) = 9.
Ma, senza usare la conoscenza dei valori dei coseni, si può fare così [ora che ck = cos(kπ/9) e quindi c6 = coa[(9–3)·π/9] = cos(π – 3·π/9) = –c3]:
P(9) = 9 – 3(1 –2·c3) = 9 – 3(1 – c3 + c6) = 3·[3 –(1 – c3 + c6)] =
= 3{3 – [1 – cos(3π/9) + cos(6π/9)]} = 3·{3 – [1 – cos(π/3) + cos(2π/3)]} = 3·P(3)
Infatti ora 1 – cos(π/3) + cos(2π/3) è la proiezione sull'asse x di una stella di tre vettori a simmetria centrale (come la stella della Mercedes).

Invece, provando con n = 15 = 3·5, non ho trovato qualcosa di equivalente.
E' vero che nel prodotto di P(15) si può evidenziare il prodotto di entrambi i fattori P(3) e P(5) – cioè proprio P(3)·P(5) – e che il prodotto dei rimanenti fattori (provato con la calcolatrice grafica) dà 1: ma la cosa non si vede affatto (se non si prova appunto con i valori dei coseni, introdotti automaticamente dalla calcolatrice facendole calcolare quel prodotto), mentre si arriva ancora all'espressione:
P(15) = 15 – (1 – c1, + c2 – c3 + c4 – ... + c11 – c12 + c13 – c14) = 15 – 0 = 15.

Ma da qualche parte ci deve pur essere una dimostrazione generale di questo teorema!
E magari è anche facile, come spesso succede ... "col senno di poi".
Il problema è trovarla. La ricerca è difficile perché non si sa con che parole–chiave cercare.
[Magari il teorema ha un nome di un matematico, del tipo "Teorema do Pinco Pallino"].
A chi ci si potrebbe rivolgere?
Una volta c'era Piotr che di storia della matematica e dei matematici ne conosceva parecchia.
Adesso non si fa vivo nemmeno ed invo-evo–carlo!
[Ricevo ogni mese la rivista "Rudi Mathematici". L'ultima volta, avendo trovato un piccolo errore grafico in un quiz ... che però invalida il quiz stesso – cioè: un "≥" (maggiore o uguale) al posto di "≤" (minore o uguale) – gli ho scritto, per segnalarglielo. Ma non mi ha risposto!]
––––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 17-11-13 13:32.
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