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Vecchio 15-08-22, 17:25   #3011
Erasmus
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Predefinito Re: Nino - Nino

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astromauh Visualizza il messaggio
Non capisco cosa hai fatto.
Hai stabilito che i lati del triangolo siano 1, e fin qui va bene.
Poi hai messo un punto D distante 1 da P.
Ma con che criterio l'hai messo?
L'ho messo come centro dell'arco di circonferenza che vedi in figura per ogni punto P del quale si ha:
BP^2 = AP^2 + PC^2 e anche:
<angolo>APC = 150°
(come è documentato nella stessa immagine in cui sta la figura).
Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
E quale sarebbe l'angolo x?
x è un simbolo di comodo.
2x è l'ampiezza dell'angolo al vertice D del triangolo APD isoscele su AP]. 2x è una variabie! Può essere qualunque valore tra 0° e 6o° esclusi.
Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
[...] il quiz chiedeva di calcolare un angolo, ma non vedo la soluzione.
Leggi più attentamente il "paperino"! La soluzione è ... anticipata (nel senso che parto con un arco tale che per ogni suo punto P è APC = 150°).
---------------
Procedimento
Invece di trovare un punto P tale che sia:
BP^2 = AP^2 + PC^2
e e quindi rilevare che allora l'angolo APC è ampio 150°, ho trovato il luogo dei punti P per ciascuno dei quali APC =150° – luogo che è l'arco di centro D ed estremi A e C che vedi in figura – e poi ho dimostrato che per ognuno di questi punti [e solo di questi] risulta
BP^2 = AP^2 + PC^2.

Come già detto, 2x è l'angolo al vertice D del triangolo APD isoscele su AP]. Allora 60 –2x è l'angolo al vertice D del triangolo CPD isoscele su CP.
Nel paperino" [di nome "Spiegazione.png"] c'è la dimostrazione che qualunque sia la posizopne di P sull'arco di estreni A e C di raggio 1 e centro D (e quindi di angolo 60°), è sempre:
BP^2 = AP^2 + CP^2.

Il triangolo ACD è il capovolto dell'equilatero ABC-
La posizione di P sul detto arco è arbitraria. Cioè x è qualunque tra 0° e 30°.

Dapprima io ho risolto il quiz con P sull'altezza di ABC rispetto ad AC.
Allora, se z è la lunghezza sia di AP che di CP, la lunghezza di BP deve essere z·√(2).
In questa particolare situazione, provvisoriamente chiamo x l'angolo di cui bisogna trovare il valore.
Allora ho:
<altezza> = √(3)/2 = z·√(2) + z cos(x/2) ==> cos(x/2) = √(3)/(2z) – √(2)
<lato> = 1 = 2·z sin(x/2) ==> sin(x/2) = 1/(2z).
Siccome la somma dei quadrati di seno e coseno di un angolo qualunque fa sempre 1, ricavo una equazione in z
[1/(2z)]^2 + [√(3)/(2z) – √(2)]^2 = 1
che, risolta, mi permette (tramite il valore di z) di calcolare sin(x/2) e cos(x/2) e quindi cos(x) e sin(x).
Fatti i conti risulta cos(x) = –√(3)/2 e sin(x) =1/2, e perciò x = 150°.
[Qui finisce il provvisorio significato di x come rispsta richiesta dal quiz].

L'angolo alla circonferenza inscritto in un certo arco è costante al variare del vertice sull'arco.
Allora prendo la circonferenza che passa per A e C e per il punto P sull'altezza di ABC [rispetto ad AC] distante z·cos(75°) da AC,
Ed Ecco la figura del "paperino!
––––––––-
D'ora in poi x non è più l'angolo APCda determivare. Questo è sempre 150°.
Allora CP è più òumgp di quandp P è sull'arco mentre AP e CP sono più cortiqualunque sia la posizione di P su quell'arco,
Adesso dimostro che, qualunque sia la posizione di P su quell'arco, risulta
BP^2 = AP^2 + CP^2.
Questo perché il quiz lascia intendere che deve essere così.

Divido i 60° gradi al vertice D in due parti: 2x e (60° – 2x).
Allora le corde AP e PC sono le basi di due triangoli isosceli di lati obliqui 1.
Allora
AP = 2·sin(x) e PC = 2·sin(30° – x).
Ma sin(30°) = 1/2 e cos(30°) = √(3)/2.
Si sa che che sin(y–x) = sin(y)·cos(x) – cos(y)·sin(x). Allora:
CP = 2·sin(30°–x) = 2·{(1/2)·cos(x) – [√(3)/2]·sin(x)}= cos(x) – √(3)·sin(x).

Allora posso calcolare BP^2 con Carnot.
Non lo faccio qua, c'è chiaro nel "paperino".
Si trova che se P sta sull'arco che si vede in figura, quaunque sia x tra 0° e 30°, si ha
BP^2 = AP^2 + CP^2

Se P sta sotto l'arco, l'angolo APC è maggiore di 150°.
Allora BP è cresciuto rispetto a quando P sta sull'arco mentre AP e CP sono diminuiti.
Se dunque P sta sotto l'arco avremo:
BP^2 > AP^2 + CP^2.
Viceversa, se P sta sopra l'arco, l'angolo APV è minore di 150°, BP è diminuito rispetto a quando P sta sull'arco mentre AP e CP sono aumentati.
Se dunque P sta sotto l'arco avremo:
BP^2 < AP^2 + CP^2.

Riassumendo:
La condizione
BP^2 = AP^2 + CP^2
e la condizione che P stia sull'arco rappresentato i figura (ossia che l'angolo APC sia ampio 150°) sono equivalenti.
–––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
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Ultima modifica di Erasmus : 16-08-22 10:03.
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Vecchio 16-08-22, 10:51   #3012
nino280
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Siccome mi piaceva assai l'espressione pittoresca "Teorema di Pitagora con le gambe all'aria" ho fatto che fare un disegno che lo fa vedere meglio.
Ci ho messo anche un paio di agoli che non avevo messo nel disegno precedente, servono per l'officina di sotto per fare il pezzo.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-08-22, 11:50   #3013
aspesi
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Per nino280 (se vuole, o chiunque altro, io non l'ho fatto)

Un trapezio isoscele ha i lati obliqui che misurano 12 cm, la base maggiore è lunga 28 cm e la base minore 18 cm.

Calcola l'area della superficie e il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezio attorno alla base maggiore.

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Vecchio 16-08-22, 12:52   #3014
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Quote:
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Si ce lo troviamo spesso sto rapporto.
Era + giusto scrivere 1,618 . . . .
Ciao
Trovare le soluzioni reali dell’equazione

4^x + 6^x = 9^x

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-08-22, 14:36   #3015
nino280
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Per nino280 (se vuole, o chiunque altro, io non l'ho fatto)

Un trapezio isoscele ha i lati obliqui che misurano 12 cm, la base maggiore è lunga 28 cm e la base minore 18 cm.

Calcola l'area della superficie e il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezio attorno alla base maggiore.



Ciao
Non so se ho fatto bene.
Questo è un problema che si faceva alle materne, o all' asilo come si diceva allora, e sono passati tanti anni e non mi ricordo più nulla.

Vilume = Volume

Ultima modifica di nino280 : 16-08-22 15:03.
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Vecchio 16-08-22, 15:14   #3016
Erasmus
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Per nino280 (se vuole, o chiunque altro, io non l'ho fatto)

Un trapezio isoscele ha i lati obliqui che misurano 12 cm, la base maggiore è lunga 28 cm e la base minore 18 cm.

Calcola l'area della superficie e il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezio attorno alla base maggiore.
Per nino280, o aspesi o chiunque mi legge:
Quando è facile trovare la posizione del baricentro di un lembo di superficie piana (come nel presente caso del trapezio isoscele), per trovare il volume di un solido di rotazione conviene il Teorema di Guldino [invece del far uso delle formule dei voluni di cilindri e coni].
Guldino ha esposto il suo teorema proprio in riferimento ai solidi di rotazione.
Ma modernamente lo si può enunciare in una forma più generalizzata. Cioè:
«Se un discoide piano si muove nello spazio in moto tale che la traiettoria del suo baricentro resta perpendicolare al discoide stesso, il volume del solido generato dal discoide vale il prodotto della sua area per la lunghezza della traiettoria del suo baricentro».
Allora, se d è la distanza del baricentro del trapezio dalla sua base maggiore ed S è la sua area, il volume V del solido descritto nel quiz vale
V = S·(2π·d).
––––
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Ultima modifica di Erasmus : 17-08-22 02:57.
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Vecchio 16-08-22, 15:19   #3017
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Ciao
Non so se ho fatto bene.
Questo è un problema che si faceva alle materne, o all' asilo come si diceva allora, e sono passati tanti anni e non mi ricordo più nulla.

Vilume = Volume
per il volume, 7616*PI.GRECO()/3 circa 7975,45655

Per quanto riguarda l'area della superficie, probabilmente si intendeva non quella del trapezio, ma la superficie totale del solido ottenuto

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 16-08-22, 15:59   #3018
nino280
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Si probabilmente sarà così.
Ma per me (a proposito di elementari e non) voglio dire nella mia testa, il soggetto era ancora il trapezio.
E il complemento oggetto?
Beh, non complichiamo ulteriormente le cose.
Ciao
Perchè di solito quando si parla di volumi, si parla anche di superfici laterali.
E quindi se lui avesse scritto "superficie laterale" difficilmente mi sarei confuso.

Ultima modifica di nino280 : 16-08-22 16:09.
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Vecchio 16-08-22, 21:06   #3019
Erasmus
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Un trapezio isoscele ha i lati obliqui che misurano 12 cm, la base maggiore è lunga 28 cm e la base minore 18 cm [...]
Con differenza 10 tra base maggiore e base minore, sarebbe "più meglio" se la lunghezza dei lati obliqui fosse 13 invece di 12 perché allora anche l'altezza h del trapezio verrebbe un numero intero.
√{13^2 – [(28 – 18)/2]^2} = √(13^ – 5^2) = √/18·8) = √(9·16) = 3·4 = 12.
E l'area sarebbe:
S = [28 + 18)/2]·12 = (46/2)·12 = 23·12 = 276.

Invece con i lati obliqui lunghi 12 l'altezza h del trapezio viene
h = √(144 – 25) = √(119) = √(7·17) = 10,90871211463571... ≈ 10,91
e l'area
S = 23·√(119) ≈ 250,90

Ma nel calcolo del volume richiesto l'altezza h compare al quadrato. E allora l'unico numero non intero sarà π.
––––––––
In un trapezio di base maggiore B, base minore b e altezza h la distanza d del baricentro dalla base maggiore è:
d = [(2b+B)/(b + B)]·h/3.
Il volume del solido di rotazione del trapezio attorno alla sua base maggiore è dunque (con Guldino):
V = 2π·d·S = 2π·{[(2b+B)/(b + B)]·h/3}·{[(b+B)/2]·h} = (π/3)·(2b+B)·h^2 . (*)
Per
B = 28; b = 18; h = √(119)
il voluime risulta dunque:
V = (π/3)·(2·18 + 28)·119 = (π/3)·64·119 = (π/3)·7616 ≈ 7975,456548416...
–––––

––––––––––
(*) P.S.
@ nino280
Tu sommi il volume di un cilindro di altezza 18 e raggio √(119) al volume di due coni uguali di altezza 5 e rggio ancora √(119).
Se il trapezio non fosse isoscele [né rettangolo] avresti un cilindro e due coni di diversa altezza.
Ammetterai che, prescondendo dalla forma (di un oggetto che assomiglia a quello che a Verona si dice "s-ciànco" e a Milano [url=https://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&ua ct=8&ved=2ahUKEwiZqPqansz5AhVCX_EDHWqqC-sQFnoECAwQAQ&url=https%3A%2F%2Fit.wikipedia.org%2F wiki%2FLippa_(gioco)&usg=AOvVaw3pBPEjJbOxCTRMXRjBG Dfh]"lippa"[/UL]), il calcolo del volume con Guldino è più semplice!
Lo ridico.
• S = area del lembo piano che ruota rigidamente attorno ad una retta complanare non secante;
• d = distanza del baricentro del lembo di piano rotante dall'asse di rotazione [complanare e non secante].
• <Volune> V = 2π·d·S.

Per trovare la distanza del baricentro di un trapezio dalla base maggiore si può ragionare così:
1) Non cambia nulla se si considera rettangolo il trapezio, e quindi decomponibile in un rettangolo di base b e altezza h e un triangolo di base B–b e altrzza ancora h.
2) Allora, siccome in un rettangolo la distanza del baricentro dalla base è metà dell'altezza e in un un triangoloe è un terzo dell'altezza, il momento statico del trapezio rispetto alla sua base maggiore è
(b·h)·(h/2) + [(B–b)·h/2]·(h/3) = (2b+B)·[(h^2)/6].
La distanza d del baricentro del trapezio dalla base maggiore è il rapporto tra questo momento statico e l'area del trapezio, cioè:
d = [(2b+B)·(h^2)/6]/{[(b+B)/2]·h} = [(2b+B)/(b+B)]·(h/3).

Che questa formula sia giusta si può controllare nei casi-limite b = 0 (trapezio che diventa un triangolo) e b = B (trapezio che diventa un rettangolo).
Nel primo caso [triangolo] viene giustamente d = (B/B)·h/3 = h/3.
Nel secondo caso [rettangolo] viene ancora giustamente d = [(3B)/(2B)]·h/3 = h/2.
Nella rotazione di un giro esatto la traiettoria del baricentro è lunga 2πd;
e quindi il volume richiesto è:
V = (2π)·{[(2b+B)/(b+B)]·h/3}·{[(b+B)/2]h} = (π/3)·(2b+B)·h^2.

Questa formula è anche facile da ricordare!
A ri-ciao.
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Vecchio 17-08-22, 03:47   #3020
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nino280 Visualizza il messaggio
[...] di solito quando si parla di volumi, si parla anche di superfici laterali.
Occhio!
La "superficie laterale" di un solido ... non sempre c'è!
E quando c'è non è tutta la supoerficie del solido.
Per esempio, la sfera non ha superficie "laterale".
E non l'ha nemmeno il solido di questo quiz (scomponibile in un cilindro e due coni uguali che sono come "punte" sporgenti dalle facce del cilindro).
Hanno una superficie "laterale" i solidi che hanno una base (come le piramidi e i coni) o due basi (come i prismi, i cilindri, i trochi di piramidi ed i tronchi di coni).
[Ovviamente la superfoicie della base (o delle basi) non è compresa nella superficie laterale.]
La superficie "totale" di questi solidi è la somma della superficie laterale e di quella della base o delle due basi.
Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
E quindi se lui avesse scritto "superficie [...]
Io direi:
«[...] se avesse precisato dicendo "area della superficie del solido"» o – meglio – «area della superficie totale del solido» (suggerendo implicitamente che la superficie di questo solido è l'unione della superficie laterale di un cilndro e delle superfoici laterali di due coni).
––––
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