Qualche quiz

[Erasmus]

aspesi

Lascio la parola a Fibonacci.

"Moltiplica per 70 il resto della divisione per 3, per 21 il resto della divisione per 5 e per 15 il resto della divisione per 7.
Se la somma supera 105, togli tante volte 105 al totale.
Quello che resta è il numero cercato."

Eh già: il mago prende il resto della divisione della detta somma per 105.
-------------------------------
Fibonacci ???
Come faceva Fibonacci a conoscere il teorema cinese dei resti?
Oltre ad essere stato in Nord-Africa (Algeria) e a Costantinopoli ... ha per caso preceduto Marco Polo nel Catai?
---------------------------------
Diciamo Q3, Q5, e Q7 i quozienti del numero incognito X diviso rispettivamente per 3, per 5 e per 7; e diciamo R3, R5 ed R7 i rispettivi resti.

Il mago, prima calcola
N = 70*R3 + 21*R5 + 15*R7.
Quindi il resto della divisione N : 105.

Spiegazione:
X = 3·Q3 + R3 ––> R3 = X – 3*Q3 ––> 70*R3 = 70*X – 210*Q3;
X = 5·Q5 + R5 ––> R5 = X – 5*Q5 ––> 21*R5 = 21*X – 105*Q5;
X = 7·Q5 + R7 ––> R7 = X – 7*Q7 ––> 15*R7 = 15*X – 105*Q7.

Sommando membro a membro si ottiene:
70*R3 + 21*R5 + 15*R7 = 106*X + 105*(2·Q3 + Q5 +Q7) ––>
––> 70*R3 + 21*R5 + 15*R7 = X + 105*(X + 2*Q3 + Q5 + Q7).
Ossia: il resto della divisione di (70*R3 + 21*R5 + 15*R7) per 105 è proprio il numero X.

------------------
Ma io ... conosco un'altra versione di questo giochino.

Sun-Tzu Cataiense

Un mago ti chiede di pensare un numero intero tra 1 a 209 inclusi e di dirgli i resti R5, R6 ed R7 delle divisioni del numero che hai pensato per 5, per 6 e per 7.

Come fa il mago ad indovinare il tuo numero?

Ciao, ciao

[aspesi]

Erasmus

Ma io ... conosco un'altra versione di questo giochino.

Sun-Tzu Cataiense
Un mago ti chiede di pensare un numero intero tra 1 a 209 inclusi e di dirgli i resti R5, R6 ed R7 delle divisioni del numero che hai pensato per 5, per 6 e per 7.

Come fa il mago ad indovinare il tuo numero?


Ciao, ciao

.........|.........|.........|.........|
.........|....5....|....6... |....7....|
.--------|---------|---------|---------|
...N5....|...R5....|....0....|....0....|
---------|---------|---------|---------|
...N6....|....0....|...R6....|....0....|
.--------|---------|---------|---------|
...N7....|....0....|....0....|...R7....|
---------|---------|---------|---------|
.N5+N6+N7|...R5....|...R6....|...R7....|
.........|.........|.........|.........|

N5 ha resto 0 se diviso per 6 e 7 e resto R5 se diviso per 5
N6 ha resto 0 se diviso per 5 e 7 e resto R6 se diviso per 6
N7 ha resto 0 se diviso per 5 e 6 e resto R7 se diviso per 7
Quindi, la somma N5+N6+N7 ha resto sia R5, che R6, che R7.

Il problema si può dividere in tre parti:
a)Trovare un numero N5 che diviso per 5 dà per resto R5 e nello stesso tempo sia multiplo sia di 6 che di 7 (42k)
b)Trovare un numero N6 che diviso per 6 dà per resto R6 e nello stesso tempo sia multiplo sia di 5 che di 7 (35k1)
c)Trovare un numero N7 che diviso per 7 dà per resto R7 e nello stesso tempo sia multiplo sia di 5 che di 6 (30k2)
d)Ora si addizionano i tre numeri N5+N6+N7 ottenendo così il numero N che risolve il problema (MOD 210)

Il problema ha soluzioni infinite che si trovano aggiungendo o sottraendo 210 al numero N

Esempio 1:
Sia R5=3; R6=4; R7=2
a)N5=168 (=42*4 =3(MOD 5)
b)N6=70 (=35*2 =4(MOD 6)
c)N7=30 (=30*1 =2(MOD 7)
d)N= N5+N6+N7= 268 >210 = 58

Esempio 2:
Sia R5=1; R6=1 ; R7=4
a)N5=126
b)N6=175
c)N7=60
d)N= 126+175+60 = 361 >210 = 151

In quest'ultimo caso, se applico:
21R5 + 70R6 + 15R7 = 21+70+60 = 151
ottengo il numero N
mentre se faccio la stessa operazione con l'esempio 1, ho:
21R5 + 70R6 + 15R7 = 63+280+30 = 373 >210 = 163 e per avere il giusto N devo ancora sottrarre 105...
???

[Erasmus]

aspesi

???

--------------
Spiegazione:
X = 5·Q5 + R5 ––> R5 = X – 5*Q5 ––> 84*R5 = 84*X – 420*Q5;
X = 6·Q6 + R6 ––> R6 = X – 6*Q6 ––> 35*R5 = 35*X – 210*Q6;
X = 7·Q7 + R7 ––> R7 = X – 7*Q7 ––> 90*R7 = 80*X – 630*Q7.

Sommando membro a membro:
84*R5 + 35*R6 + 90*R7 = 209*X – 210*(2*Q5 + Q6 + 3 Q7) =
= –X + 210*(X + 2*Q5 + Q6*+ 3*Q7) = (210–X) + 210*[(X–1) + 2·Q5 + Q6 + 3·Q7].

Il mago moltiplica R5 per 84, R6 per 35 ed R7 per 90 e fa la somma dei tre prodotti.
Divide poi questa somma per 210 ottenendo un resto.
Il numero X è allora il complemento di questo resto a 210.

In generale, se P1, P2 e P3 sono interi "coprimi" (cioè senza fattori comuni), si possono trovare tre interi A1, A2 e A3 tali che la divisione:
[A1(P2*P3)*R1 + A2(P3*P1)*R2 + A3(P1*P2)*R3] : (PI*P2*P3)
dia per resto X (sia cioè congrua X modulo PI*P2*P3).
Ma anche tre interi B1, B2, B3 tale che la divisione:
[B1(P2*P3)*R1 + B2(P3*P1)*R2 + B3(P1*P2)*R3] : (PI*P2*P3)
dia per resto P1*P2*P3 – X (sia cioè congrua –X modulo PI*P2*P3).

Naturalmente si può aumentare a piacere il numero di numeri coprimi.
Ma ... anche il mago si incasina se deve manipolare troppi resti!

Con PI = 5, P2 = 6 e P3 = 7, ho scelto di far uscire come resto della divisione per 210 il complemento di X a 210 perché mi venivano i fattori B1 = 2, B2 = 1 e B3 = 3, (piccolini), mentre mi venivano numeri più grossi (che ho anche smesso di cercare) per far uscire X.

-----

[aspesi]

Erasmus

Con PI = 5, P2 = 6 e P3 = 7, ho scelto di far uscire come resto della divisione per 210 il complemento di X a 210 perché mi venivano i fattori B1 = 2, B2 = 1 e B3 = 3, (piccolini), mentre mi venivano numeri più grossi (che ho anche smesso di cercare) per far uscire X.

-----

Però, io li ho trovati!!!!!!!

N = 120R7 + 175R6 + 126R5 - 210k

Partiamo da:
30 (per R7); 35 (per R6); 42 (perR5)
e vediamo i resti:
-30/7 il resto è 2; per avere resto=1 fra i multipli di 30, il moltiplicatore di R7 è 120
-35/6 il resto è 5; per avere resto=1 fra i multipli di 35, il moltiplicatore di R6 è 175
-42/5 il resto è 2; per avere resto=1 fra i multipli di 42, il moltiplicatore di R5 è 126

[aspesi]

Contare quanti triangoli ci sono in questa figura (tutti, anche capovolti) :

................................/\
.............................../__\
............................../\../\
............................./__\/__\
............................/\../\../\
.........................../__\/__\/__\
........................../\../\../\../\
........................./__\/__\/__\/__\

Se è troppo facile... trovare la formula in funzione di n
Tr_(1) = 1

Tr_(n) = ?

[colorblind993]

24
?

[aspesi]

colorblind993

24?

Mi spiace, no... ne hai perso qualcuno

[Erasmus]

aspesi

Contare quanti triangoli ci sono in questa figura (tutti, anche capovolti) :

................................/\
.............................../__\
............................../\../\
............................./__\/__\
............................/\../\../\
.........................../__\/__\/__\
........................../\../\../\../\
........................./__\/__\/__\/__\

Se è troppo facile... trovare la formula in funzione di n
Tr_(1) = 1

Tr_(n) = ?

...mumble ... mumble ...
Pensavo di cavarmela con una formula polinomiale ... ma non è così.
O la formula contiene qualche addendo con fattore (–1)^n (ossia: che dipende dal fatto che n sia pari o dispari) oppure ... non c'è una vera formula ma un algoritmo che, dato n, conteggia i triangoli.

Contandoli con pazienza per n = 1, 2, 3, 4 e 5 trovo:
Tr_(0) = 0;
Tr_(1) = 1;
Tr_(2) = 4+1 = 5:
Tr_(3) = 9 + 3*1 +1 = 13
Tr_(4) = 16 + 3*2 + 1 + 1 = 24
Tr_(5) = 25 + 3*3 + 3 + 1 = 38
...
Tr_(n) = n^2 + 3*(n–2) + ??? + 1

Quelli piccoli (da lato 1) sono n^2
Quelli di lato 2, 3, ... n–1 non capovolti sono 3*(n–2) e ci sono solo se n>2
Quelli capovolti di lato maggiore di 1 ... ??? non ho ancora capito quanti in generale!
[Ce n'è uno per n = 4 e ce ne sono 3 per n = 5].

Infine (se n > 1) ce n'è uno di lato n.

-----------------------------

aspesi

Mi spiace, no... ne hai perso qualcuno

Anch'io ne ho contati 24:
4^2 = 16 elementari (di lato 1: 10 dritti e 6 capovolti).
Per ogni vertice 1 di lato 2 + un altro di lato 3: due per vertice, 6 in tutto;
Uno (come sempre) di lato 4.
Un ultimo di lato 2 capovolto.
Ecco perché ho scritto 4^2 + 3*3 + 1 + 1 = 24

Dove starebbe quello che avrei perso?

[aspesi]

Erasmus

...mumble ... mumble ...


Anch'io ne ho contati 24:
4^2 = 16 elementari (di lato 1: 10 dritti e 6 capovolti).
Per ogni vertice 1 di lato 2 + un altro di lato 3: due per vertice, 6 in tutto;
Uno (come sempre) di lato 4.
Un ultimo di lato 2 capovolto.
Ecco perché ho scritto 4^2 + 3*3 + 1 + 1 = 24

Dove starebbe quello che avrei perso?

Mi sa che ne hai (avete) perso (persi) più di uno

Aiutino: esamina riga per riga...
riga 1 ..... un triangolo
riga 2 ..... tre triangoli piccoli + 1 grosso (+ quello della prima riga)
riga 3 ..... cinque triangolini + 2 medi + 1 grosso (+ quelli della seconda riga e della prima riga)
riga 4 ..... ?

Con i numeri giusti ... la formula è abbastanza semplice...

Ciao
Nino

[aspesi]

Erasmus

...mumble ... mumble ...


Anch'io ne ho contati 24:
4^2 = 16 elementari (di lato 1: 10 dritti e 6 capovolti).
Per ogni vertice 1 di lato 2 + un altro di lato 3: due per vertice, 6 in tutto;*
Uno (come sempre) di lato 4.
Un ultimo di lato 2 capovolto.
Ecco perché ho scritto 4^2 + 3*3 + 1 + 1 = 24

Dove starebbe quello che avrei perso?

* A cui vanno aggiunti .... quelli delle righe precedenti.
Quindi...