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Vecchio 23-03-21, 17:36   #4181
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

L'hai vista la strana curva del mio post precedente?
Certo che l'ho vista.
Ma perché fa parte di questo quiz della scala?
Non è che per risolvere un quiz bisogna ricorrere alla meccanica quantistica.
Anche quell'equazione di quarto grado fa parte di questo quiz
Pensa che io l'ho risolto senza nessun calcolo. Proprio zero calcoli.
Al di là dei dati della lunghezza della scala, 4 , e del cubo da 1, non ho avuto bisogno di niente altro.
Appoggio la scala per terra e contro il muro.
Inizialmente la scala è distante dal cubo, poi la spingo contro il cubo, esattamente come faremmo se avessimo gli oggetti dal vero.
Quando la scala si appoggia anche al cubo, naturalmente stando attaccata al muro, prendo la misura.
Dove stanno i conti?
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 23-03-21 17:39.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-03-21, 18:13   #4182
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
L'hai vista la strana curva del mio post precedente?
Certo che l'ho vista.
Ma perché fa parte di questo quiz della scala?
Non è che per risolvere un quiz bisogna ricorrere alla meccanica quantistica.
Anche quell'equazione di quarto grado fa parte di questo quiz

Ciao
Sì, fa parte di questo quiz, che non è banale,
Infatti, come si può vedere da quella curva di quarto grado, ci sono 4 soluzioni, due negative (e quindi impossibili) e due positive (e tu ne hai trovata una)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-03-21, 18:18   #4183
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

A si ce ne sono 2?
Non ci avevo pensato.
Magari è quella simmetrica a quella mia con i gradi invertiti, vale a dire con la scala coricata piuttosto che in piedi.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-03-21, 05:12   #4184
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...] come si può vedere da quella curva di quarto grado, ci sono 4 soluzioni, due negative (e quindi impossibili) e due positive (e tu ne hai trovata una)
???
Quel che dici tu salta fuori (forse) se invece di calcolare direttamente x, metti in conto i tratti di scala tra suolo e cubo e tra cubo e suolo.
Ma non è la via più comoda per risolvere il quiz!

Il quiz ha ovviamente due sole soluzioni: una con pendenza della scala rispetto al suolo maggiore di 1, cioè con angolo tra scala e suolo maggiore di 45°, l'altra con pendenza minore di 1 reciproca della precedente, cioè scambiando
tra loro gli angoli complementari tra scala e sulo e tra scala e muro.

Immagino che tu faccia similmente a quel che segue:
Aggiungi ad x = distanza dell'appoggio al muro dal cubo, la distanza y dell'appoggio al suolo dal cubo ottenendo le equazioni:
1/y = x/1 [pendenza della scala rispetto al suolo] ––> y = 1/x
√1 + y^2) + √(i + x^2) = 4 [lunghezza della scala].
Eliminando y trovi
√[1 + (1/x)^2] + √(1+x^2) = 4 ––> √(1+x^2) · (1/x + 1) = 4 ––>
––> (1+x^2)(1 + x)^2 = 16x^2 ––> x^4 +2x^3 –14x^2 + 2x + 1 = 0.
–––––––––
Invece io faccio
φ = inclinazione della scala sul suolo;
1/sin(φ) tratto di scala tra suolo e cubo;
1/cos(φ) = tratto di ascala tra cubo e muro:
1/sin(φ) + 1/cos(φ) = 4 [lunghezza della scala] ––> cos(φ)+ sin(φ) = 2[2sin(φ)cxos(φ) ––>
––> cos(φ)+ sin(φ) = 2sin(2φ) ––> [quadrando] [cos(φ)]^2+ [sin(φ)]^2 + sin(2φ) = 4[sin(2φ)]^2.
Posto s = sin(2φ): 4s^2 – s – 1 = 0 ––> s = [1 + √(17) ]/2 ––>
––> 2φ = arcsin{[1 + √(17)]/8} = 39,82077292806864° ––> φ = 19,91038646403432 ––>
––> tan(φ) = 0,362199992663246 ––> x1 = 1/tan(φ) = 2,7609056329544
tan(90° – φ) = 1/tan(φ) ––> x2 = tan(φ) = 0,362199992663246
Controllo: x1/sin(φ) + x2/cos(φ) = 4 OK!
–––
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Erasmus
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 24-03-21, 09:25   #4185
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Ah si', ce ne sono 2?
Non ci avevo pensato.
Magari è quella simmetrica a quella mia con i gradi invertiti, vale a dire con la scala coricata piuttosto che in piedi.
Ciao
Proprio così (anche se – come osservava astomauh – si potrebbe dire "più meglio" di come vi esprimete a Laterza).
––––
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Ultima modifica di Erasmus : 24-03-21 10:42.
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Vecchio 24-03-21, 10:37   #4186
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Al liceo e negli istituti tecnici (sia industriali che commerciali) in II suì studiano anche le "equazioni reciproche" ... brutto modo di indicare le equazioni nelle quali se k è una soluzione,allora è soluzione anche 1/k (che magari è la stessa k se è k = 1 oppure k = –1, ma è un'altra se k è distinto da 1/k)
Si capisce tutto cosa intendo dire se faccio un esempio!
–––––
Caro aspesi, eccoti per esempio la tua equazione di 4° grado
P(x) = x^4 + 2x^3 –14x^2 + 2x + 1 = 0
Siccome il polinomio P(x) non si annulla per x = 0, posso dividere tutto per x^2 ottenendo
x^2 + 2x – 14 + 2/x + 1/x^4 = 0. Aggiungo e tolgo 2
x^2 + 2 + 1/x^2 + 2(x+1/x) – 16 =0. Osservo xhe x^2 + 1/x^2 + 2 = (x+1/x)^2.
(x + 1/x)^2 + 2(x+1/x) = 16. Aggiungo 1 ad entrambi i membri
(x+1/x)^2 + 2(x + 1/x) + 1 = 17. Osservo che a sinistra ho il quadrato di (x+1/x) + 1.
L'equazione diventa:
[(x+1/x) + 1]^2 = 17
Facendo la radice quadrata di entrambi i membri, questa equazione si spezza in due equazioni
x+1/x + 1 = √(17) oppure x + 1/x + 1 = –√(17)
cioè
a) x^2 – [√(17) – 1]x + 1 = 0.
b) x^2 + [√(17) + 1]x + 1 = 0
dalla a) abbiamo x ={√(17) – 1) ± √[18 –2√(17) –4]}/2 –––>
–––> x = 2,76090563295442 oppure x = 0,36219999266325.
Se si fa il prodotto di questi due numeri si trova 1,
Dalla b) abbiamo x ={–√(17) – 1) ± √[18 +2√(17) –4]}/2 –––>
–––> x = –0,20325834162657 oppure x = –4,91984728399109.
Anche il prodotto di questiultimi due numeri fa 1.
Infatti si trattava di una "equazione reciproca".s

Le due oluziioni a) (entrambe positive) sono quelle del quiz della scala col "metodo aspesi".
––––
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Ultima modifica di Erasmus : 24-03-21 10:41.
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Vecchio 24-03-21, 12:08   #4187
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Le due soluzioni a) (entrambe positive) sono quelle del quiz della scala col "metodo aspesi".
––––

Ho fatto proprio così.
Quando le cose si complicano, e ad es. escono fuori equazioni superiori al secondo grado, io non so (e non ho voglia) di imparare i metodi matematici superiori, alla Erasmus, e mi affido a solutori online, come questo
https://www.wolframalpha.com/input/?...+%2B+1+ %3D+0

Non mi pare molto diverso che far fare una radice o un logaritmo alla calcolatrice

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-03-21, 17:20   #4188
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
[...] io non so (e non ho voglia) di imparare i metodi matematici superiori, alla Erasmus, [...]
Ma dai! "Superiori" erano dette ai nostri tempi le scuole dopo le medie. Alle "superiori", dopo aver imparato a risolvere le equazioni di secondo grado, si imparava a risolvere le equazioni di grado superiore al secondo ma riconducibili alle equazioni di secondo grado con opportuni trucchi.
Insomma: non c'è granché di "superiore"nell'oservare che se i coefficienti dell'equazione in x sono disposti simmetricamente l'equazione in x di 4° grado è riconducibile al secondo grado in una incognita provvisoria
y = x + 1/x
e quelle di 3° e 5° hanno una soluzione che vale –1 (il cui reciproco è ancora –1 (e quindi si9 possono pure ricondurre ad equazioni di 2° grado).
Generalizzando, l'equazione sia
x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Ax + 1 = 0
Siccome x = 0 NON è soluzione (cioè NON annulla il polinomio del 1° mmbro), divido per x^2 e poi aggiungo e tolgo – 2. Ottengo
x^2 + Ax + B + a/x + (1/x)^2 = 0 –––> (x^2 + 2 + 1/x^2) + A (x + 1/x) + (B – 2) = 0.
Con la posizuione t = xè1/x ottengo una equazione di 2° grado
y^2 + Ay + (B–2) = 0
Supponiamo che la (*) abbia per soluzioni y = p e y = q. Ricordandomi che y = x+1/x mi resta da risolvere l duee equazioni seguenti

x + 1/x = p –––> x^2 – px + 1 = 0;
x + 1/x = q –––> x^2 – qx + 1 = 0.
Vedi che anche le equazioni di secondo grado sono "reciproche", cioè se k è una soluzione, allora è soluzione anche 1/k
Infatti x^2 –px + 1 –––> x = [p ±√(p^2 – 4)]/2
e osserviamo che
Codice:
[p + √(p^2 – 4)    [p – √(p^2 – 4)   p^2 – (p^2 – 4)           4
–––––--–––––––  · –––––--––––––– = –––––––––––––––  = ––– = 1
         2                           2                         4                      4
Cioè: le due soluzioni sono una reciproca dell'altra dato che il loro prodotto vale 1
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Ora vediamo il 3° grado ed il 5° grado (con coefficienti disposti simmetricamente)
x^3 + Av^2 + Ax + 1 = 0
Una soluzione è senz'altro x = –1. Quindi ilprimo membro è divisibile per x+1
Cerchiamo il quoziente
(x+1) (x^2 + hx + k) = x^3 + (h+1)x^2 + (h + k)x +k.
Deve allora ewssere k = 1 e quindi h = A – 1
L'equaziione di 3° grado "reciproca" x^3 + Ax^2 + Ax + 1 = 0 si spezza nelle due equazioni:
a) x + 1 = 0 –––> x = – 1;
b) x^2 + (A–1)x + 1 = 0
Veniamo al 5° grado.
x^5 + Ax^4 + Bx^3 + B x^2 + Ax + 1 = 0.
Siccome il polinomio del 1° membro si annulla per x = –1, è divisibile per x+1. Cerchiamo il quoziente (che è ancora a coefficienti disposti simmetricamente)
(x+1)(x^4 + px^3 + qx^2 + px + 1) = x^5 + (p+1)x^4 + (p+q)x^3 + (p+q)x^2 +(p+1)x + 1 .
Deve essere allora
p + 1 = A ––> p = A – 1;
p + q = B –> q = B – p = B – A + 1.
Comunque, anche le equazioni da risolvere successivamente sono sempre di tipo "reciproco", con i coefficienti disposti simmetricamente.
––––
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Vecchio 26-03-21, 19:31   #4189
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Se tutti più o meno conosciamo la formula per la soluzione di una equazione di 2° grado, quale è la formula per la soluzione delle equazioni di 5° ?
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-03-21, 03:47   #4190
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Se tutti più o meno conosciamo la formula per la soluzione di una equazione di 2° grado, quale è la formula per la soluzione delle equazioni di 5° ?
Ciao
La formula generale NON ESISTE!
C'è apposta un teorema che dimostra che le più generali equazioni algebriche non si possono risolvere tramite radicali (come si fa per le equazioni di 2°, 3° e 4° grado) se il grado è maggiore di 4.
La dimostrazione è tanto complicata che non si studia alle superiori. Però non c'è testo degli ultimi anni di matematica delle superiori che non citi questo teorema.
E' stato dimostrato da almeno tre grandi matematici indipendentemente uno dall'altro. Questi sono il norvegeese Abel (per primo), l'italiano Ruffini (per secondo) ed il francese Galois.
I libri italiani lo chiamano Teorema di Ruffini. Il modo con cui Ruffini ha dimostrato quel teorema è tutto diverso da come ll'aveva già dimostrato Abel (senza che Ruffini lo sapesse) e poi Galois (che invece, senza saperlo, adopera lo stesso metodo adoperato da Abel).
Galois (morto per le ferite riportate in duello alla pistola all'età di 21 anni scarsi, la notte prima del duello mortale ha scritto degli appunti per tramandare le sue scoperte di matematica (prevedendo che non sarebbe scampato a quel duello). Tra l'altro dice di aver dimostrato anni prima quel teorema senza sapere che era già stato dimostrato dal "grande Abel". [Così Gloias cita il matematico norvegese morto a 29 anni, precursore proprio della "teoria dei gruppi" sviluppata poi dal giovanissimo Galois]. Gaòois dice di aver dapprima commesso un errore di logica ma di considerarsi scusabile data la sua giovane età visto che lo stesso errore aveva dapprima commesso anche il "grande Abel".
Insomma: Galois ha da solo inventato la teoria dei gruppi quando aveva 17 - 18 anni e, tramirte questa, ha dimostrato il teorema che non è possibile dare una formula che risolve le equazioni dal 5° grado in su. Qualche anno dopo (verso i 20 anni) è venuto a sapere che quel suo teorema era già stato dimostyrato da Abel e alloira, andando a studiare quel che aveva fatto Abel, Galois ha pure scoperto che Abel lo aveva anticipato anche nella teoria dei gruppi (che però aveva solo abbozzato); e che il metodo di dimostrazione di quel teorema era proprio lo stesso usato da lui.
Galois è posteriore anche a Ruffini, che però è assolutamente sconosciuto a Galois.
–––––––––––––––
Però, se i coefficienti di una equazione di 5° grado sono gli stess per il grado k e per il grado 5 – k, allora o una soluzione è x = 1 o è x = –1.
In questi casi, dividendo per x– 1 o per x + 1 non solo si abbassa il grado, ma si hanno equazioni di 4° grado ancora "reciproche", cioè con i coefficienti disposti simmetricamente (e quindi riconducibili al 2° grado).

Non mi risulta che alle superiori si insegnino le soluzioni generali delle equazioni di 3° e 4° grado (scoperte ancora nel rinascimento da Fontana (detto Tartaglia)– per primo – ma pubblicate per primo da Cardano (che pare le abbia imparate proprio da Trartaglia) e sviluppate poi (o almeno rimaneggiate) da altri ancora (fino al 900 compreso).

Eppuyre, le soluzioni agebriche delle equazioni di 3° e 4° grado non mi sembrano molto difficili! Sono però un po' complicatine e già prima dell'avvento delle calcolatrici elettroniche venivano risolte per approssimazioni successive piuttosto che con la formula, dato che questa contiene radici cubiche che, a loro volta, dovevano essere trovate per approssimazioni successive essendo troppo laboriosa l'estrazione analoga all'estrazione delle radici quadrate.
Ne so qualcosa io che nei primi anni '60 ho lavorato con clcolatrici elettromeccaniche a 10 cifre ... con le quali riuscivamo a fare calcoli complòicatissimi impiegando però giornate e anche settimane per calcoli che ora si fanno in qualche minuto.
–––––––
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Ultima modifica di Erasmus : 27-03-21 14:30.
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