Estrazioni casuali

[aspesi]

C’è una grossa urna piena di palline, tutte le palline sono nere tranne una che è rossa.
Non hai idea del totale delle palline, stimi un centinaio circa.
Uno alla volta tu e il tuo avversario dovete estrarre una pallina (senza reinserirla)…vince chi pesca quella rossa.
Hai la possibilità di scegliere chi inizia a pescare…hai però un dubbio…iniziare per primo o no???
Tu cosa scegli?

[Erasmus]

aspesi

C’è una grossa urna piena di palline, tutte le palline sono nere tranne una che è rossa.
Non hai idea del totale delle palline, stimi un centinaio circa.
Uno alla volta tu e il tuo avversario dovete estrarre una pallina (senza reinserirla)…vince chi pesca quella rossa.
Hai la possibilità di scegliere chi inizia a pescare…hai però un dubbio…iniziare per primo o no???
Tu cosa scegli?

Mi pare che la probabilità di pescare la rossa sia ia stessa sia incomincindo per primo che per secondo.
Per fare questa affermazione ho abalizzato i casi in cui il numero di palltme sia 2 o 3 o 4.
Provo qgeneralizzare-
Se ci sonop n palline chi inizia per primo ha probabilità 1/n di pescare la rossa, quindi 1–1/n = (n –1)/ n di non pescarla.
Il secondo pesca solo se non ha pescato la rossa il primo, quindi ha probabilità (n–1)/n di non aver già perso. Quando pesca lui c'è uns psllinsa in meno, se si trascurasse la cobdizione che potrebbe aver già perso, avrebbe probabilità 1/(n – 1) di pescare lui la rossa.
Ed ecco che
[(n – 1)/n]·[1((n–1) = 1/n.
Se è n > 2 e non pesca la rossa alla prima sua pescata nessuno dei due, tutto torna daccapo con una pallina in meno.
––––––––-
Rilancio con una nuova domanda-quiz:
Se n è grande, qual è la probabilità che uno dei due vinca alla k-esima sua pescata (ovviamente per k cmpreso tra 1 e n inclusi)?
–––

[aspesi]

Erasmus

Mi pare che la probabilità di pescare la rossa sia la stessa sia incominciando per primo che per secondo.

Ripensaci, non è (sempre) così

[Mizarino]

A me pare (scopro di aver fatto lo stesso ragionamento di Erasmus) che le probabilità "a priori" che la pallina rossa sia estratta dal primo giocatore al kesimo turno o dal 2do giocatore al (k+1)esimo turno sia sempre uguale a 1/N (N = numero totale di palline). A questo punto, se N è pari, i due giocatori hanno uguali chances, ma se N è dispari, il 1° giocatore ha potenzialmente un'estrazione in più.

Proverò una simulazione...

[Mizarino]

Ok, confermo quanto detto.
Anzi, pensando a come codificare la simulazione, ho anche trovato la risposta più semplice e definitiva al quiz:

Sia S(k) la successione con la quale verranno estratte le palline (potremmo immaginare che vengano mescolate a caso, ma poi messe in fila per l'estrazione), che per definizione è uniforme, cioè vi è la stessa probabilità 1/N per la pallina rossa di trovarsi in qualsiasi posto k della successione.

A questo punto, se k è dispari, vince il primo giocatore, se k è pari vince il secondo.
Se N è pari, i due giocatori hanno uguali probabilità di vincere, ma se N è dispari, vi è una probabilità 1/N che la pallina sia nell'Nesimo posto della successione, e in questo caso il 1° giocatore ha la certezza di vincere.

Perciò se N è dispari la probabilità che vinca il 1° giocatore dovrebbe essere 0.5*(1+1/N).

[aspesi]

Mizarino

A questo punto, se k è dispari, vince il primo giocatore, se k è pari vince il secondo.
Se N è pari, i due giocatori hanno uguali probabilità di vincere, ma se k è dispari, vi è una probabilità 1/N che la pallina sia nell'Nesimo posto della successione, e in questo caso il 1° giocatore ha la certezza di vincere.

Perciò se N è dispari la probabilità che vinca il 1° giocatore dovrebbe essere 0.5*(1+1/N).

Perfetto!
Proprio così

[Erasmus]

Questo quiz è molto semplice e mi è simpatico
Se ci sono n poalline indistinguibili al tatto di cui una rossa ed n–1 di altro colore, ciascuno dei due giocatori ogni volta che pesca ha probabilità un n-esimo di pescare la rossa.
Il calo di probabilità di poter ancora pescare è compensato esattamente dalla riduzione del numero di palline cioè del rischio di sbagliare ancora la rossa.
Bello, eh!
Se le palline sono 2n giascuno dei due giocatori ha probabilità 1/2 di essere lui a pescare la rossa.
Se le palline sono 2n+1 chi inizia per primo ha probabilità (n+1)/(2n+1) di essere lui a pescare la rossa e l'altro n/(2n+1).
–––

[Mizarino]

Ho corretto un refuso che ho notato nel mio precedente post (c'era un "k" che doveva essere un "N".
Concordo con Erasmus sul fatto che il quiz sia bello e simpatico, come tutti quelli che sembrano a prima vista difficili e complicati ma hanno invece una soluzione semplice e veloce.

[Erasmus]

aspesi

Un punto casuale P interno ad un cono retto di raggio r=3 ed altezza h=4, quante probabilità ha di essere più vicino al vertice del cono che non ad un qualsiasi punto della circonferenza di base ?

Viene P=5²/2⁷=25/128
ma non ho capito perché...

Penso che esista una superficie che taglia il cono in due parti ed è costituita dai punti equididtanti dalla circonferenza di base e dal vertice. Sulla superficie laterale la equi-distanza è 5/2 = 25/10. Ma sull'ase del cono è 25/8 =3,125
Quindi questa superficie di equidistanza non è piatta e nemmeno sferica (probabilmente è un paraboloide). Se la si trovasse, si potrebbewro calcolare le probabilità come rapporti di volumi.
Se questa superficie fosse sferica delimitereppe un cono sferico che per base ha una calotta di raggio 3/2 e alteza 2/5. Il suo volume, fatti i conti, verrebbe (25/12)π.
Il volume del cono è (π·3^2)·4/3 = 12π = (144/12)π.
Il rapporto verrebbe 25/144 che è 8/9 di quello che hai trovato tu.
Ma abbiamo visto che la superficie di equidistanza non era sferica e che in centro viene più bassa della sferica (con distanza dal centro della base 4 – 25/8 = 7/8 invece [se fosse sferica] di 4 – 5/2 = 3/2 = 12/8.
Come ordine di grandezza ci siamo ... e come valpre ci siamo quasi perfettamente se pensiano ad una superficie sferica sempre con lo stesso bordo citcolare (a metà altezza) ma col centro non nel vertice ma in un punto più basso, ossia dlimitante una parte di cono con la propria parte conica come prima (un ottavo del volume del cono) ma con la parte fatta a segmento sferico ad una base di una sfera più piccola ma con spessore del segmento maggiore in modo da avere la calotta più estesa (... insomma: più gonfia!).
Bisognerebbe cercare questa superficie di equidistanza. Magari va bene l'ipotesi di bordo di diametro 3 e alteza della calotta non
2,5 – 2 = 1/2
bensì
25/8 – 2 = (25 – 16)/8 = 9/8.
Una volta mi sarei messo a cercare questa superficie. Ma ora ... sono ormai cambiati i tempi!
Comunque il volume della parte più vicina è maggiore di quello che ci dava 25/144.
Se il nuovo volume fosse proprio 9/8 per il vecchio volume, la cercata probabilità sarebbe proprio 25/128.
Insomma: non abbiamo dimotrato che è così, ma ma il numero ci risulta ragionevolmente verisimile.
–––

[aspesi]

Non c'entra niente con combinatoria e probabilità



Speriamo che con il bisturi se la cavino meglio



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