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Vecchio 29-02-12, 00:36   #931
Erasmus
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Predefinito Re: Mannaggia le radici cubiche!

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Ehhhhhh
quantomeno... sbilanciata a ... destra
E' vero!
Grazie della segnalazione.
Ho ri-editato e corretto l'errore di scrittura.
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Erasmus
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-02-12, 05:54   #932
astromauh
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Quanto vale ESATTAMENTE il numero seguente?
x = {1 + √[1 – (1933/7225)^3]}^(1/3) + {1 – √[1 – (1933/7225)^3]}^(1/3)

x= 1,47058823529412

Quote:
E' razionale o irrazionale?
Boh!


Scritto in questo modo mi sembra più chiaro:

a= sqrt(1-(1933/7225)^3)

x= (1 + a)^(1/3) + (1 - a)^(1/3)

Comunque se dovessi scommettere, direi che si tratta di un numero razionale, altrimenti non capisco perchè Erasmus avrebbe scritto "ESATTAMENTE" in maiuscolo. Evidentemente si tratta di un numero che si può esprimere "ESATTAMENTE" con una frazione.

Ho indovinato?


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Vecchio 29-02-12, 09:37   #933
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
... non hai attivato outlook express per la posta elettronica e le news
Non uso "Outlook Express": sono in iMac e navigo con "Safari" (browser Apple per iMac).
Per la posta, sono con @alice.it (Telecom) e ricevo/trasmetto con "Mail" (ovviamente Apple per iMac).
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Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
x= 1,47058823529412
Boh!
L'essenza del quiz consiste nel fare una ipotesi sul valore esatto di x e poi dimostrare che davvero quello è il valore esatto.

Il numero che hai scritto è giusto "a meno di 5/10^15".
[Occhio: è arrotondato per eccesso! L'ultima cifra non è 2, ma 1; e la parte omessa incomincia con una cifra maggiore di 4 ].
Non può essere il valore esatto di quell'espressione. Infatti:
a) Se il numero è irrazionale, non lo potrai indicare esattamente con la sua rappresentazione decimale ma con una sua "definizione".
[Per esempio: la radice quadrata di due è r = 1,4142 ... "circa" ; e per quante cifre decimali scriva non l'avrai esatta; né da quelle già note potrai sapere quelle che seguono. Scrivendo √(2) non dici "quanto vale" ma ne dai la definizione perché dici che è quel numero il cui quadrato fa 2].
b) Se supponi che sia un numero razionale che però in forma decimale è periodico, il troncarlo comporta comunque un erroruccio per difetto.

Hai allora da seguire una delle seguenti strategie:
1) Moltiplicarlo per un numero intero q sperando che diventi un altro numero intero p.
2) Calcolarlo con moltissime cifre significative sperando che in esse si riconosca un periodo.
Nino I, con la sua calcolatrice a 500 cifre, potrebbe probabilmente indovinare se si tratta di numero periodico (cioè razionale) o no (cioè irrazionale).
In entrambi i casi non sei ancora sicuro, ma hai buona probabilità di indovinare la frazione.
Disponendo di un computer e di programmazione, la prima strategia è ovviamente preferibile.
Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Scritto in questo modo mi sembra più chiaro:
a= sqrt(1-(1933/7225)^3)
x= (1 + a)^(1/3) + (1 – a)^(1/3)
Questa è una mossa ... intelligente!
Se fai un'ipotesi per il valore x (per esempio: con le dette strategie trovi che è molto probabile che x sia razionale e valga esattamente p/q – dove tu sai cos'è p e cos'è q –) allora puoi calcolare il tuo "a" tale che risulti
(1 + a)^(1/3) + (1 – a)^(1/3) = x
Occhio: qui x è il numero noto che tu supponi, mentre l'incognita è "a".
Calcolato "a", se questo coincide con sqrt(1 – (1933/7225)^3) allora hai dimostrato che il tuo supposto x è il davvero il numero esatto richiesto (e, se il tuo x è razionale, hai dimostrato implicitamente che il valore esatto della data espressione è razionale).
[Ma questo ragionamento varrebbe anche se invece x non fosse razionale.

Ripeto: Fai una ipotesi assumendo per x un noto preciso (esatto) valore, diciamolo b. Calcoli l'incognita "a" tale che risulti
(1 + a)^(1/3) + (1 – a)^(1/3) = b
Se "a" ti risulta identico a quello dell'espressione, l'ipotesi che x valga esattamente b è giusta. Se il b che avevi ipotizzato è razionale/irrazionale, implicitamente hai dimostrato che la data espressione vale un numero razionale/irrazionale
-------------------

NB. Se sospetti che x sia razionale (al punto che saresti disposto a scommettere che è così) ... c'è una strada diretta per fare l'ipotesi sul valore esatto di x.

Suggerimento: prova a scomporre in fattori primi il denominatore 7225.
Prova poi ad eseguire i calcoli (solo quelli razionali) indicati nell'espressione
a = √[1 –(1933/7225)^3].
Poi, scritto "a" senza operazioni di somma o differenza, prova ad eseguire anche
(1 + a)^(1/3) e (1 – a)^)1/3)
[senza, però, mai eseguire con la calcolatrice radici quadrate irrazionali né radici cubiche].
Magari succede che puoi portare fuori dalle radici cubiche di x un pezzo di questo denominatore 7225, ossia qualche suo divisore d (che ti verrebbe a denominatore comune delle due radici cubiche). Questo d potresti trasportarlo da divisore di un membro a fattore dell'altro ...
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Ultima modifica di Erasmus : 29-02-12 10:55.
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Vecchio 29-02-12, 12:33   #934
astromauh
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Predefinito Re: Qualche quiz

EUREKA!

x= 75/51

1) Moltiplicarlo per un numero intero q sperando che diventi un altro numero intero p.

<%
Dim q as integer
Dim x, p as double
Dim a as double

a= sqrt(1-(1933/7225)^3)
x= (1 + a)^(1/3) + (1- a)^(1/3)
response.write("x= " & x & "<br>")

DO
q=q+1
p=x*q
LOOP UNTIL p= int(p)

response.write("p= " & p &"<br>")
response.write("q= " & q &"<br>")
response.write("p/q= " & p/q &"<br>")
%>

Nota: Sulla riga dove c'è scritto LOOP UNTIL y=int(y) avevo scritto una condizione di riserva ossia OR q=1000, per evitare che il programma si impallasse, se il numero non fosse stato razionale.



PS
Però ci sarei anche potuto arrivare da solo, senza il tuo suggerimento...
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Vecchio 29-02-12, 17:34   #935
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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EUREKA!

x= 75/51
Bravo!!!
(Ma perché non hai semplificato la frazione per 3?)
Erasmus aveva suggerito di scomporre 7225 nei suoi fattori primi 5^2 e 17^2; chissà perché il 25 è finito al numeratore e un 17 al denominatore...)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 29-02-12, 17:51   #936
astromauh
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Bravo!!!
(Ma perché non hai semplificato la frazione per 3?)
x= 1,47058823529412
p= 1,47058823529412 p-int(p)= 0,470588235294118
p= 2,94117647058824 p-int(p)= 0,941176470588235
p= 4,41176470588235 p-int(p)= 0,411764705882352
p= 5,88235294117647 p-int(p)= 0,88235294117647
p= 7,35294117647059 p-int(p)= 0,352941176470588
p= 8,8235294117647 p-int(p)= 0,823529411764705
p= 10,2941176470588 p-int(p)= 0,294117647058822
p= 11,7647058823529 p-int(p)= 0,76470588235294
p= 13,2352941176471 p-int(p)= 0,235294117647058
p= 14,7058823529412 p-int(p)= 0,705882352941176
p= 16,1764705882353 p-int(p)= 0,176470588235293
p= 17,6470588235294 p-int(p)= 0,647058823529409
p= 19,1176470588235 p-int(p)= 0,117647058823529
p= 20,5882352941176 p-int(p)= 0,588235294117645
p= 22,0588235294118 p-int(p)= 0,0588235294117645
p= 23,5294117647059 p-int(p)= 0,52941176470588
p= 25 p-int(p)= 0,999999999999996
p= 26,4705882352941 p-int(p)= 0,470588235294116
p= 27,9411764705882 p-int(p)= 0,941176470588232
p= 29,4117647058824 p-int(p)= 0,411764705882351
p= 30,8823529411765 p-int(p)= 0,882352941176467
p= 32,3529411764706 p-int(p)= 0,352941176470587
p= 33,8235294117647 p-int(p)= 0,823529411764703
p= 35,2941176470588 p-int(p)= 0,294117647058819
p= 36,7647058823529 p-int(p)= 0,764705882352935
p= 38,2352941176471 p-int(p)= 0,235294117647058
p= 39,7058823529412 p-int(p)= 0,705882352941174
p= 41,1764705882353 p-int(p)= 0,17647058823529
p= 42,6470588235294 p-int(p)= 0,647058823529406
p= 44,1176470588235 p-int(p)= 0,117647058823529
p= 45,5882352941176 p-int(p)= 0,588235294117645
p= 47,0588235294118 p-int(p)= 0,0588235294117609
p= 48,5294117647059 p-int(p)= 0,529411764705877
p= 50 p-int(p)= 0,999999999999993
p= 51,4705882352941 p-int(p)= 0,470588235294116
p= 52,9411764705882 p-int(p)= 0,941176470588232
p= 54,4117647058823 p-int(p)= 0,411764705882348
p= 55,8823529411765 p-int(p)= 0,882352941176464
p= 57,3529411764706 p-int(p)= 0,352941176470587
p= 58,8235294117647 p-int(p)= 0,823529411764703
p= 60,2941176470588 p-int(p)= 0,294117647058819
p= 61,7647058823529 p-int(p)= 0,764705882352935
p= 63,2352941176471 p-int(p)= 0,235294117647051
p= 64,7058823529412 p-int(p)= 0,705882352941174
p= 66,1764705882353 p-int(p)= 0,17647058823529
p= 67,6470588235294 p-int(p)= 0,647058823529406
p= 69,1176470588235 p-int(p)= 0,117647058823522
p= 70,5882352941176 p-int(p)= 0,588235294117638
p= 72,0588235294118 p-int(p)= 0,0588235294117538
p= 73,5294117647059 p-int(p)= 0,52941176470587
p= 75 p-int(p)= 0
p= 75
q= 51
p/q= 1,47058823529412

Ecco perchè, secondo il mio PC, 25 e 50 non vanno bene!

Accidenti a Bill Gates!
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Vecchio 29-02-12, 18:17   #937
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
[size="3"]Però ci sarei anche potuto arrivare da solo, senza il tuo suggerimento...
Ma non hai mica finito, eh!
Questo 75/51 = 25/17 è ora un valore ... molto probabile per quell'espressione: ma non hai ancora dimostrato che è il valore ESATTO dell'espressione. Potrebbe essere solo ottimamente approssimato!
[NB: Modifico ora il tuo simbolismo. Metto x al posto della tua "a" per intendere una variabile].
Devi cercare quale valore deve avere x (trattata come variabile) affinché risulti
F(x) = (1 + x)^(1/3) + (1 – x)^(1/3) = 25/17. (*)
Vedi che F(0) vale 2 e F(1) = F(–1) = 2^(1/3) ≈ 1,26 (circa)
Ossia F(0) = 2 > 25/17 > F(1) = 2^(1/3).
F(x) è continua e "pari" [cioè F(x) = F(–x)] tra –1 e 1; e decrescente tra 0 e 1 esclusi.
Tra 0 e 1 c'è dunque un preciso x per i quali F(x) = 25/17 (esattamente).
Trovalo!
Solo se ti risulterà che questo x vale √[1 – (1933/7225)^3], cioè che l'equazione (*) è risolta da
x = x = ±√[1 – (1933/7225)^3]
sarai sicuro che il valore dell'espressione è razionale perché è ESATTAMENTE 25/17.
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Ultima modifica di Erasmus : 29-02-12 19:00.
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Vecchio 01-03-12, 00:44   #938
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Trovalo!
Come faccio a trovare qualcosa che già ho?

Anche se gli hai cambiato di nome chiamandolo x, si tratta pur sempre di "a" che vale una quantità nota, ossia

√[1 – (1933/7225)^3] circa 0,990378420929634

Tu vorresti che io facessi finta di non conoscere questo numero, e che lo ricavassi in qualche modo da

(1 + x)^(1/3) + (1 – x)^(1/3) = 25/17

Se x vale 0 il risultato della prima parte dell'equazione dovrebbe essere 2, se invece x vale 1 il risultato è circa 1,26.
Il risultato che dobbiamo ottenere è 1,47 (25/17) per cui il valore di x deve essere compreso tra 0 ed 1 (In realtà sappiamo anche che è molto più prossimo ad 1 perchè deve valere 0,99).

Ma come ci si arriva?

Io procederei con la forza bruta dimostrando che 0,990378420929634 è il valore di x che approssima meglio il risultato 25/17, ma non credo che accetteresti questo tipo di dimostrazione.

Dovrei "manipolare" l'espressione?

Ma sono proprio queste le cose che non so fare. Il fatto che l'esponente sia lo stesso (1/3) serve a qualcosa? Ci permette di mettere insieme (1+ x) e (1 - x) ?

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Vecchio 01-03-12, 14:28   #939
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Predefinito Re: Qualche quiz

@ astromauh
----------------------
Quando lavori usando la calcolatrice (o comunque un calcolo automatico) su una espressione algebrica numerica, i risultati sono raramente esatti.
Faccio un esempio.
Supponi di dover tabulare la funzione
Codice:
                x –√(x^2 –1)
F(x) =  ––––––––––––––––
            2x – √[(2x)^2 –1]
per x attorno a 100.
Per x = 100, il calcolo automatico a 14 cifre significative ti dà
Codice:
              100 – √(9999)
F(100) = ––––––––––––– = 2,000.037.502.103.2
              200 – √(39999)
Tu, però, potresti "razionalizzare" il denominatore moltiplicando sopra e sotto per
2x + √[(2x)^2 – 1]
e quello che ottieni è esattamente la stessa cosa
[come 25/17 è la stessa cosa di (3·25)/(3·17) = 75/51 ]

Allora F(x) ti diventa
Codice:
             [x –√(x^2 –1)]·{x – √[(2x)^2 –1]}
F(x) =  ––––––––––––––––––––––––––––––= [x –√(x^2 –1)]·{x – √[(2x)^2 –1]}
                     (2x)^2 – [(2x)^2 –1]
e quindi (sempre calcolando con 14 cifre significative)
Codice:
F(100) = [100 – √(9999)]·[200+√(39999)] = 2,000.037.502.108.5
Osserva che le ultime due cifre sono diverse.
Beh: nessuno dei due valori è esatto!
E le ultime due cifre sono sbagliate in entrambi i modi di calcolo.
Se si operasse con almeno 20 cifre significative le prime 18 cifre sarebbero
F(100) = 2,000.037.502.109.424.80
Sarebbero tutte cifre giuste, ma ci sarebbe comunque l'erroruccio di troncamento (trascurando le cifre successive alla 20-esima).

Se invece si operasse con meno di 6 cifre significative si troverebbe un due tondo:
F(100) = 2
[In effetti, per x tendente all'infinito F(x) tende a due per valori decrescenti. Quindi per x grande F(x) vale "due e rotti", con "rotti" sempre più piccoli al crescere di x].

Morale: Moltiplicando per 17 la macchina calcolatrice dice 25. Ma non sei sicuro che sia esattamente 25.
---------------------------

Come ha fatto Erasmus a fabbricare quell'espressione?
[Sì: vale ESATTAMENTE 25/17, ma non l'abbiamno ancora dimostrato!]
Ha appunto risolto l'equazione

(1 + x)^(1/3) + (1 – x)^(1/3) = 25/17. (*)

Cosa che puoi benissimo fare anche tu se ti ricordi che
(a + b)^3 = a^3 + 3*(a^2)*b + 3*a*(b^2) + b^3 = a^3 + b^3 +3ab(a+b).

Infatti hai:
[(1+x)^(1/3) + (1–x)^(1/3)]^3 = (25/17)^3 –––>
––> (1 + x) + (1 – x) + 3{[(1+x)(1–x)]^(1/3)}·[(1 + x)^(1/3) + (1–x)^(1/3)] = (25/17)^3 .

Osserva ora che nel membro di sinistra puoi sostituire (1 + x)^(1/3) + (1–x)^(1/3) con 25/17 [come dice la (*)]

Ricavi allora: [NB: (1 + x) + (1 – x) = 2; (1 + x)(1 – x) = 1 – x^2]

2 + 3*(25/17)*[(1–x^2)^(1/3)] = (25/17)^3 –––> (1–x^2)^(1/3) = (25^3 – 2*17^3)/[3*(25*17^2)] ––>
––> (1–x^2)^(1/3) = 5799/21675 = 1933/7225 ––> 1 – x^2 = (1933/7225)^3 ––> x^2 = 1 – (1933/7225)^3 ––>
––> x = ±√[1 – (1933/7225)^3].

Ecco: con uno di questi due valori di x (e solo con uno di questi) l'espressione (1 + x)^(1/3) + (1 – x)^(1/3) fa ESATTAMENTE 25/17
===============
@ aspesi.
Certo: puoi estrarre dalle radici cubiche anche il divisore 5 (oltre al divisore 17), ossia √(7225) = 85.
Allora l'espressione diventa:
Codice:
[85^3 + √(85^6 – 1933^3)]^(1/3) + [85^3 – √(86^6 – 1933^3)]^(1/3)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ?
                           85
Il calcolo automatico ti dava 1,4705882352941.
Moltiplicando per 85 trovi che il numeratore vale (non certamente ma mooolto probabilmente!) 125.
Se però ti ricordi che una equazione di 3° grado del tipo
x^3 – 3px – 2q
che abbia una sola soluzione reale è risolta da
x = [q + √(q^2 – p^3)] ^(1/3) + [q – √(q^2 – p^3)]^(1/3)
allora il numeratore è la soluzione reale dell'equazione
x^3 – 3·1933·x – 2· 85^3 = 0;
e l'unica soluzione reale di questa è appunto x = 125 dato che si trova (dividendo per x – 125 col metodo di Ruffini )

x^3 – 3·1933·x – 2· 85^3 = (x – 125)* (x^2 + 125·x + 9826).

Naturalmente, la formula di risoluzione delle equazioni di 3° grado di tipo
x^3 – 3px – 2q = 0
si dimostra con procedimento analogo a quello applicato di sopra per trovare quale deve essere x perché l'espressione valga davvero (esattamente) 25/17.
Si ipotizza, cioè, che la soluzione reale sia del tipo (a)^(1/3) + (b)^(1/3), per cui dovrà essere:
[(a)^(1/3) + (b)^(1/3)]^3 – 3·p·[(a)^(1/3) + (b)^(1/3)]– 2·q = 0
Sviluppando il cubo iniziale si ha
a + b + 3·[(ab)^(1/3)][(a)^(1/3) + (b)^(1/3)] – 3·p·[(a)^(1/3) + (b)^(1/3)] – 2q = 0.
Questa diventa una identità se a+b = 2q e (ab)^(1/3) = p.
Ciò permette di ricavare a e b in funzione di p e q.

ab = p^3
a+b = 2q ––> (a+b)^2 – 4ab = (a–b)^2 = (2q)^2 – 4·p^3 = 4·(q^2 – p^3) ––>
––> a – b = 2·√(q^2 – p^3).

Allora
(a + b)/2 = q
(a – b)/2 = √(q^2 – p^3) ––> a = q + √(q^2 – p^3); b = q – √(q^2 – p^3).
E in definitiva

x = (a)^(1/3) + (b)^(1/3) = [q + √(q^2 – p^3)]^(1/3) + [q – √(q^2 – p^3)]^(1/3) (**)

Per p = 1933 e q = 85^3 x vale proprio 125.

Dividendo il polinomio di 3° grado
x^3 – 3·1933·x – 2· 85^3
per 85^3 e assumendo come variabile t = x/85, si ha

t^3 – 3·[1933/(85^2)]·t – 2 = t^3 – 3·(1933/7225)·t – 2.

Il polinomio è ancora del tipo
t^3 – 3·p·t – 2q (***)
Ma ora è p = 1933/7225 e q = 1.

Se prima lo zero reale era x = 125, ora sarà t = 125/85 = 25/17.

Applicando la formula risolutiva (**) delle equazioni di questo tipo abbiamo appunto

25/17 = t = {1 + √[1 –(1933/7225)^3]}^(1/3) + {1 – √[1 –(1933/7225)^3]}^(1/3)
--------------
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 01-03-12 16:05.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 01-03-12, 16:18   #940
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Stamattina, appena preso il caffè , ho subito provato:

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
(a + b)^3 = a^3 + 3*(a^2)*b + 3*a*(b^2) + b^3 = a^3 + b^3 +3ab(a+b).

--------------
Purtroppo, senza proseguire con l'ultima parte, che ho evidenziato in grassetto blu.

Così, non potevo sostituire a:
[(1 + x)^(1/3) + (1–x)^(1/3)]
il suo valore 25/17

Mi ero impantanato senza possibilità di proseguire semplificando e... ho subito rinunciato

aspesi non in linea   Rispondi citando
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