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Vecchio 16-10-21, 15:26   #4791
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

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nino280 Visualizza il messaggio
A.
Ciao
Adesso aspettiamo la dimostrazione matematica di Erasmus che magari la sta già preparando, o di Mizarino che si era già pronunciato dicendo che era facile.
Mettiamola così, visto che non ci azzecco mai le ultime cifre decimali, i miei disegni prendiamoli come abbozzi, o come sgrossature (un termine molto usato dai tornitori) e sta a voi la stesura delle equazioni.
Ciao
Ma tu, 17/3 come l'hai trovato?
Io ho trovato coordinata P 5,666666... per approssimazioni successive (minimizzando la somma delle due ferrovie), deducendo 17/3.
Ho visto anche che i due segmenti sono uno il doppio dell'altro

(Scusa sono bloccato con l'ernia del disco, non riesco neppure a stare seduto davanti al PC )



Esiste un teorema che dice:
Data una retta r e due punti esterni A e B, il punto O della retta r che minimizza la somma AO + OB è quel punto tale che i segmenti AO e OB formino angoli congruenti con la retta r

Ultima modifica di aspesi : 18-10-21 14:33.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-10-21, 09:58   #4792
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz



Devi trovare il centro di massa della figura a L:
Hai a disposizione solo due oggetti:
-una matita
-una riga NON graduata

Soprattutto per nino280...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-10-21, 18:57   #4793
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz



Mi costruisco una L a mio piacimento.
Poi prolungo il lato di 8 verticale fino ad incontrare l'8 di sotto. (tratto tratteggiato)
Ottengo 2 rettangoli uno orizzontale ed uno verticale.
Ne faccio le diagonali e congiungo gli incontri di queste 4 diagonali. (Diagonali Blu)
Ma dal disegno è tutto più chiaro che la mia spiegazione.
Idem poi faccio la stessa cosa prolungando il lato di 6
Anche qui come prima ho rettangoli, bla bla (ora diagonali in rosso).
Succede che i due congiungimenti dei punti di intersezione delle diagonali si incontrano in un punto.
Ebbene quello è il centro di massa della figura.
Ciao
Ma ho fatto anche la verifica con il Teorema di Varignon (ora devo cenare metterò in seguito le Equazioni).
E Varignon mi diceva che preso il vertice in basso a sinistra nell' origine il punto che stiamo cercando si trova a x 2,5 e y 3,5
E questo punto, con queste coordinate è lo stesso punto della costruzione grafica che ho mostrato che si può ottenere con un semplice righello (anche non graduato)
Ciao
Varignon :
x = [(8^2 * 10) - (6^2 * 8)] / 2 * (10 * 8) - (6 * 8 ) = 352 / 64 = 5,5
In verità il 5,5 bisogna sottrarlo all'estremo destro della L e quindi abbiamo 8 - 5,5 = 2.5
Per la y si ha
y = [(10^2 * 8) - (6 * 8^2)] / 2* (10 * 8) - (6*8) = (800 - 384) / 64 = 6.5
e 10 - 6,5 = 3,5
Che come ho già detto sono le coordinate x e y se parto dall' origine che io avevo messo sul vertice basso e a sinistra della L
Quindi questo quiz, si può risolvere in due modi diversi.
Ma ho la sensazione che si possa risolvere anche in un terzo modo, cioè con il Poligono Funicolare.
Proverò.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 18-10-21 21:09.
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Vecchio 19-10-21, 00:04   #4794
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
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Quote:
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[...] Adesso aspettiamo la dimostrazione matematica di Erasmus che magari la sta già preparando, [...]
Io ho trovato coordinata P 5,666666... per approssimazioni successive (minimizzando la somma delle due ferrovie), deducendo 17/3.
Ho visto anche che i due segmenti sono uno il doppio dell'altro

Sono due giorni che tento di rispondere qui! Ma il modem mi fa brutti scherzi! Per due volte credevo anche di aver inviato la risposta. ma poi la risposta mia non la vedevo.
Finalmente ho capito cosa succedeva: era il modem che interrompeva la connessione ad Internet e poi la riprendeva ... quando ne aveva voglia lui!
---------------
Sperando di poter finalmente rispondee vengo al quiz in questione..
Geometricamente la cosa è molto semplice perché anche la luce segue il percorso a lunghezza minima!
Supponiamo che la costa [rettilinea] sia speculare e che un raggio diluce venga emesso da A [o da B], si rifletta in un punto P della costa e vada poi a colpire B [o A].

Come si fa a trovare la giustaposizione di P sulla retta-costa?
Pensiamo ad un specchio piano. L'immagine di un oggetto la vediamo come se nel semispazio dietro lo specchio ci fosse un oggetto uguale (e simmetrico) dell'oggetto reale e noi lo vedessimo in linea retta.
Vediamo allora la costruzione geometrica che individua il punto P sulla retta-costa tale che il percoso
AP + PB
sia l più breve possibile..
Facciamo finta che in A [o in B] ci sia l nostro occhio che vede specchiarsi B [o A] nella retta-costa. Il nostro occhio vede l'oggetto specchiato di là della costa e lo vede alla stessa distanza dalla costa alla quale sta (dalla sua parte) l'oggetto reale.
Supponi che il tuo occhio sia in B.
Considera la retta r per A perpendicolare alla retta-costa; e sia A' l'ntersezione. La distanza di A dalla retta-costa è dunque AA'. Considera ora il punto A'' ancora sulla retta r (cioè allineato con A e A'), ma dall'altra parte di A rispetto alla retta-costa e tale che A' sia il punto centrale di AA". Allora A'' è l'immagine di A che il tuo occhio vede da B.
Congiungi ora B con A'' con un tratto rettilineo: l'intersezione di BA'' con la retta–costa è il punto P tale che
AP + PB
sia il percoso minimo al variare di P sulla retta-costa.
Tento di fare una figura qui senza ricorrere all'inserzione di una immagine.
Codice:
                                                                                        B
                                                                                        • B
  A                                                                        ·
 A•                                                         ·
                                              ·                                                    
–A'–––––––––––––––P–––––Q–––––––––––––––––––––––––B'–––––––  r             
               .                                                      
 •
 A''
Anche se la figura è poco espressiva, voi fate conto cher P è il punto della retta r allineato con e B.
Allora AP + PB = B.
Se considriamo qualsiasi altro punto Q di r abbiamo il percorso
AQ + QB = Q + QB >B
(dato che in ogni triangolo un lato è minore della somma dgli altri due).
–––––––
Venendo alla soluzione dello specifico quiz, la costa è la retta r di equazione y = x.
Il punto A sta in (x, y) = (1, 5).
La retta p per A perpendicolare alla retta r ha euqazine y = –x + 6.
L'intersezione A' di p con r sta in (3, 3). La distanza di A dalla retta r è dunque
AA' = √[(1 – 3)^2 + (5 – 3)^2] = √(8) = 2√(2).
Il punto B sta in (x, y) = (7, 15).
La retta q per B perpendicolare alla retta r ha equazine y = –x + 22.
L'intersezione B' di q con r sta in (11, 11). La distanza di B dalla retta r è dunque
BB' = √[(7 – 11)^2 + (15 –11)^2] = √(32) = 4√(2).
Siccome la distanza di B da r è il doppio della distanza di A da r, il punto P (su r tra A' e B') dista da B' il doppio di quanto dista da A'. Ha dunque coordinate
x =y = 3 + (11 – 3)/3 = 17/3.
[il porto P deve essere dunque costruito sulla costa nel punto di coordinate (17/3; 17/3)].
Le distanze di A e B da P valgono:
AP = √[(17/3 – 1)^2 + (17/3 – 5)^2] = √(200/9) = (10/3)·√(2) ≈ 4,7140452.
PB = √[(7 – 17/3)^2 + (15 – 17/3)^2] = √(800/9) = (20/3)·√(2) ≈ 9,4280904 = 2·AP
La somma di queste due distanze è 10√(2) ≈14,1421356.
––––––––––
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Esiste un teorema che dice:
Data una retta r e due punti esterni A e B, il punto O della retta r che minimizza la somma AO + OB è quel punto tale che i segmenti AO e OB formino angoli congruenti con la retta r
Brutto modo di trasdurre in geometria piana la legge di riflessione della luce che, nei tratti senza ostacoli, viaggia in linea retta, fa quindi il percorso più breve tra sorgente ed oggetto illuminato (anche se tramite riflessioni e/o rifrazioni).
La legge di riflessione ... la sanno anche i bambini delle medie: L'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione sono uguali.
Questi angoli sono le inclinazioni della luce in arrivo e in ritorno sulla perpendicolare allo specchio. Sono dunque complementari degli angoli di inclinazione sulla retta di appartenenza di P (qelli che nomini con questo teorema).
–––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 19-10-21 00:10.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-10-21, 10:47   #4795
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz



Rimetto questa figura perchè la mia precedente era poco chiara.
Ho soltanto aggiunto lettere ai valori delle lunghezze più le coordinate cartesiane del centro di massa che credo si possa chiamare anche baricentro.
Il motivo principale del nuovo disegno è dovuto al fatto che avevo scritto la formula del Teorema di Varignon, ma caso vuol che c'era "contaminazione" di numeri, perdonatemi il termine forse poco appropriato.
Avendo preso il ramo lungo della L = 10 poi il ramo corto = 8 e lo spessore = 2
a me serviva il valore di h minore da inserire nella formula e questo h minore mi veniva appunto 10 - 2 = 8 , quindi per farla breve uno che legge non sa a quale valore ( 8 ) io mi riferivo.
Ma ora scrivo le due formule di Varignon con le lettere così si capisce meglio.
Ben inteso io questa formula mica la sapevo, avendola vista forse una sola volta 50 anni fa.
Credo che fosse il 1972 o 1973 o giù di lì.
La copio dal vecchio libro di meccanica che ho conservato.
x = [(B^2 * H) - (b^2 * h)] / 2 * (B*H) - (b*h)
x è la coordinata del baricentro però devo fare 8 - 5,5 = 2,5
e 5,5 mi viene se sostituisco alle lettere le quote del disegno.
Per la coordinati y ho
y = [(B * H^2) - (b * h^2)] / 2 * (B * H) - (b * h)
anche qui andando a sostituire, ottenevo 6,5
E poi 10 - 6,5 = 3,5
Se si legge il valore di N come da disegno si vede x = 2,5 e y = 3,5
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-10-21 10:51.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-10-21, 11:07   #4796
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Mi costruisco una L a mio piacimento.

Ebbene quello è il centro di massa della figura.
Ciao

Ciao


Se X gatti catturano (X+4) topi in (4X+2)'
e (X+2) gatti (uguali ai precedenti) catturano (2X+2) topi (uguali ai precedenti) in (3X+3)',

quanto vale X?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-10-21, 14:35   #4797
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Predefinito Re: Qualche quiz


Salto per il "momento" il problema dei gatti e dei topi di Aspesi e parlo ancora della nostra L
E mi vado a calcolare il "momento" di Inerzia di questa figura, nonchè la Risultante che dovrà passare evidentemente per il punto N che abbiamo già, il così detto Baricentro o centro delle masse.
Avevamo già i punti di incontro delle diagonali dei rettangoli della L, allora vengo giù da detti punti con due parallele.
Da due punti equidistanti dall'ascissa mi traccio due Vettori (V e U)
Questi Vettori sono due Forze Equipollenti alle aree dei rettangoli.
E avevamo 10 x 2 = 20
E 6 x 2 = 12
Quindi i Vettori hanno intensità 20 e 12 e sono complanari e concordi come senso e verso. Ok.
Devo però avere l'accortezza di invertirli di posizione come si usa fare.
E allora congiungo come da disegno l'estremo dell'uno con l'origine dell'altro, ottengo una nuova intersezione che se torno su con una nuova parallela (la mia Risultante) come si vede passa ancora per il Baricentro della L che era il nostro punto N.
Potrei fare la stessa cosa e trovarmi la risultante nell'altro verso cioè a 90° da questa facendo delle parallele agli incontri delle diagonali ma parallele all'ascissa e non all'ordinata.
Credo che dovrebbe funzionare perchè non capisco perchè no.
Nota mi manca ancora il Poligono Funicolare che ricordo vagamente.
Lo farò in seguito.
Ciaè

Ultima modifica di nino280 : 19-10-21 15:02.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-10-21, 14:55   #4798
Mizarino
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Adesso aspettiamo la dimostrazione matematica di Erasmus che magari la sta già preparando, o di Mizarino che si era già pronunciato dicendo che era facile.
E' facile concettualmente, ma avevo sbagliato nel pensare che fosse facile il procedimento, perché avevo preso un abbaglio.

Date le coordinate cartesiane dei punti, e dette d1 e d2 le due distanze, si ha:

d1^2 = (x-1)^2 + (x-5)^2; d2^2 = (x-7)^2 + (x-15)^2 da cui sviluppando si ha:

z = d1+d2 = sqr(2)*[sqr(x^2-6x+13)+sqr(x^2-22x+137)]

a questo punto si può andare per tentativi, oppure si fa la derivata della funzione z e la si eguaglia a zero, trovando la soluzione dell'equazione risultante.

z' = (x-3)/[sqr(x^2-6x+13)]+(x-11)/sqr(x^2-22x+137) = 0

Avendo il computer, conviene risolverla con il più triviale dei metodi numerici iterativi, che non sempre funziona ma in questo caso sì, che consiste nello scrivere l'equazione nella forma:

x = 3 + (11-x)*sqr[(x^2-6x+13)/(x^2-22x+137)]

Poi partire da un valore tentativo di x, es. x=5, calcolare il valore del 2° membro e avere così un nuovo valore di x, quindi ripetere iterativamente fin quando la differenza fra due successivi valori non diventa minore della precisione desiderata.

Ho trovato così x = 5.6666666666666666

Poi sostituendo si può trovare d1 e d2.

P.S. L'abbaglio iniziale era stato pensare che si potesse fare tutto sui quadrati, ma naturalmente non è possibile, perché il minimo della somma delle due distanze non coincide con il minimo della somma dei due quadrati.
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-10-21, 15:07   #4799
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Mizarino Ok, niente male.
Basta sostituire da "Facilissimo" come usa dire sovente Erasmus, a "Un pochino complicato"
ed è tutto Ok.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 19-10-21, 18:04   #4800
nino280
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Predefinito Re: Qualche quiz

Altre volte io avevo calcolato il baricentro di figure geometriche, ad esempio di un triangolo, e che facevo? Ritagliavo la figura su un cartoncino, facevo un forellino nel baricentro, ci infilavo uno spillo e lo appendevo ad un muro, ad una porta che è di legno.
Facevo girare, ma finito di girare il cartoncino si bloccava, non penzolava dondolando prima di fermarsi del tutto. Insomma qualsiasi posizione io mettevo il triangolo o la figura che avevo fatto, lui stava fermo.
Qui abbiamo un problema ed il giochino non si può fare, per via del fatto che il baricentro cade fuori dalla figura, e allora dove faccio il buco per lo spillo?
Ma ho avuto un'idea che credo essere interessante.
Disegno una circonferenza qualsiasi, diciamo che la elle ci stia dentro,
Nel centro della circonferenza faccio il mio foro per lo spillo.
Ora alle stesse distanze delle coordinate del centro della circonferenza con quelle che ho già della elle, incollo la mia elle. Ora che ci penso se colla ci metto la colla ha un suo peso.
Lo scopo evidentemente è quello di sorreggere la elle.
Giro, secondo me ho lo stesso effetto di quando il baricentro mi cadeva all'interno della figura.
Domanda: e se invece di incollare la elle sulla circonferenza, io ritaglio la L?
Che cosa succede, ottengo lo stesso effetto?
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-10-21 21:36.
nino280 non in linea   Rispondi citando
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