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Vecchio 10-04-12, 15:25   #1131
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz



Così io la vedo.
Come pure andando su:
http://postimage.org/image/7i63k4hjh/
Altrimenti, vedo come Nino280 un quadratino con una x rossa al centro...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-04-12, 07:33   #1132
Epoch
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Predefinito Re: Qualche quiz

Siamo alle solite con PostImage?
l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.
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...Bisogna andare in alto per capire il trucco, che la terra non è piatta non è al centro di tutto, salire, ancor più in alto per vedere che il mondo, sta in una goccia del mare più profondo...
Epoch non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-04-12, 16:18   #1133
astromauh
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Epoch Visualizza il messaggio
Siamo alle solite con PostImage?
l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.
@Erasmus, ma perché non metti le tue immagini da qualche altra parte?

Di siti che offrono questo servizio ce ne sono diversi.



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astromauh non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-04-12, 18:10   #1134
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Epoch Visualizza il messaggio
...l'inclusione diretta delle immagini funziona solo per chi le inseriscie.
D'accordo.
Ma ... nessun commento sulla ricerca della soluzione del quiz non ancora risolto?

Torniamo all'ultimo quiz di Nino II:
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Quale regione all'interno di un quadrato di lato 1 possiede il maggior rapporto area / perimetro ?
Se il quiz consistesse in una gara a chi trova una figura contenuta nel quadrato di lato 1 con rapporto
r = <area>/<perimetro>
più grande, il quiz resterebbe aperto potendo qualcuno battere il record provvisorio (trovato da me), consistente in un quadrato ad angoli smussati con profilo circolare.
Ricapitolando, abbiamo visto che:
• Per ogni poligono regolare di 4n lati il rapporto è sempre 1/4. E' 1/4 anche per il cerchio (come si ottiene per n tendente all'infinito e anche direttamente essendo il raggio 1/2 e quindi l'area π/4 e la circonferenza π, per cui <area>/<circonferenza> = (π/a)/π = 1/4)
• Si può superare questo rapporto pensando ad un ottagono irregolare [con 4 lati alterni centrati nei 4 lati del quadrato] al quale aggiungere 4 ..."lunotti" (uno per ciascuno degli altri 4 lati) che dànno complessivamente alla figura l'aspetto di un quadrato con gli angoli smussati.

In generale, se x è il cateto di ciascuno dei 4 triangoli rettangoli isosceli asportati dal quadrato, dato un lunotto di asegnata forma, questo avrà un'area proporzionale ad x^2 ed una lunghezza dell'arco che lo delimita proporzionale ad x.
Data la forma del lunotto, chiamiamo k un fattore di forma che misura il rapporto tra la lunghezza dell'arco che lo delimita e quella della base [che nel nostro caso è x·√(2)]. Possiamo caratterizzare anche l'area con un altro fattore di forma (diciamolo h) che dà il rapporto tra l'area del lunotto quadrato della lunghezza della sua base [sempre ricordando che nel nostro caso la base è lunga x √(2)].

Pertanto, l'area è della figura è:
– l'area del quadrato , che è 1
– meno l'area dei 4 triangoli rattangoli isosceli di cateto x, che è 4·[(x^2)/2] = 2·x^2
– più l'area dei 4 lunotti, ciascuno di area h·[(x·√(2)]^2 = 2·h·x^2, e in tutto 8·h·x^2.

Complessivamente:
<area> = 1 – 2·x^2 + 8· h·x^2 = 1 –2·(1 – 4·h)·x^2.

Il perimetro è costituito dai 4 lati dell'ottagono centrati sui lati del quadrato, ciascuno di lunghezza 1–2·x, più i 4 archi dei lunotti, ciascuno lungo k·[x·√(2)].
Complessivamente:
<perimetro> = 4·[1 – 2·x + k·√(2)·x] = 4·{1 – [2 – k·√(2)]·x}.

Il rapporto da massimizzare è dunque (in generale):
Codice:
                                       1        1 –2·(1 – 4·h)·x^2
<area>/<perimetro> = ––– · –––––––––––——––––.
                                       4        1 – [2 – k·√(2)] x
La funzione
F(x) = 4·<area>/<perimetro>
è dunque molto espressiva, dato che è sempre
F(0) = 1
(ciò significando che la figura va a coincidere col quadrato al tendere a zero dell'ampiezza dello smusso angolare).

Una volta assunta una certa forma, c'è un massimo per certo x compreso tra 0 e 1/2.
Sia x il valore di x dove c'è il massimo. Questo vale F(x)
Per esempio, con lunotto circolare abbiamo
h = (π–2)/8 = 0,142699 ...; 2(1 – 4·h) = 0,8584073464 ...
k = [π·√(2)]/4 = 1,11072073454 ...
Il massimo si ha per x = 0,2650794521343 .. e vale 4/[2+√(π)] = 1,060317808537...

Ho provato con altre forme di lunotto.
In particolare con lunotto sinusoidale e parabolico.
Ci si avvicina al valore ottenuto con lunotti circolari, ma per ora il record resiste!

---------------

Credo d'aver trovato il metodo per determinare la forma con il massimo assuluto.

Supponiamo di conoscere quel profilo.
Assomiglierà ad un segmento di parabola e avrà gli angoli delle "punte" di 45 gradi.
La parabola "normalizzata" con base lunga 2 e angoli di 45° è alta 1/2, ha equazione cartesiana y = (1 – x^2)/2 ed i fattori di forma sono
h = (2/3)/4 = 1/6 = 0,1666666... quello per l'area:
k = [ln[1+√(2)] + √(2)]/2 = 1,11479357... quello dell'arco.

La sinusoide "normalizzata" con base lunga π e angoli di 45° è alta 1, ha equazione cartesiana y = cos(x) ed i fattori di forma sono
h = 2/(π^2) = 0,202642367 ... quello per l'area:
k = √(2)·E[π, √(2)/2] = 1,216008 ... quello dell'arco

Il profilo che massimizza il rapporto assomiglierà anche ad una sinusoide.

Sia con smussi sinusoidali che parabolici si trova il massimo di F(x) maggiore di 1,059.

Se conoscessimo la funzione del profilo massimizzante il rapporto potremmo svilupparla in serie di potenza del tipo
A + B·x^2 + C·x^4 + ...
Oppure potremmo svilupparla in serie di Fourier.

Non conoscendola, potremmo cercare i coefficienti delle componenti tali da ottenere il profilo ottimo.

Io ho provato a mettere una terza armonica in aggiunta al profilo sinusoidale.
Imponendo le condizioni giuste ho trovato un rapporto che sfiora (e forse supera) 1,06
[Il record da battere è 1,0603. Io ho trovato ≈1,0600]
Ho anche provato ad aggiungere alla parabola una componente di 4° grado.
Anche qua si arriva a toccare 1,06.
Resta dunque il dubbio che quei lunotti circolari costituiscano il massimo assoluto.
Io non ne sono affatto convinto.

Penso invece che il massimo assoluto si ottenga con una curva con una infinità di componenti (per esempio potenze: A + Bx^2 + Cx^4 + ...)
E anche che alla fine l'ottagono irregolare si riduca ad una losanga, ad un quadrato di diagonale 1; cioè che il massimo assoluto si abbia alla fine per x=1/2, cioè con un tipo di smusso che inizia dolcemente dal centro dei lati del quadrato per arrivare alla massima curvatura sulle diagonali del quadrato

Ma ... senza poter programmare è un po' dura ...

Qui occorrerebbe lavorare numericamente con alta accuratezza: cosa che io non posso fare in certi casi (per esempio nel fare integrali numerici, indispensabili per calcolare la lunghezza del profilo quasi parabolico).

C'è qualche programmatore disposto a tentare un calcoletto del genere?
---------
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 12-04-12 12:41.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-04-12, 21:31   #1135
Epoch
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
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D'accordo.
Ma ... nessun commento sulla ricerca della soluzione del quiz non ancora risolto?
Chiedo Scusa, ma questo non sono riuscito a seguirlo bene..
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...Bisogna andare in alto per capire il trucco, che la terra non è piatta non è al centro di tutto, salire, ancor più in alto per vedere che il mondo, sta in una goccia del mare più profondo...
Epoch non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-04-12, 00:05   #1136
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Predefinito Re: Qualche quiz

Da Erasmus
Il massimo si ha per x = 0,26579.. e vale 4/[2+√(π)] = 1,06031780...
Mi ricordo di un numero simile, si trattava di far passare un cubo dentro un quadrato di lato più piccolo.
E' noto come Il paradosso del Principe di Rupert, ma forse è meglio che vi rimando a quella discussione:
http://www.trekportal.it/coelestis/s...t=12567&page=4

La discussione era " Ovvi Cubi " di Piotr
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-04-12, 09:25   #1137
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Da Erasmus:
[...] 1,06031780...
Mi ricordo di un numero simile, si trattava di .
E' noto come Il paradosso del Principe di Rupert, ma forse è meglio che vi rimando a quella discussione:
http://www.trekportal.it/coelestis/s...t=12567&page=4
La discussione era " Ovvi Cubi " di Piotr
Ciao
No Nino I !
a) Il cubo doveva passare per un buco (="foro passante") di un cubo più piccolo.
E' impossibile «far passare un cubo dentro un quadrato di lato più piccolo» [sottinteso «del suo spigolo»]
In un cubo si può invece fare un tunnel di sezione quadrata di lato maggiore dello spigolo del cubo.
Rimetto la figura che sta nella pagina che tu avevi 'linkato' in quella discussione.
b) I numeri quasi uguali sono diversi!
Il rapporto 4·<area>/<perimetro> di cui stiamo parlando è
4/[2 + √(π)] = 1,060.317.808.537.2 ...
Il "numero di Rupert" (= lunghezza dello spigolo del cubo più grande che può passare in un buco opportuno di un cubo di spigolo 1) è invece:
√(9/8) = (3/4)·√(2) = 1,060.660.171.8 ...
––––––––

--------------------------
P.S. (Editando ...)
Riassumo:
C'è un quadrato di lato 1.
Devo cercare una figura (piana) inscritta in questo quadrato con un rapporto <area>/<perimetro> il più grande possibile.
Provo allora ... quanto segue.
Asporto da ciascun angolo del quadrato un quadratino di lato x ricavando una figura fatta "croce", ... cosi: + .
Spacco in quattro un cerchio di raggio x e colloco ciascun quarto di cerchio al posto di ciascun quadratino asportato.
Ottengo un quadrato ad angoli smussati con smusso circolare di raggio x.
Questo ha area
1 – 4x^2 + π·x^2 = 1 – (4 – π)·x^2
e perimetro
4 – 8x + 2·π·x = 4·{1 –1 – [(4 – π)/2]·x}
Il rapporto
4·<area>/<perimetro>
è del tipo
r(x) = (1 – a·x^2)/[1 – (a/2)·x]
dove
a = 4 – π = [2 + √(π)]·[2 – √(π)]
L'andamento di r(x) mostra che r(x) ha un massimo in un certo x tra 0 e 1/2 esclusi.
Annullando la derivata di r(x) si trova che essa si annulla in
x = [2 – √(4 – a)]/a = 1/[2 + √(π)].
E' qui che la funzione r(x) è massima.
Per questo x essa vale
r(x) = [1 – (4 – πx^2]/{[1 – (4 – πx/2] = {1 – [2–√(π)]/[2 + √(π)]}/{1 – [2 – √(π)]/2} = 4/[2 + √(π)].
Resta la domanda se questo record è davvero imbattibile ...
A ri-ciao!
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 12-04-12 10:34.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-04-12, 10:54   #1138
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Il massimo si ha per x = 0,26579.. e vale 4/[2+√(π)] = 1,06031780...

Ho provato con altre forme di lunotto.
In particolare con lunotto sinusoidale e parabolico.
Ci si avvicina al valore ottenuto con lunotti circolari, ma per ora il record resiste!
Ti è sfuggito uno zero (0,265079452..)

Non riesco a seguire i tuoi lunotti sinusoidali e parabolici, ma, come ho già detto, sarei pronto a scommettere che il massimo dei lunotti cicolari non può essere superato.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-04-12, 17:38   #1139
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Ti è sfuggito uno zero (0,265079452..)
Ho corretto.
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Non riesco a seguire i tuoi lunotti sinusoidali e parabolici, ...
Visto che hai capito il lunotto circolare, non ti sarà difficile capire anche il resto.
Siamo già d'accordo sull'ottagono irregolare con 4 lati paralleli alla diagonale del quadrato e lunghi x·√(2) e gli altri 4 centrati nei lati del quadrato lunghi 1 – 2·x.
Al posto dei "lunotti" circolari (che sono "segmenti di cerchio" di raggio x ed angolo al centro π/2, possiamo mettere "lunotti" di altra forma (sempre però assomigliante ai lunotti circolari.
Indispensabile è che x sia compreso tra 0 e 1/2, che la tangente negli estremi dell'arco sia a 45° sulla "base" [che è la "corda" , è lunga x·√(2) e a coincidere con il lato dell'ottagono parallelo alla diagonale del quadrato].

a) Lunotto parabolico.
La parabola è il luogo dei punti (del piano) equidistanti da un punto F – il "fuoco" – e da una retta d – la "direttrice".
Una parabola qualsiasi è caratterizzata dal solo parametro "apertura" p.
Che cos'è l'apertura di una conica (ellisse, parabola o iperbole)?
Parabola: considera la perpendicolare n all'asse per il fuoco.
Elllisse e iperbole: considera l'asse principale (quello per i fuochi) e la perpendicolare n ad esso per un fuoco
Questa retta n interseca la conica in due punti A e B equidistanti dal fuoco F (allineato con A e B). L'apertura p è metà della distanza tra A e B (cioè la distanza comune di A e/o B dal fuoco allineato su n con A e B).
Nella parabola, l'asse interseca la direttrice d in un punto a distanza dal fuoco F come i punti A e B (per definizione), cioè a distanza p dal fuoco. Allora il vertice V, distando ugualmente dal fuoco e dalla direttrice, dista p/2 dal fuoco.

Considera la parabola di equazione cartesiana
y = (p/2)·[1 – (x/p)^2]
E' immediato rilevare che il fuoco è nell'origine O(0, 0), il vertice ha coordinate (0, p/2) e i punti A e B hanno coordinate (±p, 0).
L'inclinazione di questa curva "parabola" sull'asse y in x = ±p è proprio 45° (come si trova subito derivando).
Diciamo "base" la corda di estremi A e B lunga 2p (che ora è un segmento dell'asse delle ascisse).
Il lunotto "parabolico" è il segmento di parabola delimitato dall'arco di curva e dalla sua corda-base di estremi A e B.
L'area del lunotto è 2/3 del rettangolo in cui è inscritto il lunotto.
Il rettangolo ha i lati lunghi 2p e p/2, quindi è di area p^2 e l'area del lunotto è (2/3)·p^2.
La parabola è uno dei pochi casi in cui (per integrazione) si riesce ad esprimerfe la lunghezza di un suo arco in termini di funzioni già note.
Infatti, per qualsiasi curva y = f(x) , detto ds un pezzettino di arco e y' la derivata di f(x), abbiamo:
ds = √(dx^2 + dy^2) = √(1 + y'^2) dx
Nel caso della nostra parabola
y = (p/2)·[1 – (x/p)^2] = p/2 – (x^2)/(2p) => y' = – x/p => √(1 + y'^2) = √[(1 + (x/p)^2].

La lunghezza dell'arco di parabola tra gli estremi A e B della base del "lunotto è dunque:
Codice:
           p                                   1
L = 2·√[1 + (x/p)^2] dx = 2p  √(1 + t^2) dt
         0                                    0
La primitiva di √(1 + t^2) nulla in t = 0 è
F(t) = {ln[t + √(1+t^2)] + t·√(1 + t^2)}/2.
[Si ricava facilmente con la sostituzione t = sinh(z) e anche (un po' meno facilmente!) con la sostituzione t = tan(phi)].
In conclusione, la lunghezza dell'arco del lunotto parabolico di base 2p è:
L = p·{ ln√[1 + √(2)] + √(2)} = 2p·1,1477935746963...
Il rapporto tra la lunghezza dell'arco e quella della corda è dunque:
k = { ln√[1 + √(2)] + √(2)}(2 = 1,1477935746963...
NB: Per il lunotto circolare avevamo k = (π/2)/√(2) = π·√(2)/4 = 1,1107207345396...

La funzione da massimizzare
4·<area>/<perimetro>
è ancora del tipo
r(x) = (1 – a·x^2)/(1 – b·x)
Solo che adesso sono diversi da prima i coefficienti a e b.
-------------------

Analogamente si può fare con la sinusoide osservando che
• Il lunotto sinusoidale y = cos(x) ha la base lunga π, l'altezza 1 e l'area 2.
Quindi il lunotto di base x·√(2) ha area 4/π^2.
• La lunghezza dell'arco di sinusoide y = cos(x) in un semiperiodo (che coinvolge l'integrale ellittico di 2ª specie) è k volte il semiperiodo π, dove:
k = 1,21600803...
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
... sarei pronto a scommettere che il massimo dei lunotti cicolari non può essere superato.
Non scommetto mai. Ma penso che, se disponessi di mezzi di calcolo adeguato, perderesti la scommessa.
E lo penso perché credo che la curva che produce quel rapporto massimo debba essere una curva analitica (senza discontinuità nelle derivate), mentre invece quella che per ora detiene il record ha la curvatura che passa di scatto da zero a 1/x.
Vista la curva rispetto ad assi paralleli alle diagonali dxel quadrato, non ci sono angolosità, è vero, [la derivata prima è continua]. Ma non mi convince la discontinuità nella derivata seconda.

Ciao ciao
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Erasmus
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Vecchio 12-04-12, 18:31   #1140
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Visto che hai capito il lunotto circolare,

Ciao ciao
???
Quella era la mia soluzione

#1118
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
OK, i rapporti possono migliorare se le smussature sono arrotondate con archi di circonferenza tangenti ai lati del quadrato, di raggio x pari alla distanza tra i vertici del quadrato e i punti di tangenza.
Variando x tra 0 e 0,5 si passa dal quadrato originale al cerchio inscritto (rapporto area/perimetro = 0,25 in entrambi i casi)

Però, io trovo che il massimo è un po' minore rispetto a quello calcolato da te e precisamente:
S/P = 0,265079...
per x=0,2651..

aspesi non in linea   Rispondi citando
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