Estrazioni casuali

[Erasmus]

aspesi

Lanci 5 dadi regolari.
E' più facile ottenere un tris (3 numeri uguali e due diversi) oppure tutti i 5 numeri diversi?

Provo a calcolare!
E' come tirare a sorte un numero di cinque cifre un un sistema numerico a 6 cifre. Mettendo in ordineè'è costante i 5 dati (come se si lanciasserro uno alla volta) ci sono
6^5 = 7776 "cinquine" distinte.
Ci sono C(5, 3) = 10 tris possibili tutti uguali a (x,x, x).
Per ciascono di essi gli altri due numeri possono variare in (6 – 1)·(6 – 1) = 25 modi.
I casi di tris sono dunque
6·(10·25) = 1500.
I casi di 5 numeri tutti diversi sono 6! = 720
Infatti
• un primo numero può uscire in 6 modi diversi,
• per ciascuno di questi un secondo numero diverso dal primo può uscire in 5 modi diversi
• un (k+1)–esmo numero diverso da ciascuno dei primi k distinti numeri può uscire in 6–k modi diversi.
Quiondi le cinquine di numeri ciscuno divero dagli altri 4 sono 6·5·4·3·2 = 730
Oh: i casi di tris sono più del doppio dei casi di 5 numeri tutti diversi!
Le rispetrtive probabilità sonp
p(tris) = 1500/7776 ≈ 19,29%
p(5 numeri distinti) = 720/7776 ≈ 9,26%
–––

[aspesi]

Erasmus

Provo a calcolare!
E' come tirare a sorte un numero di cinque cifre un un sistema numerico a 6 cifre. Mettendo in ordineè'è costante i 5 dati (come se si lanciasserro uno alla volta) ci sono
6^5 = 7776 "cinquine" distinte.
Ci sono C(5, 3) = 10 tris possibili tutti uguali a (x,x, x).
Per ciascono di essi gli altri due numeri possono variare in (6 – 1)·(6 – 1) = 25 modi.
I casi di tris sono dunque
6·(10·25) = 1500.
I casi di 5 numeri tutti diversi sono 6! = 720
Infatti
• un primo numero può uscire in 6 modi diversi,
• per ciascuno di questi un secondo numero diverso dal primo può uscire in 5 modi diversi
• un (k+1)–esimo numero diverso da ciascuno dei primi k distinti numeri può uscire in 6–k modi diversi.
Quindi le cinquine di numeri ciascuno diverso dagli altri 4 sono 6·5·4·3·2 = 730
Oh: i casi di tris sono più del doppio dei casi di 5 numeri tutti diversi!
Le rispettive probabilità sono
p(tris) = 1500/7776 ≈ 19,29%
p(5 numeri distinti) = 720/7776 ≈ 9,26%
–––

Bene, però hai messo assieme il semplice tris (n cui gli altri due numeri sono diversi), con il full (in cui gli altri due numeri sono uguali fra loro)

I 6^5 casi possibili si ripartiscono così:

pokerissimo 6
poker 150
full 300
tris 1200
doppia coppia 1800
coppia 3600
5 numeri distinti 720

[aspesi]

Logica (molto facile)

[aspesi]

[Erasmus]

In coordinate cartesiane tali che i vertici del quadrato abbiano coordinate
A(–5, 5); B(5, 5); C(5, –5); D(–5, –5)
un punto del quadrato P(x, y) dista
PO = √(x^2 + y^2) dal centro O(0, 0)
e
PV = √[(5–|x|)^2 + (5 – |y|)^2] dal vertice più vicino.

Vediamo per quali x e y viene PV = PO
PV = PO ⇒ 50 – 10(|x|+|y|)= 0 ⇔ |x|+|y| = 5.
L'ultima equazione, dovendo P appartenere al quadrato ABCD, è l'equqzione della linea perimetrale del quadrato che ha per vertici i punti medi dei lati di ABCD (ed ha ovvimente un'area che è metà di quella di ABCD).

Pertanto la probabilità che un punto casuale P del quadrato ABCD sia più vicino al centro che ad un vertice è la stessa di essere esso più vicino ad un vertice che al centro (cioè 50%).

Sia in generale 2a (invece di 10) la lunghezza del lato del quadrato ABCD.
I vertici dei punti medi dei lati di ABCD siano
E(0, a); F(a, 0); G(0, –a); H(–a, 0).
Ciascuno di questi 4 punti dista a dagli estremi del lato di cui è punto medio e dista a anche dal centro O.
In generale, un punto dell'asse di un segmento di estremi un vertice V di ABCD e il suo centro O dista ugualmente da V e da O. Ecco allora che un punto della linea perimetrale di EFGH, a parte i 4 vertici di EFGH, è equidistante dal centro e dal vertice di EFGH che sta nel suo stesso quadrante.

Insomma: al giusto risultato [di equiprobabilità] si arriva anche con elementari considerazioni geometriche senza passare per considerazioni algebriche (che però sono le più sbrigative!)
–––––––

[aspesi]

Erasmus

Insomma: al giusto risultato [di equiprobabilità] si arriva anche con elementari considerazioni geometriche senza passare per considerazioni algebriche (che però solo le più sbrigative!)
–––––––

Non ho capito bene quello che dici e quale risultato credi sia giusto (leggo un 50%, chiaramente errato), ma penso che il modo con cui hai affrontato il problema e i tuoi ragionamenti siano sbagliati.

Guarda questo disegno:


La probabilità sarebbe 1/4 se utilizzassimo P2, ma questo punto è più vicino al lato AB rispetto a O. Il punto P1 invece è equidistante dal centro e dal lato AB.
Se poniamo OE = 1, il segmento OP1 misura 2 - RADQ(2).

[Erasmus]

aspesi

Non ho capito bene quello che dici e quale risultato credi sia giusto (leggo un 50%, chiaramente errato), ma penso che il modo con cui hai affrontato il problema e i tuoi ragionamenti siano sbagliati.

E come fai a pensare che i miei ragionamenti sono sbagliati se non li hai capiti NONOSTANTE LA CHIAREZZA con cui li ho esposti?
Io ho spiegato molto bene, INEQUIVOICABILMENTE, come arrivo al risultato di equiprobabilità che un punto casuale del quadrato sia più vicino al centro o più vicino ad un vertice. E continui a pensare di aver ragionato bene!
Ti faccio una domamda:
Sei d'accordo sì o no che nel 1° quadramte i punti del segmento di retta di equazione
y + x = 5
distano ugualmente dal vertice di quel quadrante e dal centro?
La cosa E' OVVIA dato che l'asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento e, detto V(5, 5) il vertice del 1° quadrante ed O(0, 0) il centro, l'equazione dell'asse di OV è proprio x+y = 5.
Ripeto: Considera il quadrato che ha per vertici i punti medi dei lasti del dato tuo quadrato ABCD. [E' disposto a losanga e ha i vertici sugli assi cartesiani]. Se sulla sua corconferenza i punti sono equidistanti dal centro e dal vertice più vicino, allora i punti dentro sono più viocini al centro e i punti fuori sono più vicini ad un vertice, Guarda cas, quel quadrato la cui circonferenza ha equazione
|x| + |y| = 5
ha area metà dell'area del tuo ABCD
Dai ... pensaci un po'. Tira poi anche tu le conclusioni!

aspesi

Guarda questo disegno:

La probabilità sarebbe 1/4 se utilizzassimo P2, ma questo punto è più vicino al lato AB rispetto a O. Il punto P1 invece è equidistante dal centro e dal lato AB.
Se poniamo OE = 1, il segmento OP1 misura 2 - RADQ(2).

Sei tu che non spieghi abbastanza che ragionamento fai per concludere 2 – √(2) ≈ 58,58%
Io non ti capisco!
Ma siccome mi sento sicuro d'aver ragionato bene, penso che da qualche parte tu hai ragionato male!
Io ho spiegato bene ccome ho ragionato, tu no!
Spiegati bene anche tu ... e capirò dove sbagli!
–––

[aspesi]

Erasmus

Io ho spiegato molto bene, INEQUIVOICABILMENTE, come arrivo al risultato di equiprobabilità che un punto casuale del quadrato sia più vicino al centro o più vicino ad un vertice.
–––

Ecco il tuo errore!
Il testo dice:
... un punto casuale sia più vicino al centro del quadrato che A UNO QUALUNQUE DEI SUOI LATI (non a un vertice!)

Se tu avessi guardato bene il mio disegnino, avresti capito.
La soluzione è: un po' meno del quadrato centrale (di area 1/4 del quadrato esterno), perché occorre considerare i 4 segmenti parabolici (avevo messo lo schizzo anche per invogliare nino280 a fare la figura per bene, sicuro che geogebra gli avrebbe trovato anche l'area giusta)

[ANDREAtom]

Ma che cacchio di quiz sono questi? chi ce l'ha messo li quel punto? è una cacca di mosca capitata li per caso, o un punto fatto a penna con gli occhi bendati o cosa?
In ogni caso se si disegna un altro quadrato interno equidistante da quello esterno e dal centro, le probabilità che questo punto sia dentro o al di fuori del secondo quadrato secondo me sono esattamente del 50%

[aspesi]

ANDREAtom

Ma che cacchio di quiz sono questi? chi ce l'ha messo li quel punto? è una cacca di mosca capitata li per caso, o un punto fatto a penna con gli occhi bendati o cosa?
In ogni caso se si disegna un altro quadrato interno equidistante da quello esterno e dal centro, le probabilità che questo punto sia dentro o al di fuori del secondo quadrato secondo me sono esattamente del 50%

La probabilità (e il calcolo combinatorio) è una branca della matematica che si occupa di studiare e calcolare le frequenze con cui si verificano gli eventi.

Quel punto è solo uno degli infiniti punti che vanno esaminati e che "a caso" potrebbero essere messi all'interno del quadrato. Il problema consiste proprio nel calcolare quanti di questi punti sono ugualmente o meno distanti dal centro del quadrato (O) rispetto alla loro distanza minima dai lati, rapportati (cioè diviso) tutti i punti possibili nell'interno del quadrato (cioè quelli precedenti più quelli che sono posti ad una distanza maggiore dal centro rispetto ai lati del quadrato).

Capire il problema è facile quasi per tutti, scoprire come risolverlo esattamente (che significa calcolare la probabilità) è un'altra questione.
Comunque è abbastanza semplice rendersi conto che se i punti capitano in un cerchio o quadrato centrale di lato o diametro 1/2 rispetto al quadrato esterno, questi sono "grossolanamente" più vicini al centro che ai lati del quadrato grosso, e quindi il risultato di questo problema è minore di 1/4 (cioè 0,25) e maggiore di r^2*pigreco/4 che vale 0,196349541.

Infatti, occorre considerare, invece di quadratino o cerchio interno, la figura risultante da 4 segmenti parabolici (come nel mio disegnino) e calcolarne l'area (da dividere per l'area del quadrato esterno).