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Vecchio 07-01-11, 18:13   #321
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Tu hai detto che ci sono 5 percorsi distinti ugualmente lunghi e minimi.
Vediamo in dettaglio.
NB_1: Distinguiamo in A e A' ed in B e B' i punti ottenuti dallo sdoppiamento di A e di B.
NB_2 Nel primo disegno che hai fatto, la parete lunga (diciamola lunga x) era a sinistra rispetto alla distanza ... "in linea d'aria" AB (e a destra c'era quella corta, diciamola larga y). Ho allora cambiato le posizioni di A e B nel disegno della "scatola rotta" per mantenere questa situazione.
Codice:

    A  _____x______
     |\.           |
A’ __|_ \__._ _ _ _|___
 | . |    \    .   |   |
 |y  | .    \     .|  y|
 |___| _ _ . _\ _ _|__.|B’
     |         .\  | h
     |_____x______\|h
                   B
Supponiamo che i 5 percorsi siano due coppie di percorsi simmetrici (L1, L2) ed L(4, L5) più un quinto (che elenco per terzo e chiamo L3) ... come segue:
1) Andare lungo il bordo superiore tenendo la sinistra: L1 = x+y;
2) Andare lungo il bordo superiore tenendo la dstra: L2 = y+x;
[I percorsi L1 e L2 sono senz'altro ugualmente lunghi: L1 = L2 = x + y].
3) Andare in verticale sul fondo, attraversare il fondo in diagonale e risalire in verticale:
L3 = h + √(x^2 + y^2) + h = 2h + √(x^2 + y^2).
4) Scendere obliquamente sulla parete di sinistra, attraversare obliquamente un angolo del fondo, risalire obliquamente sulla parete di fronte a quella di destra. [Andare dritto sulla scatola sviluppata nel piano del fondo,[disegno qui sopra] da A a B'].
L4 = √[(h+x)^2 + (h+y)^2].
5) Scendere obliquamente sulla parete di destra, attraversare obliquamente un angolo del fondo, risalire obliquamente sulla parete di fronte a quella di sinistra. [Andare dritto sulla scatola sviluppata nel piano del fondo,[disegno qui sopra] da A' a B].
L5 = = √[(h+y)^2 + (h+x)^2]
[I percorsi L4 ed L5 sono senz'altro ugualmente lunghi:
L4 = L5 = √[(x^2+y^2)+ 2h^2 + 2h(x+y).]

In questa situazione, imporre L1 = L3 = L4 comporta che...la soluzione c'è ma non è reale!
Si trova infatti che deve essere:
x + y = 3h
xy = 4h^2
Ossia (dicendo j l'unità immaginaria per cui j^2 = –1)
x = [3/2 + j√(7/4) ]·h;
y = [3/2 – j√(7/4) ]·h.

Prima, avevo preso un solo percorso lungo √[(x+h)^2 + (y+h)^2].
Allora avevo aggiunto (per quinto) √[(2h+x)^2 + y^2] oppure √[(2h+y)^2 +x^2].
Ma i cinque percorsi non potevano essere tutti ugualmente lunghi.

Tu, ora, mi suggerisci di scartare il mio percorso L3 e mettere al suo posto √[(2h+y)^2+x^2].
Eppure ... era così bello!
Per x = 4h e y = 3h, risultava x+y = 7h; e L3 = 2h + √[4^2+ 3^2] · h = 2h + 5h = 7h.

La scelta del nuovo percorso, [andare dritto da A a B nel disegno di sopra della "scatola rotta"]:
L3 = [(2h+y)^2+x^2]
conduce (uguagliandolo ad L4) alla condizione x – y = h [come già avevo trovato].
Allora risulta
x+y = 2x – h;
y+h = x –––> √[(x+h)^2 + (y+h)^2] = √(2·x^2 + 2hx + h^2).

L'equazione (in x) da risolvere è allora:
2x – h = √(2·x^2 + 2hx + h^2) ––> 4x^2 – 4hx + h^2 = 2x^2 + 2hx + h^2 ––> 2x^2 – 6hx = 0 ––>
––> (x=0) oppure (x = 3h).
Poi: y = x – h ; Per x = 0 viene y = –h; per x = 3h viene y = 2h.
Scartiamo senz'altro la soluzione [x, y] = [0, –h] (senza significato fisico)

Ci resta:
x = 3h = 24 cm
y = 2h = 16 cm.
[Scatola da scarpine per bambino ... quando passa dall'andare carponi (a "passo del gattino") ai primi tentativi di procedere eretto!]

Verifica (con x = 3h e y = 2h):
L1 = L2 = x + y = 5h;
L4 = L5 = √(x+h)^2 + (y+h)^2] = √[(4h)^2 + (3h)^2] = 5h; O.K.
L3 = √[(2h+y)^2 + x^2] = √[(4h)^2*+ (3h)^2] = 5h. O.K.

NB: per x=0 e y = –h la verifica darebbe:
LI = L2 = x + y = –h;
L3 = L4 = L5 = √(h^2) = (+\–) h ... quindi OK se si prende la determinazione negativa della radice.
Infatti: (–h)^2 = h^2.
[Naturalmente, questa soluzione algebrica è senza significato fisico. Salta fuori perché per risolvere algebricamente l'equazione col radicale occorre "razionalizzarla": isolare il radicale, quadrare e portare tutto ad un membro, ottenendo appunto un'equazione razionale canonica, ossia "polinomio uguagliato a zero"].
---------------
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Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 07-01-11 18:39.
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Vecchio 07-01-11, 18:44   #322
aspesi
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Ci resta:
x = 3h = 24 cm
y = 2h = 16 cm.
[Scatola da scarpine per bambino ... quando passa dall'andare carponi (a "passo del gattino") ai primi tentativi di procedere eretto!]

Verifica (con x = 3h e y = 2h):
L1 = L2 = x + y = 5h;
L4 = L5 = √(x+h)^2 + (y+h)^2] = √[(4h)^2 + (3h)^2] = 5h; O.K.
L3 = √[(2h+y)^2 + x^2] = √[(4h)^2*+ (3h)^2] = 5h. O.K.



(Però Astromauh non ci ha fatto vedere la soluzione al computer, senza usare il cervello )

Ultima modifica di aspesi : 07-01-11 18:49.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 07-01-11, 22:15   #323
Erasmus
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Predefinito Re: Qualche quiz

Torniamo un attimo al quiz dei passeggeri.
Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Un aereo con N posti è pronto per decollare e gli N passeggeri sono in fila per l'imbarco.
Quindi, ogni passeggero ha un posto assegnato e tutti i posti sono assegnati.

Il primo che sale a bordo non guarda nemmeno la carta d'imbarco e si siede in un posto a caso.
Tutti i passeggeri seguenti vanno a sedersi nel posto loro assegnato, a meno che non sia gia' occupato, nel qual caso ne scelgono uno a caso.

La domanda e': quale e' la probabilita' che l'ultimo passeggero a salire trovi libero e si vada a sedere al posto che gli era stato assegnato?
NB: Ti ho citato mettendo N al posto di 100 perché penso che la risposta giusta non dipenda dal numero di passeggeri (purché maggiore di 1).
Tu dici che la probabilità che l'ultimo a sistemarsi trovi il proprio posto libero è 1/2.
Ma dalle parole che hai usato per spiegare che è così io ... più che convinto sono rimasto confuso!
Non riesco a seguirti perché ... «Maestro, il senso lor m'è duro» (Dante Inf. III – 8).

Allora ... sono andato per "induzione", ma non per induzione completa (quella di Peano, che è davvero "matematica"), bensì quella che si usa nella sperimentazione.
Precisamente, ho esaminato come stanno le cose per N = 2, N = 3, N = 4 e N = 5.
Siccome ho trovato sempre p = 1/2, mi sento fiducioso che è così anche per N = 6; N = 7, ecc.

Più sotto mostro in dettaglio quel che ho fatto.
Nelle relative scritture:
a) Indico i passeggeri con A, B, C, D, E, ... ; l'ordine alfabetico indica l'ordine con cui vanno a sistemarsi in un posto; indico con 1, 2, 3, 4, 5, ... il posto rispettivamente assegnato ad A, B, C, D, E, ...
b) La scrittura del tipo (A, 2) significa la proposizione del tipo «Il passeggero A ha occupato il posto 2.
c) Indico con "&" il connettivo "e" (AND) e con "V" il connettivo "oppure" (OR).
d) Ometto di scrivere le frasi del tipo (B, 2), (C, 3), (D, 4) ... che hanno probabilità 1.
e) Prendo in considerazione solo i casi in cui N–1 passeggeri si sono sitemati in N–1 posti e resta libero proprio l'ultimo posto N.
f) Dalla frase completa (fatta di frasi elementari connesse dai detti connettivi) risalgo alla probabilità.

Ecco la ... "disamina"

N = 2 (un solo caso favorevole)
(A, 1) ––> p = 1/2.

N = 3 (ci sono due casi favorevoli)
(A, 1) V [(A, 2) & (B,1)] ––> p = (1/3) + (1/3)·(1/2) = (2 + 1)/6 = 1/2.

N = 4 (ci sono quattro casi favorevoli)
(A, 1) V [(A, 2) & (B, 1)] V [(A, 2) & (B, 3) & (C, 1)] V [(A, 3) & (B, 2) & (C, 1) ––>
––> p = 1/4 + (1/4)·(1/3) + (1/4)·(1/3)·(1/2) + (1/4)·(1/2) =
= 1/4 + 1/12 + 1/24 + 1/8 = (6 + 2 + 1 + 3)/24 = 12/24 = 1/2.

N = 5 (ci sono otto casi favorevoli)
(A, 1) V [(A, 2) & (B, 1)] V [(A, 2) & (B, 3) & (C, 1)] V [(A, 2) & (B, 3) & (C, 4) & (D, 1)] V
V [(A, 2) & (B, 4) & (D, 1)] V [(A, 3) & (C, 1)] V [(A, 3) & (C, 4) & (D, 1)] V [(A, 4) & (D, 1)] ––>
––> p = 1/5 + (1/5)·(1/4) + (1/5)·(1/4)·(1/3) + (1/5)·(1/4)·(1/3)·(1/2) + (1/5)·(1/4)·(1/2) +
+ (1/5)·(1/3) + (1/5)·(1/3)·(1/2) +(1/5)·(1/2) =
= 1/5 + 1/20 + 1/60 + 1/120 + 1/40 + 1/15 + 1/30 +1/10 = (24 + 6 + 2 + 1 + 3 + 8 + 4 + 12)/120 =
= 60/120 = 1/2

Ripeto il concetto.
Al crescere di N l'elenco dei casi ... si incasina!
Ma siccome è un po' incasinato già per N = 5 e tuttavia viene ancora p = 1/2 – come veniva per N= 2, N = 3 e N= 4 – non ci vedo motivo perché per N = 6, N = 7, ecc. non debba continuare ad essere p = 1/2.
Questo non è un modo di ragionare "matematico": ma è il classico modo di procedere (induttivo) della sperimentazione.

Bye, bye
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Ultima modifica di Erasmus : 07-01-11 22:19.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 08-01-11, 12:11   #324
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Predefinito Re: Qualche quiz

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Allora ... sono andato per "induzione", ma non per induzione completa (quella di Peano, che è davvero "matematica"), bensì quella che si usa nella sperimentazione.
Precisamente, ho esaminato come stanno le cose per N = 2, N = 3, N = 4 e N = 5.
Siccome ho trovato sempre p = 1/2, mi sento fiducioso che è così anche per N = 6; N = 7, ecc.

Bye, bye
Ho capito la tua "dimostrazione".
Il concetto è di facile comprensione, ma l'applicazione del procedimento diventa in breve impossibile da seguire senza sbagliare, e per N elevati è necessario confidare nel metodo induttivo.

A me pareva semplice ed evidente quello che avevo scritto.
Riproviamo:
1) A,1 va a sedersi in 1 (suo posto) e allora tutto procede positivamente fino all'ultimo posto N . Probabilità = 1/N
2) A,1 va a sedersi nel posto N dell'ultimo passeggero e allora tutti gli altri N-2 passeggeri trovano il loro posto giusto, ma l'ultimo A,N lo trova occupato . Probabilità contraria = 1/N
3) A,1 va in qualsiasi altro posto da 2 a N-1: questo caso non introduce nulla di significativo per quanto riguarda la possibilità di riuscire o meno a completare le posizioni con l'ultimo passeggero al posto N (che rimane ancora libero). Probabilità = (N-2)/N
A questo punto, infatti, sale A,2 che si trova davanti queste due possibilità:
3a) il posto 2 è libero e allora lo occupa. (Non cambia nulla, è come se l'aereo avesse un posto in meno)
3b) il posto 2 è stato occupato dal passeggero A,1 (probabilità = 1/N) e allora:
-va a sedersi nel posto N oppure nel posto 1 (con uguale probabilità 1/(N-1)), ma con effetto contrario sulla conclusione dei posizionamenti.
-va a sedersi in un altro posto libero qualsiasi diverso da 1, 2 e N, nulla si può ancora dire come finirà e la storia riprende e si ripete con il passegero A,3.

Come vedi, la probabilità che un passeggero occupi il posto lasciato libero da un altro (che non aveva occupato il suo), oppure l'ultimo posto N è sempre la stessa per ogni passeggero.
Quindi, quando sale l'ultimo, avrà il 50% di probabilità di trovare o no il suo posto occupato.

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Vecchio 08-01-11, 14:38   #325
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Uno semplice semplice

Gianni è capace di tirar su un muro in 9 ore. Pinotto ce ne mette 10. Se si mettono insieme, si sa, cominciano a litigare, ed in un'ora sistemano 10 mattoni in meno di quanto farebbero se lavorassero divisi.
Nonostante questa perdita di tempo, ci mettono 5 ore a completare il muro.
Di quanti mattoni era composto?


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Vecchio 09-01-11, 01:26   #326
Erasmus
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Quote:
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Uno semplice semplice

Gianni è capace di tirar su un muro in 9 ore. Pinotto ce ne mette 10. Se si mettono insieme, si sa, cominciano a litigare, ed in un'ora sistemano 10 mattoni in meno di quanto farebbero se lavorassero divisi.
Nonostante questa perdita di tempo, ci mettono 5 ore a completare il muro.
Di quanti mattoni era composto?


Detto X il numero di mattoni del muro completo, la produttività oraria di Gianni è:
P(Gianni) = X/9 mattoni/ora.
Quella di Pinotto è:
P(Pinotto) = X/10 mattoni/ora.
Quella della coppia quando non lavora insieme è dunque:
P(Gianni) + P(Pinotto) = X/9 + X/10 mattoni/ora.
Quella della coppia che lavora insieme è invece:
P(Gianni & Pinotto) = X/5 mattoni/ora.
Si sa anche che:
P(Gianni & Pinotto) = P(Gianni) + P(Pinotto) – 10 mattoni/ora,
ossia:
X/5 = X/9 +X/10 – 10,
da cui:
X·(1/9 + 1/10 – 1/5) = 10 ––> X·[(10 + 9 – 18)/90] = 10 ––> X·(1/90) = 10 ––> X = 10·90 = 900
----------
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Vecchio 09-01-11, 06:09   #327
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Predefinito Re: Qualche quiz

Do la soluzione.
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Vecchio 09-01-11, 09:23   #328
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Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Detto X il numero di mattoni del muro completo, la produttività oraria di Gianni è:
P(Gianni) = X/9 mattoni/ora.
Quella di Pinotto è:
P(Pinotto) = X/10 mattoni/ora.
Quella della coppia quando non lavora insieme è dunque:
P(Gianni) + P(Pinotto) = X/9 + X/10 mattoni/ora.
Quella della coppia che lavora insieme è invece:
P(Gianni & Pinotto) = X/5 mattoni/ora.
Si sa anche che:
P(Gianni & Pinotto) = P(Gianni) + P(Pinotto) – 10 mattoni/ora,
ossia:
X/5 = X/9 +X/10 – 10,
da cui:
X·(1/9 + 1/10 – 1/5) = 10 ––> X·[(10 + 9 – 18)/90] = 10 ––> X·(1/90) = 10 ––> X = 10·90 = 900
----------


Immagino che problemini di questo genere li davi ai tuoi studenti quando insegnavi...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 09-01-11, 09:26   #329
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Quote:
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Do la soluzione.
Il risultato che ottieni è sbagliato.
Mi sa che devi riguardare l'algoritmo...

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 09-01-11, 10:42   #330
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Predefinito Re: Qualche quiz

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Do la soluzione.
Però esteticamente la pagina è molto bella!
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