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Vecchio 11-06-22, 03:42   #2131
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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ANDREAtom Visualizza il messaggio
[...] per applicare Pitagora bisogna conoscere due lati del triangolo.
Certo! Ma se il triangolo rettangolo è anche isoscele (cioè è mezzo quadrato, una delle due parti che hai tagliando un quadrato lungo una sua diagonale), i due cateti sono uguali. Allora l'ipotenusa è √(2) volte uno dei due cateti uguali.

Ti rimetto la figura che sppega da dove aspesi ha tirato fìuori la sua equazione "pitagorica".
.
Chiamiamo r il raggio del cerchio piccolo ed R il raggio del cerchio grande (che è metà del lato del quadrato.).

a) La retta orizzontale per il centro del cerchio piccolo dista r dal lato inferiore del quadrato. Allora il centro del cerchio grande (che è pure il centro del quadrato) dista R – r da questa retta.

b) Il centro del cerchio piccolo dista ancora r dal lato sinistro del quadrato. Allora dista R– r dalla retta verticale per il centro del cerchio grande.

c) Osserva bene il tringolo rettangolo con i lati "ciccioni"!
Vedi che l'ipotenusa è la distanza tra i centri del cerchio grande e derl cerchio piccolo. Quindi l'ipotenusa è lunga R + r (ed è un pezzo di diagone del quadrato)
I due cateti sono uguali e lunghi entrambi R – r.
Non sappiamo quanto vale r (mentre sappiamo che R vale 5).
Ma possiamo "pitagoreggiare"
<careto orizzoipontale>^2 + <cateto verticale>^2. = <ipotenusa>^2
cioè
(R – r)^2 + (R – r)^2 = (R+ r)^2.
Sommando i due pezzi uguali del 1° membro abbiamo
2(R – r)^2 = (R + r)^2.
Solgiamo!
2R^2 – 4Rr + 2r^2 = R^2 + 2Rr + r^2 ==> r^2 – 6Rr + R^2 = 0 ==>
==> r = [3 ± 2√(2)]·R
Delle 2 soluzioni algebriche solo quella minore di R va bene geometricamente!
Per R = 5 abbiamo infine
r = [3 – √(8)]·5.
Spero che queta volta abbia capito come aspesi ha risolto il quiz
Quote:
ANDREAtom Visualizza il messaggio
[...] La mia impressione è che questo quiz non si possa risolvere con tre equazioni quando Erasmus ne usa trenta.
Eh no!
Erasmus ha già spiegato come ha risolto il quiz.
Il clou sta nel trovare il raggio r del cerchio piccolo. Erasmus l'ha trovato con una equazionere di 1° grado (quindi più facile di quella di 2° grado di aspesi).

Mi cito così vedi meglio:
Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Per trovare il raggio r del cerchio piccolo io ho semplicemente osservato la mezza diagonale del quatrato che taglia a metà il cerchio piccolo.
Questa, se il lato del quadrato vale 2a, vale √(2)·a; e, osservandola, vedo che allora:
√(2)r + r + a = √(2)a.
Eauazione di 1° grado nell'incognita r. [...]
Risolviamola!
Codice:
      √(2) – 1
r = ––––––––-·a = {[√(2) – 1]^2}·a = [3 – 2√/2)]·a
     √/2) + 1
Per a = 5 viene r = 15 – 10√(2). [...]
NB. Dove dico che osservando la mezza diagonle che taglia a metà il cerchio piccolo trovo
√(2)r + r + a = √(2)a
devi immagiare di risalire dal vertice in basso a sinistra del quadrato fino al centro del quadrato lungo questa mezza diagonale.
• Dal vertice del quadrato in basso a sinistra fino al centro del cerchietto c'è il pezzetto di diagonale lungo √(2)r;
• Dal centro del cerchietto al punto di tangenza tra i due cerchi c'è il pezzetto di diagonale lungo r;
• Dal puto di tangenza tra i due cerchi ed il centro del quadrato c'è il raggio del cerchio grande che è lungo mezzo lato del quadrato, cioè a dati che – per restare nel generale – ho chiamato 2a il lato del quadrato (che nel caso particolare del quiz è lungo 10).
La somma dei tre pezzi di diagonale è mezza diagonale, cioè √(2)a.
–––
__________________
Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 11-06-22 10:02.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-06-22, 08:27   #2132
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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nino280 Visualizza il messaggio
Ora che lo vedo, quel 42 è da intendersi come rettangolo o come un rettangolo che gli manca un pezzo?

Perché, per quel che riguarda il perimetro, cambia qualcosa?

La "scala" non c'entra nulla per imparare a risolvere i problemi.
Fare un disegnino in scala e trovare i risultati misurando poi le varie lunghezze o aree è un modo sbrigativo per arrivare alla soluzione, ma non sempre questo è possibile nei problemi reali e quello che è veramente importante è arrivarci con il ragionamento.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-06-22, 10:59   #2133
nino280
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Infatti qui mi sono spremuto le meningi a forza di ragionarci su.
Senza sapere che c'era già la Regola di Brambilla - Pautasso.
Ciao
nino280 ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 11-06-22, 13:20   #2134
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nino280 Visualizza il messaggio

Ciao
La soluzione (lato del quadrato = 16) è corretta e unica, ma esistono infinite configurazioni possibili.
Es.:



aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-06-22, 09:20   #2135
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(Non ho la soluzione)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 15-06-22, 10:23   #2136
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Io si ho la soluzione.
Però ci dovevi dire che quell'arco è una semicirconferenza.
Altrimenti ti piazzo una serie di disegni tutti validi.
Ciao
nino280 ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-06-22, 14:13   #2137
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Forse nino280 può fare un disegno 3d e misurare questa lunghezza.

Un punto si muove in uno spazio cartesiano (x,y,z) partendo dall’origine (0,0,0) e toccando con linee rette e nell’ordine i seguenti 4 punti: (0,1,2),(3,4,5),(6,7,8),(9,10,11).
Quanto misura la lunghezza totale della spezzata formata dai 4 spostamenti ?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-06-22, 21:44   #2138
nino280
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Il primo tratto è radice di 5
I restanti 3 tratti sembrano essere radice di 27
Sono tutti uguali e stanno su una retta.
Ciao
nino280 ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-06-22, 04:14   #2139
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!



Molto più espressivo è questo secondo disegno.
Intuendo che quelle coordinate erano in realtà le diagonali maggiori di Cubi di lato 3 allineati per i vertici, da cui è poi giustificata la radice di 27 che inizialmente non capivo da dove saltava fuori, vado a costruirmi tali Cubi.
Visto che il disegno è lo stesso di prima, si intravedono ancora le coordinate di partenza ed anche le "vecchie" diagonali maggiori.
Ciao
nino280 ora è in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-06-22, 06:57   #2140
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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nino280 Visualizza il messaggio


Il primo tratto è radice di 5
I restanti 3 tratti sembrano essere radice di 27
Sono tutti uguali e stanno su una retta.
Ciao


Lunghezza totale = RADQ(5) + 9*RADQ(3)


aspesi non in linea   Rispondi citando
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