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Vecchio 17-04-22, 21:05   #2041
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Trovare un numero , il più grande possibile, che sia contemporaneamente Triangolare e Piramidale Quadrato.
Ciao
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Vecchio 18-04-22, 09:03   #2042
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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Trovare un numero , il più grande possibile, che sia contemporaneamente Triangolare e Piramidale Quadrato.
Ciao

Vedo solo 1, 55 e 91 chissà se ce ne sono altri uguali

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-04-22, 09:15   #2043
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Be diciamo che sei molto distante.
Premetto che non è farina del mio sacco e sapete già dove mi ispiro.
Il famigerato M.d.G.M.
Tale numero è 208335
E sarebbe il Triangolare 645 ed il Piramidale 85
All'epoca in cui questo libro è stato scritto (almeno una trentina d'anni fa) si diceva che non ne esistevano di più grandi.
Ma sai com'è, poi sono venuti anche i computer a farla da padroni.
Ciao
P.S.
Questa faccenda ieri sera mi ha fatto perdere quasi 1 ora.
Perchè per la prima volta in questo libro ci ho trovato un errore di sbaglio, un refuso.
Lui diceva che i due valori erano 64 per il triangolare e 85 per il piramidale.
Ma a me i conti non tornavano.
Allora ho trovato io che non era 64 ma 645

A parte il fatto che 91 al triangolo fa 4186
Mentre 55 Piramidale Quadrato fa 56980
Diciamo anche che 91 al triangolo si trova subito basta fare 91 x 92 / 2
Mentre 55 piramidale è più difficile, voglio dire non così immediato, ma si può adoperare quella formuletta veloce veloce che ho postato tre messaggi fa.
Ciao
La riscrivo:
https://www.desmos.com/calculator/lx0z3jzro1?lang=it

Ultima modifica di nino280 : 18-04-22 09:31.
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Vecchio 18-04-22, 12:26   #2044
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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In generale, detto n il numero di strati e d il diametro di una sfera, siano
A, B, C e D
i centri delle sfere ai vertici dello strato più basso (di n × n sfere) e V il centro della sfera più alta.
Allora la piramide di base quadrata ABCD e verice V, avendo le facce laterali a forma di triangolo equilatero di lato (n–1)d, è la metà di un ottaedro regolare. Pertanto l'altezza di questa piramide è
h = [(n–1)d]/√(2),
La pila di n strati di sfere poggia su un piano più basso di d/2 della base ABCD della detta piramide; e il punto più alto è più alto di d/2 del vertice V della detta piramide.
L'altezza H della pila di n strati di k^2 sfere – k intero tra 1 ed n compresi –è duque
H = h + d = [(n–1)/√(2) +1]d
Se per d = 8u sappiamo che H è circa 206u possiamo calcolare n e quindi anche il numero di sfere.
Abbiamo infatti allora:
[(n –1)/√(2) +1]8u ≈ 206u,
da cui:
n ≈ [(206 – 8)·√(2)]/8 + 1 = 36,00178...
E quindi:n=36 strati.
Il più basso ha 36^2 = 1236 sfere.
la somma dei quadrati k^2 con k intero da 1 a n inclusi vale [n(n+1)(2n+1)]/6
Ilnymero di sfere della nostar "piramide" è dunque
[36·(36+1)·(2·36+1)]/6 = (36·37·73)/6 = 6·37·73= 222·73 = 16206.
–––––
__________________
Erasmus
«NO a nuovi trattati intergovernativi!»
«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 18-04-22 19:44.
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Vecchio 18-04-22, 12:41   #2045
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
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Il famigerato M.d.G.M.
Tale numero è 208335
E sarebbe il Triangolare 645 ed il Piramidale 85
All'epoca in cui questo libro è stato scritto (almeno una trentina d'anni fa) si diceva che non ne esistevano di più grandi.
Ma sai com'è, poi sono venuti anche i computer a farla da padroni.
Ciao
P.S.
Ho controllato tutti i primi diecimila numeri piramidali quadrati (cioè fino al 10.000*10.001*20.001/6 = 333.383.335.000
e il tuo MdGM ha ragione:
gli unici numeri triangolari che sono anche piramidali quadrati sono:
1 che è il primo numero di entrambe le sequenze
55 che è il decimo triangolare e il quinto quadrato
91 che è il tredicesimo triangolare e il sesto quadrato
208335 che è il 645esimo triangolare e l'85esimo quadrato.

Come ho fatto questa verifica?
Uguagliando N (piramidale quadrato) con N-x triangolare attraverso l'equazione:
N*(N+1)*(2N+1)/6 = (N-x)*(N-x+1)/2

che diventa:
3x^2 + x(6N+3) - 2N*(N^2-1) = 0

e risolta per x:
x = (-(6N+3) +- RADQ((6N+3)^2 + 12*2N*(N^2-1)))/6

Sia x che N devono essere numeri interi per cui la somma delta sotto radice quadrata deve essere un quadrato perfetto e questo si verifica solo per:
N = 1 cioè il primo piramidale quadrato (delta=9 ; x=0 ; numeri uguali =1)
N = 5 cioè il quinto piramidale quadrato (delta=63 ; x=5 ; numeri uguali =55)
N = 6 cioè il sesto piramidale quadrato (delta=81 ; x=7 ; numeri uguali =91)
N = 85 cioè l'85esimo piramidale quadrato (delta=3873 ; x=560 ; numeri uguali =208335)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-04-22, 12:47   #2046
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Ok
Anche se in linea di massima la tua verifica è al di fuori della mia portata.
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-04-22, 13:11   #2047
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!



Erano quasi tre giorni che non disegnavo più, e per non andare in crisi di astinenza, ecco il disegno di sopra.
E' naturalmente qualcosa che ha a che fare con quest'ultimo Quiz.
E' la cella minima, diciamo pure anche unitaria delle Piramidali Quadrate.
Solo per vedere se riuscivo nell'intento.
Be è stato oltremodo facile, nessuno sforzo mentale o calcolo, e sappiamo che detti disegni in 3D non sono schizzi, disegni ad oc non in scala o assonometrie varie.
Sono precisi, se mettiamo trattasi di cm, sono precisi al centomillesimo di cm.
Come ho fatto?
Qui le sfere sono 5 ma io mi sono servito di una sesta sfera di raggio doppio di queste 5 che andava ad incrociare un asse parallelo all'asse Z (che è quello Blu nel disegno) e centrale alle 4, e detta sfera di raggio doppio aveva lo stesso centro di una della 4 sfere, e poi bla,bla bla. Ho cancellato la sesta sfera e la parallela all'asse Z. Meglio avrei fatto a lasciare in vista tale retta, sarebbe stato più chiaro, ma oramai è fatta.
Come possiamo verificare che quello che ho fatto e quello che ho detto è giusto?
Un sistema c'è.
Una verifica è quella di congiungere i quattro centri delle sfere celesti con un tratto, un segmento, e visto che nel quiz si parlava di sfere di Diametro 8, se si ottiene un quadrato perfetto di lato 8, allora siamo già a buon punto.
Ma così deve essere, e lo so soltanto io, visto che sono partito da un Quadrato appunto di 8
E la quinta sfera, chi mi dice che appoggia sulle altre quattro?
Be una verifica l'ho anche fatta.
La verifica viene da una applicazione di Geo che va sotto il nome di Intersezione di Superfici. Allora gli chiedo la intersezione fra la sfera rossa di sopra e una celeste.
Le condizioni, cioè il risultato che ci suggerisce la logica geometrica, sono 3
1) Nessuna intersezione
2) Intersezione in cui si ha una circonferenza.
3) Intersezione in cui si ha un punto.
Se si verifica la terza condizione, e tutto Ok
Se si guarda attentamente il disegno, si vede che ho fatto questa prova, e si nota appunto un punto fra la sfera rossa di sopra e la sfera celeste in basso a destra.
Potevo, se avessi voluto fare una terza verifica.
Congiungere i centri di due sfere celesti e il centro della rossa e vedere se si ha un equilatero.
Ma io sono talmente sicuro che lo è che non ho fatto la prova.
Ciao

Ultima modifica di nino280 : 19-04-22 22:57.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 26-04-22, 14:04   #2048
aspesi
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Facile



aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 27-04-22, 23:01   #2049
nino280
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Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 28-04-22, 06:50   #2050
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Ciao


RADQ((4,8+5,4)^2-4,8^2) : (9,6+5,4) = 4,8 : BC

BC = 8

S_ABC = 15*8/2 = 60

aspesi non in linea   Rispondi citando
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