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Vecchio 21-09-17, 20:26   #1141
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
astromauh Visualizza il messaggio
Alcuni triangoli TIQE

3, 4, 5 h = 3
13, 14, 15 h = 12
51, 52, 53 h = 45
193, 194, 195 h = 168
723, 724, 725 h = 627
2701, 2702, 2703 h = 2340
10083, 10084, 10085 h = 8733
37633, 37634, 37635 h = 32592
140451, 140452, 140453 h = 121635
524173, 524174, 524175 h = 453948
1956243, 1956244, 1956245 h = 1694157
7300801, 7300802, 7300803 h = 6322680
27246963, 27246964, 27246965 h = 23596563

Divido due medi successivi di questa tabella e viene fuori una specie di costante = circa 3,7320
E poi non credo che i triangoli tendono all'equilatero, se come penso sono tutti triangoli simili.
Ciao
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Ultima modifica di nino280 : 21-09-17 20:52.
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 21-09-17, 21:12   #1142
astromauh
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Divido due medi successivi di questa tabella e viene fuori una specie di costante = circa 3,7320
E poi non credo che i triangoli tendono all'equilatero, se come penso sono tutti triangoli simili.
Ciao
Come non tendono all'equilatero?

L'unico che non è un triangolo equilatero è il primo che è un triangolo rettangolo (3,4,5) poi lo diventano sempre di più perché i lati differiscono tra loro percentualmente sempre di meno.

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Vecchio 21-09-17, 21:32   #1143
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Si è vero. Ho fatto una prova appena adesso. Ho preso un abbaglio.
L'errore banale che avevo fatto è che prendevo due lati in colonna e ne facevo la differenza, e poi vedevo che tale differenza era mantenuta per gli altri due lati. Ma questo era scontato visto che gli altri erano successivi a due a due.
L'abbaglio è stato poi quello di pensare il nuovo triangolo ottenuto sommando una costante ad ogni lato essere poi un triangolo simile.
Invece un triangolo simile è simile per un prodotto e non per una somma.
Ciao
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Ultima modifica di nino280 : 21-09-17 21:56.
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Vecchio 22-09-17, 02:35   #1144
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Divido due medi successivi di questa tabella e viene fuori una specie di costante = circa 3,7320 [...]
A lungo andare il rapporto tra un numero ed il corrispondente succesivo tende a 2 + √(3) = 2 + 1,73205...
Ma questo lo vediamo dopo.

Seguimi, nino280!

Astromauh ... ha trovato tutti i triangoli che ha messo (e altri ancora) col consueto metodo della sua "forza bruta", semplicemente cercando, a partire da
[n-1, n, n+1] = [3, 4, 5] (con i quali lati l'altezza relativa al lato centrale è h = 3)
e crescendo n di una unità lla volta quali sono gli n per i quali l'altezza h è intera.
A tale scopo basta fare un programmino che calcola l'altezza relativa al lato centrale mediante la formula di Erone.

Nino280, prova a sguire i seguenti facili passaggi.
Se i lati sono lunghi
a = n, b = n+1 e c = n –1,
il semiperimetro p viene
p = (n + (n–1) + (n+1))/2 = 3n/2.
E poi
pa = 3n/2 –n = n/2;
pb = 3n/2 –(n+1) = (n–2)/2;
pc = 3n/2 –(n–1) = (n+2)/2.

L'area A, con la formula di Erone viene allora:
A = √[p(p–a)(p–b)(p–c)] = √[3n^2(n^2–4)]/4 = (n/2).√3[n^2 – 4)].
D'altra parte, se conoscessimo l'altezza h relativa al lato lungo n avremmo
A= (n/2)·h.

Deve quindi essere
h = √[3(n^2 – 4)]/2; ossia (moltipliando per 2 e poi quadrando)
4·h^2 = 3(n^2–4). ––> h = √{3[(n/2)^2 – 1]}.[*]
Nell'ultima uguaglianza[*], se n è dispari di sicuro l'altezza h non viene intera. Occore dunque che n sia pari, diciamolo 2p. Con ciò la[*], facendo il quadrato, diventa:
h^2 = 3·(p^2 – 1). [**]

Nell'ultima uguaglianza [**], a sinistra c'è un quadrato. A destra c'è il fattore 3. Perché anche il membro di destra sia un quadrato, occorre che (n^2 – 1) sia divisibile per 3 e il quoziente sia ancora un quadrato
Occorre dunque cercare quegli interi pari I]n[/i] per i quali risulti intera la radice seguente:
√[3(n^2 – 4)]/2.
Per n = 2 viene h = 0. Invece di scartare questo caso, lo si può interpretare come triangolo degenere. con un lato pari alla somma degli altri due
I lati del triangolo degenere sono [1, 2, 3] . Lo si può interpretare come limite di un triangolo ottusangolo al tendere a 180 gradi dell'angolo ottuso (e quindi a zero dell'altezza)
Poi viene il triangolo rettangolo con un cateto 4, un cateto 3 e l'ipotenusa 5 (e l'altezza ancora 3).
Poi viene n = 14 perché 14^2 –4 = 192 = 3·64, e quindi l'altezza viene
n = √[3(14=2 – 1)]/2 = quei numeri interi √(3·3·64)/2 = (3·8)/2 = 12. Ignorando la geometria, con la sola posizione
h = √[3·(n^2 – 4)/2
e cercando, al crescere di n pari da 2 in su quando viene h intero, si trova una tabella di due righe che comincia così:
Codice:
Indice della succcessione:     k    ––>      0              1.                  2,                 3,  ...
Terna dei lati:    [n–1, n, n+1]    ––> [1, 2, 3],    [3, 4, 5],     [13, 14, 15], ...  ..  ?
Altezza relativa al lato medio: h  ––>      0,              3,                 12,                ?  ...
Astromauh ha semplicemente cercato (col suo programmino oer computer), al crescere di n quali sono quelli per i quali
h = √[3(n^2 – 4)]/2
risulta intera.

Ma, dopo aver individuato un paio di termini (oltre a quello degenere [1, 2, 3]) conviene cercare se per caso c'è una legge di ricorrenza.
[Mediante le formule di somma delle funziioni iperboliche si può dimostrare che la legge di ricorrenza esiste senz'altro]
Ma si può anche provare e poi verificare!

Occhio anche tu, astromauh!
Vediamo se esistono due costanti A e B per le quali
n(k+2) = An(k+1) + B·n(k)
Conoscendo tre termini in fila (cioè 2, 4 e 14 pr n e 0, 3, 12 per h ) abbiamo
14 = A·4 + B·2
12 = A·3 + B·0
Dalla seconda si trova A = 4, per cui dalla prima viene B = –1.
Se la legge di ricorrenza è davvero questa. il termine successivo viene:
n(3) = 4·14 – 1·4 = 52;
h(3) = 4·12 – 1·3 = 45
Per controllo:
√[3(52^2 – 4)]/2 = √[3(2704 – 4)]/2 = √[8100)/2 = 90/2 = 45. OK
Con la legge di ricorrenza
n(k+2) = 4·n(k+1) – n(k)
h(k+2) = 4 h(k+1) – h(k)
non solo si trova la tebella di astromauh, ma anche la legge intensiva
n(k) = (2+√(3)]^k + (2–v(3)]^k;
h(k) = (√(3)/2)· {[2 + √(3)]^k – 2 – √(3)]^k} (per qualsiasi k intero positivo)
––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 22-09-17 17:29.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 22-09-17, 03:05   #1145
nino280
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Be ho letto (una sola volta) la spiegazione di Erasmus, ma come al solito alcuni passaggi sono TROPPO per me.
Comunque mi sono svegliato alle 4,30 con nella testa ancora quel numero costante che avevo trovato dividendo i medi successivi della tabella di Astromauh, cioè 3,732050808 e mi sembrava un numero ambiguo diciamo in qualche modo noto.
Ho provato a fare la radice di 3 che è 1,732050808 e quindi non poteva che essere 2 + radice di 3.
Dopo la mia stupida sparata che i triangoli erano simili e non tendevano all' equilatero, almeno la costante dei medi l'avevo indovinata
Ciao
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Vecchio 28-09-17, 02:10   #1146
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Un quiz facile-facile...

Il triangolo ABC rettangolo in C ha i lati commensurabili, cioè: in una certa unità di misura le lunghezze dei lati sono tutte intere

Siano:
a = BC la lunghezza del cateto minore;
b = CA ila lunghezza del cateto maggiore;
c = AB la lunghezza dell'ipotenusa..

Sia H l'intersezione della bisettrice dell'angolo retto con l'ipotenusa AB.
Il punto H divide l'ipotenusa nei due segmenti AH e HB.

Rispondere senza fare calcoli a queste prime domande:
a) Le lunghezze dei segmenti AH e HB sono razionali o irrazionali?
b) La lunghezza CH della bisettrice è razionale o irrazionale?

c) Adesso, supposto di conoscere le lunghezze dei cateti a = BC e b = CA, calcolare le lunghezze AH, HB e CH.
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Vecchio 28-09-17, 08:45   #1147
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

CH è senza dubbio irrazionale.
Di conseguenza penso che lo siano anche AH e HB
Ciao
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Vecchio 28-09-17, 09:04   #1148
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Dovrebbe essere (ma io odio la trigonometria...)
Quote:
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a) Le lunghezze dei segmenti AH e HB sono razionali o irrazionali? RAZIONALI

b) La lunghezza CH della bisettrice è razionale o irrazionale? IRRAZIONALE

c) Adesso, supposto di conoscere le lunghezze dei cateti a = BC e b = CA, calcolare le lunghezze AH, HB e CH.

AH = AB*AC/(BC + AC)

BH = AB*BC/(BC + AC)

HC = RADQ(BC^2 + BH^2 - 2*BC^2*BH/AB) = RADQ(AC^2 + AH^2 - 2*AC^2*AH/AB)

Ovviamente,con Pitagora AB = RADQ(BC^2 + AC^2)

––––––
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Vecchio 28-09-17, 09:31   #1149
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

La mia supposizione:
qualsiasi punto staccato sulla bisettrice di un angolo retto lo posso interpretare come la diagonale di un quadrato.
La diagonale del quadrato è il lato x la radice di 2
La radice di 2 è irrazionale e qualsiasi operazione che usa la radice di 2 da come risultato un numero irrazionale.
Ciao
Del resto Cantor lo diceva sempre.
Ci sono più irrazionali che razionali. Essendo i razionali un sottospecie un sottoinsieme degli irrazionali. Mi pare che si usa anche dire è un insieme più forte, oppure che i razionali sono contenuti negli irrazionali. Cose lette ma poi passate nel dimenticatoio.
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Ultima modifica di nino280 : 28-09-17 09:57.
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Vecchio 29-09-17, 22:13   #1150
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
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CH è senza dubbio irrazionale.
Di conseguenza penso che lo siano anche AH e HB
Di conseguenza ... perché?
Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[...] la diagonale del quadrato è il lato per la radice quadrata di 2.
La radice quadrata di 2 è irrazionale e qualsiasi operazione che usa la radice di 2 da come risultato un numero irrazionale.
Ma se l'area del quadrato fosse 8?
Il tuo ragionamento funziona di sicuro se il lato del quadrato è razionale.
Traccia per H le parallele ai cateti. Ti vengono due triangolini rettangoli simili a quello dato uno con ipotenusa AH e l'altro con ipotenusa HB.
Il lato del tuo quadrato è il cateto corto del triangolino più grande ed il cateto lungo del triangolino più piccolo.
Per similitudibe dei triangoli, se AH è irrazionale – e tu hai detto che pensi che AH e HB sono irrazionali – allora sono irrazionali anche i due cateti del triangolino che ha per ipotenusa AH. E allora non puoi esserem sicuro che CH è irrazionale.
Ma se sfrutti bene le similitudini (e ricordi che AH + HB = AB = c), trovi per AH e HB questi valori:
AH = c·b/(a+b); HB = c·a/(a+b).

Aspesi ha risposto giusto.
Per convenzione si usano per le lunghezze dei lati le lettere minuscole di quelle maiuscole dei vertici opposti. Cioè (in ogni triangolo di vertici A, B e C e lati rispettivamente opposti a, b e c):
a = BC; b = CA; c = AB.
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Erasmus non in linea   Rispondi citando
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