Estrazioni casuali

[aspesi]

astromauh

Dovrei controllare meglio, o magari fare una simulazione

Ecco, una simulazione sarebbe opportuna
Il tuo risultato è il 50% circa in eccesso

[astromauh]

aspesi

Ecco, una simulazione sarebbe opportuna
Il tuo risultato è il 50% circa in eccesso

Hai ragione, con la simulazione viene

P= 0,0209

ps
Adesso ho provato a seguire un nuovo ragionamento che però mi da lo stesso risultato sbagliato che avevo trovato prima.

10*9*8*(1/36)*(1/36)*(2/36)

[aspesi]

astromauh

Hai ragione, con la simulazione viene

P= 0,0209

p = 1 - ( (35/36)^10 + (34/36)^10 + (35/36)^10 - (33/36)^10 - (34/36)^10 - (33/36)^10 + (32/36)^10 )

si ha: p = 1590037431625/76169967501312 = 0,02087486...

[astromauh]

aspesi

p = 1 - ( (35/36)^10 + (34/36)^10 + (35/36)^10 - (33/36)^10 - (34/36)^10 - (33/36)^10 + (32/36)^10 )

si ha: p = 1590037431625/76169967501312 = 0,02087486...

Vedo un 1 - da cui arguisco che quello che c'è alla destra del meno è la probabilità negativa, ossia la probabilità che non escano tutti e tre i risultati contemporaneamente.

Però se non mi spieghi la formula passo passo non la capisco.

[aspesi]

astromauh

Vedo un 1 - da cui arguisco che quello che c'è alla destra del meno è la probabilità negativa, ossia la probabilità che non escano tutti e tre i risultati contemporaneamente.

Però se non mi spieghi la formula passo passo non la capisco.

Principio di inclusione-esclusione
http://www.dm.unibo.it/~regonati/md0708/md0708-IE.pdf

Per i 3 insiemi A (nosomma2), B (nosomma3), C (nosomma12) si ha:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

|A| = |C| = (35/36)^10
|B| = (34/36)^10
|A ∩ B| = |B ∩ C| = (33/36)^10
|A ∩ C| = (34/36)^10
|A ∩ B ∩ C| = (32/36)^10

[aspesi]

Lanciando due dadi regolari sappiamo che il numero che si presenta con la maggiore frequenza è 7.

Se ipotizziamo di avere n dadi, la formula generale che definisce la frequenza maggiore di un numero dato dalla somma degli n dadi è 7n/2.
Se il risultato non è intero (finisce con ,5 quando n è dispari) entrambi gli interi prima e dopo del risultato hanno la stessa maggiore frequenza.

Le prime ricorrenze centrali sono:
1 dado ----> qualsiasi numero ----> 1 frequenza ----> p= 0,16667
2 dadi ----> numero 7 ----> 6 frequenze ----> p= 0,16667
3 dadi ----> numeri 10 e 11 ----> 27 frequenze ----> p= 0,125

Sapete come continua questa sequenza (1, 6, 27, ...) per 4, 5, 6 dadi (da 6 facce regolari)?

[Erasmus]

aspesi

[...] Sapete come continua questa successione (1, 6, 27, ...) per 4, 5, 6 dadi (da 6 facce regolari)?:

[Ho corretto "sequenza" con "successione. In italiano un insieme ordinato di interi naturali si chiama "successione" (e con nessun altro sostantivo).
Abbasso la mania di usare parole inglesi o "all'inglese" al posto di parole italiane,
specie quando le parole italiane sono univoche e le parole inglesi o all'inglese" usale in loro sostituzione sono invece plurivoche! ]
–––––––
Quando ero nel secondo anno del corso di laurea in Scienze dell'informazione avrei saputo rispondere.
Ma sono passati 37 anni ... e già allora "giovane" non ero più (per cui già allora la memoria era piuttosto labile)!

Mi par di ricordare che l'intera distribuzione delle frequenze (per n dadi, ossia delle loro uscite da n a 6n, quindi con media aritmetica 7n/2), oltre ad avere un andamento simmetrico rispetto alla media, si ottenesse replicando il "prodotto di convoluzione" tra la dstribuzione precedente (cioè quella con n–1 dadi) e quella di un solo dado (che è ovviamente 1 costante da 1 a 6).
Quello di cui sono ancora sicuro (ossia: che ricordo con certezza) è che, date due funzioni f(x) e g(x) entrambe Laplace-trasformabili, la Laplace-trasformata del loro "prodotto di convoluzione" è il prodotto delle loro Laplace trasformate.

Un'altra cosa che mi par di ricordae è che, se al posto di n dadi – le cui possibili uscite sono un insieme "discreto" e quindi "discreta" è anche la distribzione delle loro frequenze – ci fossero n aggeggi uguali ciascuno dei quali con esito a densità di probabilità uniforme in un certo intervallo finito da h a k > h, il "prododotto di convoluzione" con due di essi (ossia l'andamento della densità di probabilità dell'esito con 2 di tali aggeggi ) viene una rampa in salita da h a k seguita da una rampa simmetrica in discesa da k a 2k – h.
Le successive distribuzioni di densità di probabilità (con 3, 4, ... n di tali aggeggi) sono gli integrali successivi di questa forma triangolare isoscele.
In particolare, la dsitribuzione di densità di probabilità con 3 di tali aggeggi (ad uguale distribuzione uniforme) è costituita da tre tratti parabolici, il terzo simmetrico del primo rispetto alla retta parallela all'asse delle coordinate per il punto di media aritmetica (entrambi con la concavità versio l'alto) ed il secondo con la concavità verso il basso. Ciascuno dei tre tratti ha l'equazione cartesiana di 2° grado.
E così via continuando ad integrare (con l'aumento del numero di tratti e del grado delle rispettive loro funioni polinomiali).

Ne caso di aggeggi a distribuzione di probabilità "discreta" (e quindi di distribuzione "discreta" delle proporzionali frequenze), gli andamenti sono analoghi, ossia quali sarebbero i campionamenti ad intervalli uguali degli andamenti continui di cui ho detto.

Consideriamo infatti gli andamenti delle frequenze con 1, 2 e 3 dadi.

1 dado. Uscite  1    2    3    4    5    6       
      Frequenze  1    1    1    1    1    1
          (Somma delle frequenze = 6)

2 dadi. Uscite   2    3    4    5    6    7   8    9  10  11  12       
      Frequenze  1    2    3    4    5    6   5    4   3   2    1 
           (Somma delle frequenze = 6^2 = 36)

3 dadi. Uscite   3    4    5    6    7   8    9   10  11  12  13  14  15  16  17  18       
      Frequenze 1    3    6    10  15  21  25  27 27  25   21  15  10   6   3.   1
           (Somma delle frequenze = 6^3 = 216)

Che l'andamendo di queste distribuzioni "discrete" sia analogo a quello detto per le distribuzioni di densità di probabilità si riconosce meglio in una figura (nella quale ho rappresentato le distribuzioni di frequenza delle possibili uscite nel lancio di 1,2 e 3 dadi).

–––––
Tornando alla domanda del quiz ... NON SO rispondere!
La distribuzione delle frequenze con 4 dadi è:

 4 dadi Uscite  4    5   6   7    8    9   10   11   12    13    14   15    16   17  18   19   20   21  22  23  24
   Frequenze    1   4  10  20   35  56  80  104  125  140  146  140  125 104  80   56   35  20   10  4   1
                     (Somma delle frequenze = 6^4 =  1296)

I primi 4 termini della richiesta successione sono dunque 1, 6, 27, 146. Ma non so dire come continua.
––––––––-

[aspesi]

Erasmus

I primi 4 termini della richiesta successione sono dunque 1, 6, 27, 146. Ma non so dire come continua.
––––––––-

Bravissimo, il ragionamento mi pare molto lucido e mi piace il tuo approfondimento.

Anch'io ero arrivato a contare solo fino a 4 dadi.
Poi... ho cercato sul WEB

La sequenza di queste ricorrenze centrali è:
1 dado ----> qualsiasi numero ----> 1 frequenza ----> p= 0,16667
2 dadi ----> numero 7 ----> 6 frequenze ----> p= 0,16667
3 dadi ----> numeri 10 e 11 ----> 27 frequenze ----> p= 0,125
4 dadi ----> numero 14 ----> 146 frequenze ----> p= 0,11265
5 dadi ----> numeri 17 e 18 ----> 780 frequenze ----> p= 0,10031
6 dadi ----> numero 21 ----> 4332 frequenze ----> p= 0,09285
(Ved. A018901 https://oeis.org/A018901)

[Erasmus]

Erasmus

[...] Mi par di ricordare che l'intera distribuzione delle frequenze (per n dadi, ossia delle loro uscite da n a 6n, quindi con media aritmetica 7n/2), oltre ad avere un andamento simmetrico rispetto alla media aritmetica, si ottenesse replicando il "prodotto di convoluzione" tra la dstribuzione precedente (cioè quella con n–1 dadi) e quella di un solo dado (che è ovviamente 1 costante da 1 a 6).

Sono andato a cercare (con Google)
"Convoluzione" Wikipedia
––> Convoluzione (Wikipedia.it)ˆ
Là è detto tout-court "Covoluzione" [di due funzioni f(t) e g(t) entranbe integrabili] cio che io e altri (anche nei siti-web di matematica) diciamo "Prodotto di Convoluzione"
Poco dopo della definizione (che mostro in immagine più sotto) leggo:
Se X e Y sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità f e g rispettivamente,
allora la densità di probabilità della somma X + Y è data dalla convoluzione di f con g.
Ecco la prima parte della voce "Convoluzione" di Wikipedia.it

–––

[aspesi]

A turno due giocatori prendono una delle nove tessere disposte su un tavolo e numerate da 1 a 9. Vince chi per primo raggiunge il valore 15 sommando tre delle sue tessere, non necessariamente le prime.
Quale tessera dovrà prendere il secondo giocatore nella sua prima mossa per cercare di non perdere?