Estrazioni casuali

[Erasmus]

aspesi

[...]
https://math.stackexchange.com/quest...PpT8VR038is9oU

Ho leggiucchiato un po!
Ho visto che il risultato esatto è un po' minore di 1/4.
Uno dice di aver evitato la complicata intergrazione e di aver trovato, con procedimentio di calcolo numerico, 0,2453 dove potrebbe essere sbagliata solo l'ultima cifra.
Un altro scrive come risposta esatta (ma chissà se è veramente così):
1/4 – (1/324)·[57 – 80·ln(2)] = (2/81)·[3+10·ln(2)] ≈ 0.2452215...
Un terzo perfeziona questo risultato scrivendo:
(2/81)·[3+ln(1024)] ≈ 0.24522152606418402702 < 1/14.
Beh: costui non ha fatto nulla di notevole! Ha solo trascritto molte cifre di un banale calcoletto fatto con qualche moderno attrezzo di calcolo.
Se disponessi ancora del mio Grapher, con una tripla sommatoria eviterei l'integrale triplo analitico trovando lo stesso un risultato con un sacco di cifre esatte.

aspesi

Il problema per quanto mi riguarda si può risolvere (intuitivamente) in modo da essere praticamente certi del risultato, che è 1/4.

Oh bella!
• Il risultato NON è 1/4! E' un po' di meno!
Il mio intiito ... opps! No: il mio intuito noin esisre!. Banali considerazuìioni geometriche mi permettono di dire che, per un solo sorteggio, la probabilità che quel unico triangolo contenga il centro del cerchio può essere qualunque numero tra 0 e 1/2. Ma sono pochi i casi in cui la probabilità è prossima ad 1/2 –perché occorre che il segmento capitato con i primi due punti sia prossimo ad un diametro – e sono pochi anche i casi in cui è prossima a 0 – perché occore che il segmento dei primi due punti sia prossimo ad una corda molto corta oppure sia pressoché allineato con il centro –. Pochi, ovviamente, rispetto ai casi in cui siamo distantini sa da 0 che da 1/2, Qunidi a naso mi aspetterei anch'io un risultato prossimo ad 1/4. Ma non saprei dire se maggiore o minore di 1/4. Che sia esattamente 1/4 ... sarebbe qualcosa di più unico che raro. Dico questo a sentimento, ovviamente a mio fallibile sentimwento.
• Sono appunto curioso di sapere come tu arrivi a supporre che sia esattamente 1/4.
Almeno questa volta il tuo formidabile intuito ha fatto cilecca!
[Ricoda l'etimolodia di "formidabile"! In latino "formido" è la paura, ma non quella passiva bensì quella attiva; cioè: non quella che si ha, ma quella che qualcuno è in grado di fare a qualcun altro!]
––––

[Erasmus]

aspesi

[...] Immaginate di dover affrontare un esame su un tema scelto tra un gruppo di 25 temi.
Il giorno dell’esame estraggono tre numeri che corrispondono a 3 di essi.

Dovresti dire quel che, immagino, tu intendi sottinteso: che si possono avere in anticipo i testi di tutti i 25 temi dai quali saranno sorteggiati i tre dei quali il candidato potrà sceglìiere uno a poiacer suo!

aspesi

Quanti temi dovete studiare per avere il 90% di probabilità che vi tocchi almeno uno degli argomenti che avete studiato?:

Non lo so!

Ma provo a pensarci ... a modo mio; (e tu sai bene che in probabilità sono scarsetto!)
Per avere probabilità 100% bisogna studiarne 23 (scartando i due che a naso sembrano i più difficil!).
Le terne possibili sono 25·24·23/6 = 2300 e si possono suddividere in 25 insiemi0 di 4·23 = 92 terne in ciscuno dei quali ogni terna contiene di sicuro uno dei 25 temi.

Se ne studio 25 – k, [dove è k > 2] , la probabilità che la terna che sarà sorteggiata caschi nei k non studiati è
{(k!)/[6·(k –3)!]}/2300.
Bisognerebbe cercare k tale che r = (k!)/[6·(k –3)!] sia il più prossimo possibile a 230
Per k = 12 viene r = 12*11*10(6 = 220.
Per k = 13 viene r = 13*12*11/6 = 286.
iI più prossimo a 230 è 220.
Dovrei dunque prepararmi su 13 temi dei 25 possibili e avrei il 90,4% di probabiità di azzeccare!
[cioè 1 – 220/2300]
Oppure prepararmi su 12 e avrei quasi l'87,6% di probabilità di azzeccare
[1 – 286/2300]
––––––

[aspesi]

Erasmus

Ma provo a pensarci ... a modo mio; (e tu sai bene che in probabilità sono scarsetto!)
Per avere probabilità 100% bisogna studiarne 23 (scartando i due che a naso sembrano i più difficili!.
Le terne possibili sono 25·24·23/6 = 2300 e si possono suddividere in 25 insiemi0 di 4·23 = 92 terne in ciascuno dei quali ogni terna contiene di sicuro uno dei 25 temi.

Se ne studio 25 – k, [dove è k > 2] , la probabilità che la terna che sarà sorteggiata caschi nei k non studiati è
{(k!)/[6·(k –3)!]}/2300.
Bisognerebbe cercare k tale che r = (k!)/[6·(k –3)!] sia il più prossimo possibile a 230
Per k = 12 viene r = 12*11*10(6 = 220.
Per k = 13 viene r = 13*12*11/6 = 286.
iI più prossimo a 230 è 220.
Dovrei dunque prepararmi su 13 temi dei 25 possibili e avrei il 90,4% di probabilità di azzeccare!
[cioè 1 – 220/2300]
Oppure prepararmi su 12 e avrei quasi l'87,6% di probabilità di azzeccare
[1 – 286/2300]
––––––

Talvolta (come in questo caso) sei bravissimo!

[aspesi]

Erasmus

Ho leggiucchiato un po!
Ho visto che il risultato eesatto è un po' minore di 1/4.

• Il risultato NON è 1/4! E' un po' di meno!
Il mio intuito ... opps! No: il mio intuito non esiste!.

Almeno questa volta il tuo formidabile intuito ha fatto cilecca!

––––

Ragione hai...
Ma mi piaceva 1/4

[Erasmus]

Non hai soddisfatto la mia curiosità!

Erasmus

• Sono appunto curioso di sapere come tu arrivi a supporre che sia esattamente 1/4.:

[aspesi]

Erasmus

Non hai soddisfatto la mia curiosità!

Questo il ragionamento

Sia A un punto a caso all'interno del cerchio.
Traccio il raggio che passa per A.
Anche per B, posizionato anch'esso a caso, faccio passare un raggio.

L'angolo che si forma tra il raggio che passa per A e il raggio che passa per B sarà compreso tra 0° e 180° con un valore medio di 90°. Da qui ho dedotto che l'area compresa tra i due raggi dovrebbe essere mediamente 1/4 dell'area del cerchio.

Affinché ABC sia un triangolo contenente il centro sarà necessario che C capiti dalla parte opposta all'area precedentemente considerata, sempre grande 1/4 dell'area del cerchio.

[aspesi]

Se lanciamo due dadi regolari a sei facce ognuno numerato da 1 a 6, 10 volte, qual e' la probabilita' di ottenere almeno un 2 o almeno un 12 o almeno un 3?

Esempio:
6, 5, 7, 9, 11, 10, 8, 8, 2, 6 oppure 5, 2, 3, 3, 6, 6, 7, 8, 12, 6 -------> OK
8, 6, 4, 7, 10, 5, 8, 5, 9, 4 oppure 8, 5, 11, 7, 9, 6, 9, 8, 11, 5 -------> NO

[astromauh]

aspesi

Se lanciamo due dadi regolari a sei facce ognuno numerato da 1 a 6, 10 volte, qual e' la probabilita' di ottenere almeno un 2 o almeno un 12 o almeno un 3?

Esempio:
6, 5, 7, 9, 11, 10, 8, 8, 2, 6 oppure 5, 2, 3, 3, 6, 6, 7, 8, 12, 6 -------> OK
8, 6, 4, 7, 10, 5, 8, 5, 9, 4 oppure 8, 5, 11, 7, 9, 6, 9, 8, 11, 5 -------> NO

Non è difficile: 1 - (8/9)^10 = 0,692053852342561

Delle 36 combinazioni possibili dei risultati di due dadi ce ne sono 4, con cui si realizzano 2, 12 o 3 punti, per cui la probabilità di fare almeno uno dei tre risultati richiesti è 4/36 ossia 1/9.

La probabilità di non fare quanto richiesto è 8/9.

La probabilità di non farlo per dieci volte consecutive è (8/9)^10

E quindi la probabilità di ottenere almeno uno dei tre risultati richiesti con dieci lanci è

1 - (8/9)^10

[aspesi]

astromauh

Non è difficile:1 - (8/9)^10 = 0,692053852342561

Delle 36 combinazioni possibili dei risultati di due dadi ce ne sono 4, con cui si realizzano 2, 12 o 3 punti, per cui la probabilità di fare almeno uno dei tre risultati richiesti è 4/36 ossia 1/9.

La probabilità di non fare quanto richiesto è 8/9.

La probabilità di non farlo per dieci volte consecutive è (8/9)^10

E quindi la probabilità di ottenere almeno uno dei tre risultati richiesti con dieci lanci è

1 - (8/9)^10

Benissimo astromauh.
Se sapevo che c'eri tu, avrei complicato la domanda

Qual è la probabilità (sempre lanciando 10 volte due dadi regolari a sei facce ognuno numerato da 1 a 6) se si considerano solo i casi in cui escono almeno una volta sia il 2 che il 3 che il 12, esempio:
5, 2, 3, 3, 6, 6, 7, 8, 12, 6 ma non 2, 5, 7, 9, 11, 10, 8, 8, 6, 6

[astromauh]

aspesi

Benissimo astromauh.
Se sapevo che c'eri tu, avrei complicato la domanda

Qual è la probabilità (sempre lanciando 10 volte due dadi regolari a sei facce ognuno numerato da 1 a 6) se si considerano solo i casi in cui escono almeno una volta sia il 2 che il 3 che il 12, esempio:
5, 2, 3, 3, 6, 6, 7, 8, 12, 6 ma non 2, 5, 7, 9, 11, 10, 8, 8, 6, 6

Dovrei controllare meglio, o magari fare una simulazione come avevo fatto nel quiz precedente, anche se poi ho optato per la soluzione analitica.

Ma non mi va, e allora ecco la soluzione.

P= 0,0308641975308642


Ho ragionato in questo modo.
Supponiamo che i tre punteggi richiesti debbano uscire nei primi tre lanci
e che al primo lancio debba uscire il punteggio 2 al secondo lancio debba
uscire il punteggio 12 e al terzo lancio debba uscire il punteggio 3.

La probabilità che questo avvenga è P= (1/36)*(1/36)*(2/36)= 2/36^3

Ma in realtà sebbene vogliamo realizzare i tre punteggi richiesti con
i primi tre lanci, non ci importa che escano esattamente in quel modo,
per cui possiamo moltiplicare la probabilità calcolata in precedenza per
3! ossia per 6. P= 12/36^3

Ma il quiz ci richiede di realizzare i tre punteggi con 10 lanci,
per cui possiamo moltiplicare per 120 la probabilità calcolata in precedenza.

P= 120 ° 12 / 36^3

120 sono le disposizioni di tre "soggetti" in 10 "posti".

https://www.astrionline.it/cinema/de...x?F=1&P=10&S=3