Estrazioni casuali

[aspesi]

Trovi 2 euro nella tasca e decidi di andare a giocare d'azzardo.
Fortunatamente, il gioco al quale stai giocando ha delle quote che ti sono favorevoli: ogni volta che giochi, guadagni 1 euro con una probabilità di 3/4 e perdi 1 euro con una probabilità di 1/4.
Supponiamo che continui a giocare fino a quando hai soldi in tasca.
Se perdi le prime due scommesse, vai in bancarotta e torni a casa dopo solo due round, ma se vinci per sempre, giochi per sempre.

Qual è la probabilità di andare in bancarotta?



(astromauh... simulazione ) p=1/9

[astromauh]

Non credo che si possa fare una simulazione senza stabilire una vincita massima, o un numero di giocate massimo.

Il giocatore scommette sempre 1 euro alla volta.
La probabilità di perdere nelle prime due giocate è 1/16,
ma se questo non accade le probabilità che si arricchisca sono molto alte.
Mettiamo che ad un certo punto si ritrovi con 50 euro, la probabilità che continuando a giocare si ritrovi con 0 euro sono infinitesimali.

La simulazione non si può fare, perché alcune partite finirebbero subito o quasi subito, ma altre non finirebbero mai. E questo deve essere il motivo per cui hai messo la faccina che ride.

Un quiz accettabile potrebbe essere (mantenendo invariate le regole):

Calcolare la probabilità che il giocatore perda i suoi 2 euro oppure che ne guadagni 48.

PS
Potrei fare una simulazione del genere, e prendere per buono il risultato ottenuto per le bancarotte. Perché se il giocatore si trova a vincere 48 euro, è praticamente impossibile che continuando a giocare - con delle condizioni di gioco così favorevoli - possa perdere tutto. Anzi direi che potrei anche fissare un tetto di 30 euro, perché dovrebbe andar bene lo stesso.

[aspesi]

astromauh

PS
Potrei fare una simulazione del genere, e prendere per buono il risultato ottenuto per le bancarotte. Perché se il giocatore si trova a vincere 48 euro, è praticamente impossibile che continuando a giocare - con delle condizioni di gioco così favorevoli - possa perdere tutto. Anzi direi che potrei anche fissare un tetto di 30 euro, perché dovrebbe andar bene lo stesso.

Prova (se vuoi)

Il risultato l'avevo scritto (in Linen)

[astromauh]

Si mi viene 11,121373 % calcolato con un tetto di vincita di 28 euro.

tetto = 30

for v = 1 to volte
capitale = 2
DO
r = int(Rand32()*4) + 1
if r<4 then capitale = capitale + 1 ELSE capitale = capitale - 1
LOOP until capitale=0 or capitale=tetto

if capitale=tetto then bene = bene + 1
if capitale=0 then male = male + 1
next

response.write("male = " & male &"<br>")
response.write("male = " & formatnumber(100*male/volte,3) &" % Il giocatore perde 2 euro<br><br>")




Adesso sto aspettando un risultato più preciso...

Eccolo!

male = 11,110035 %

Non credo che si otterrebbe un risultato più preciso aumentando il valore del tetto.

--------------------------------------
Alzando il valore del tetto il risultato è un po' peggiorato, ma non per questo motivo, ma semplicemente perché con le simulazioni si ottengono dei risultati che approssimano la realtà.

volte = 100000000
tetto = 40

male = 11107966
male = 11,108 % Il giocatore perde 2 euro

bene = 88892034
bene = 88,892 % Il giocatore vince 38 euro

[aspesi]

astromauh

male = 11107966
male = 11,108 % Il giocatore perde 2 euro

bene = 88892034
bene = 88,892 % Il giocatore vince 38 euro

Probabilità di perdere possedendo 1 sola moneta:

p = 1/4 + 3/4p^2

da cui
3/4p^2 - p + 1/4 = 0
3p^2 - 4p + 1 = 0

p = (4 +- RADQ(16-12))/6

p=1 se il primo colpo è negativo

p = 1/3 ----> soluzione generale

Quindi, se si parte avendo 2 monete si perdono tutte e due con
p^2 = 1/9

[aspesi]

Duello a tre.
Tre avversari: Ascani, Brunetti e Colli, sono impegnati in un duello a tre.
Ogni avversario ha un colpo a disposizione: prima Ascani, poi Brunetti ed infine Colli. Terminato il primo turno, i sopravvissuti hanno diritto ad ulteriori colpi nella stessa sequenza.

Per ogni sfidante il miglior risultato è essere l’unico sopravvissuto. Il secondo miglior risultato è di essere uno dei due sopravvissuti. Il terzo risultato è rappresentato dalla possibilità che nessuno muoia. Il peggiore è sicuramente quello di venire uccisi.

Si sa che: Ascani non è un buon tiratore e ha soltanto il 30% di possibilità di colpire la persona a cui mira; Brunetti tira molto meglio raggiungendo una precisione dell’80%; Colli è un tiratore nato non sbaglia mai un colpo.

Qual è la miglior strategia di Ascani nel primo turno?
Chi ha la maggior possibilità di sopravvivenza e quali sono le probabilità di ciascuno di sopravvivere?

[aspesi]

La lotteria del paese mediamente vende 2000 biglietti e vi sono 50 premi assegnati ai fortunati vincitori.
Ma Gianni fa notare a Marco che negli ultimi 5 anni in ogni estrazione vi erano almeno due vincitori di premi con numero consecutivo e la cosa per lui non è spiegabile se non con un estrazione truccata.

I sospetti di Gianni sono fondati?

[Mizarino]

A me verrebbe che la probabilità che l'estrazione non dia alcuna coppia di numeri consecutivi è circa 1/2. (*) Da cui quella che ci sia almeno una coppia di consecutivi è pure 1/2. Che la cosa si verifichi per 5 anni consecutivi avrebbe una probabilità 1/32. Un po' sospetta ma verosimile anche senza trucchi.

(*) Siccome ad ogni successivo numero estratto i casi favorevoli (alla non contiguità) diminuiscono di 2 unità (i numeri adiacenti a quello estratto) e quelli possibili diminuiscono di 1, verrebbe dal prodotto (1997/1999)*(1995/1998)*(1993/1997)*...* (1901/1951)

[aspesi]

Mizarino

A me verrebbe che la probabilità che l'estrazione non dia alcuna coppia di numeri consecutivi è circa 1/2.

E' molto meno.
Dicevi tu di ragionare su agglomerati minori...

Ad esempio, con l'estrazione di 5 numeri su 10 biglietti (da 1 a 10), le combinazioni totali sono C(10,5) = 252 e quelle senza consecutività sono solo 6.
Se i biglietti fossero 11, i 5 estratti non consecutivi sono 21.
Quindi...

[Mizarino]

Ho usato invece la forza bruta...
La probabilità che in una singola tornata della lotteria siano estratti almeno due numeri consecutivi è 0.715.
Perciò la probabilità che ciò si verifichi per 5 tornate consecutive è 0.187, del tutto verosimile.

P.S. Per inciso, la probabilità che in una singola tornata siano estratti almeno 3 numeri consecutivi è circa 0.028.