Estrazioni casuali - Pagina 268 - Coelestis

aspesi · 03-09-20, 21:09

Quote:

astromauh

Mi pare che i percorsi siano 47 però è molto facile che mi sia confuso.

Cavoli, ne hai trovati 5 di più...

Sono 42

Codice:

					1
                              1	1
                      2      2	        1
              5      5      3	        1
     14    14      9      4  	1
42  42    28    14      5	1

Cominci alla fine con "1" su U.

Poi vai verso l'inizio e su ogni incrocio scrivi la somma degli eventuali numeri sopra e a destra.

La formula è (2n)!/(n!*(n+1)!)
https://oeis.org/A000108

astromauh · 03-09-20, 21:12

Quote:

aspesi

Cavoli, ne hai trovati 5 di più...

Sono 42

Ho contato un 5 due volte

Ma l'ho detto che non ero sicuro del risultato.

Erasmus · 04-09-20, 00:13

34 percorsi (salvo ... "errore di sbaglio" nel contarli

).
Mi pare che se i passi sono 2n di cui n orizzontali ed n verticali, il numero di percorsi (diciamolo P(n) con n = 1, 2, 3, ...) verifichi la seguente legge:

Codice:

P(1) = 1;  e per ogni n > 1:
                        n–1
P(n) = P(n–1) + ∑P(k)   (*)
                        k=1

Ho contato il numero di percorsi di 2n passi [n orizzontali ed n verticsli] per n da 1 a 5 trovando appunto:
P(1) = 1; P(2) = 2; P(3) = 5; P(4) = 13; P(5) = 34.
I primi termini di questa successione sono:

Codice:

  n    ––> 1,   2,   3,   4,    5,    6,     7,      8, ...
P(n) ––>  1,   2,   5,  13,  34,  89,  233,  610, ...

Ho poi trovato questa successione su Oeis.
Là si fa notare che questa successione è fatta dei termini di indice dispari della successione di Fibonacci – diciamoli F(2n–1) – ossia:
Per ogni n intero positivo: P(n) =F(2n–1).
Per esempio, per n = 7 [essendo per ogni n intero F(n–1) = F(n–2) + F(n–3)]:
F(13) = F(12)+F(11)= F(11)+F(10)+F(11) = 2F(11)+F(10) = 2F(11)+F(9)+F(8) = ... = 2F(11)+F(9)+F(7) + F(5)+F(3)+F(1) [perché F(0) = 0].
Ossia: la verifica della (*) per n = 7 con P(n) = F(2n–1)

Ma su Oeis è detto anche che P(n) è la successine dei numeri X per i quali
5X^2– 4 è un quadrato.
Si constatainfatti che
5·1^2 – 4 = 1 = 1^2;
5·2^2 – 4 = 16 = 4^2;
5·5^2 – 4 = 121 = 11^2;
5·13^2 – 4 = 841 = 29^2;
5·34^2 – 4 = 5776 = 76^2.;
...
Dunque, per ogni n intero positivo
5·F(2n–1)^2 –4 è un quadrato perfetto
E questo è davvero sorprendente.

–––––––

Erasmus · 04-09-20, 00:27

L' "'errore di sbaglio" nel contare il numero percorsi c'è stato!

Lento come son diventato, ero partito che ancora astromauh non era intervenuto ... ed ho inviato ben dopo il suo intervento (senza aver letto né lui né aspesi!) .
Mi spiace aver "toppato" perché avevo trovato molto interessante la successione F(2n–1) (con le due proprietà scoperte consultando Oeis

).

Amen!

––––

aspesi · 18-11-20, 06:50

Tema di Matematica per l'ammissione ai Corsi di Laurea in Matematica, Fisica, Informatica

Un turista parte per un viaggio di 800 km in autostrada.
Alla partenza ha fatto il pieno di carburante e con il pieno ha un'autonomia di >200 e <210 km (facciamo finta sia così poco); ma a causa di uno sciopero, i distributori di benzina hanno una probabilità del 50% di essere chiusi.
Lungo l'autostrada il turista troverà un distributore ogni 100 km e, se il distributore sarà aperto, ogni volta farà il pieno.

Che probabilità ha il turista di arrivare a destinazione (supponiamo con ancora mezzo serbatoio pieno di carburante)?

(il tra parentesi l'ho aggiunto io)
Spero intervenga anche astromauh con una simulazione
Vorrei conferma del mio risultato, perché in un forum di matematica c'è stato solo un intervento e la soluzione proposta (9/256) è secondo me sbagliata

Erasmus · 18-11-20, 07:55

Quote:

aspesi

Tema di Matematica per l'ammissione ai Corsi di Laurea in Matematica, Fisica, Informatica

Un turista parte per un viaggio di 800 km in autostrada.
Alla partenza ha fatto il pieno di carburante e con il pieno ha un'autonomia di >200 e <210 km (facciamo finta sia così poco); ma a causa di uno sciopero, i distributori di benzina hanno una probabilità del 50% di essere chiusi.
Lungo l'autostrada il turista troverà un distributore ogni 100 km e, se il distributore sarà aperto, ogni volta farà il pieno.

Che probabilità ha il turista di arrivare a destinazione (supponiamo con ancora mezzo serbatoio pieno di carburante)?

(il tra parentesi l'ho aggiunto io)
Spero intervenga anche astromauh con una simulazione
Vorrei conferma del mio risultato, perché in un forum di matematica c'è stato solo un intervento e la soluzione proposta (9/256) è secondo me sbagliata

Ma chi è che compone questi quiz?
Non si possono fare calcoli con numeri incerti!
E perché hai aggiunto che, se il viaggiatore arriva a destinazione, ha il serbatoio carico a metà? Io considererei che potrebbe arrivare anche a serbatoio vuoto, ossia trovando chiusi gli ultimi due posti di rifornimento.

Nel caso in cui di rifornimento è per 200 km la probabilità richiesta è diversa dal caso in cui il rifornimento è per 210 km.
––––––––––
Comunque io procederei così:
a) Considero tutte le possibili situazioni (cioè col trovare aperto o chiuso ciascuno dei 7 distributori in cui, se trova aperto, il viaggiatore fa rifornimento). [L'ultimo all'uscita dell'autostrada non serve a niente!].
E' come considerare i numeri binari di 7 cifre (che sono 128 e non 256)
Le 128 distinte situazioni sono equiprobabili con probabilità (1/2)^7 = 1/128 e sono indipendenti una dall'altra. Giustamente la loro somma è 1.

Il viaggiatore non arriva a destinazione se trova almeno due distributori consecutivi chiusi.
Bisogna quindi contare quanti sono i numeri binri di 7 cifre [0 o 1] che hanno almeno due zeri consecutivi. Supponiamo che il numero di questi numeri sia n.
Allora la probabilità di arrivare a destinazione che ha il viaggiatore è (128*– n)/128
––––

@ aspesi
Dimmi se ho ragionato bene o no.
Grazie dell'attenzione.

aspesi · 18-11-20, 09:45

Quote:

Erasmus

E perché hai aggiunto che, se il viaggiatore arriva a destinazione, ha il serbatoio carico a metà? Io considererei che potrebbe arrivare anche a serbatoio vuoto, ossia trovando chiusi gli ultimi due posti di rifornimento.

Ho fatto il conto sia nel caso che il serbatoio contenga ancora benzina per fare 100 km (magari non trova subito un distributore appena uscito dall'autostrada) e il mio risultato è 55/256, sia, come dici, che possa arrivare a serbatoio vuoto (e allora il mio risultato è 68/256)

Quote:

Erasmus

Comunque io procederei così:
a) Considero tutte le possibili situazioni (cioè col trovare aperto o chiuso ciascuno dei 7 distributori in cui, se trova aperto, il viaggiatore fa rifornimento). [L'ultimo all'uscita dell'autostrada non serve a niente!].
E' come considerare i numeri binari di 7 cifre (che sono 128 e non 256)
Le 128 distinte situazioni sono equiprobabili con probabilità (1/2)^7 = 1/128 e sono indipendenti una dall'altra. Giustamente la loro somma è 1.

Il viaggiatore non arriva a destinazione se trova almeno due distributori consecutivi chiusi.
Bisogna quindi contare quanti sono i numeri binri di 7 cifre [0 o 1] che hanno almeno due zeri consecutivi. Supponiamo che il numero di questi numeri sia n.
Allora la probabilità di arrivare a destinazione che ha il viaggiatore è (128*– n)/128
––––

@ aspesi
Dimmi se ho ragionato bene o no.
Grazie dell'attenzione.

E' esattamente il ragionamento che ho fatto io

(A parte il fatto dell'ultimo distributore, io l'ho considerato per il primo caso di poter conservare un po' di benzina nel serbatoio)
Ho fatto anche la stessa ipotesi di 1=distributore aperto e 0=distributore chiuso
Per il calcolo dei casi favorevoli, ho fatto il conto dei numeri binari che hanno o tutti otto 1 (un caso) o un solo segno 0 consecutivo (sette 1 ---> 8 casi; sei 1 ---> 21 casi; cinque 1 ---> 20 casi; quattro 1 ---> 5 casi)

Che sequenza è?
Sono i numeri di Fibonacci
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Erasmus · 18-11-20, 17:19

Ho scritto i 128 numeri binari di 7 cifre e ho contato quanti sono quelli con almeno due zeri consecutivi (che vuol dire almeno 300 km da percorrere senza poter fare rifornimernto, cosa impossibile se l'autonomia è nettamente meno di 300 km). Ne ho contati 92 (ma posso anche aver sbagliato il conteggio). Dunque sono 92 su 128 i casi in cui il viaggiatore resta in autostrada senza benzina; e – per complemento 128 – 92 = 36 i casi in cui riesce ad arrivare in fondo agli 800 km.
Morale: probabilità richiesta 36/128 = 9/32 = 28,125%
Tu hai trovato 68/256 contando i casi in cui il viuaggiatore ce la fa.
Se seplifichi per due trovi 34/128 invece di 36/128, ossia 8,5/32 invece di 9/32. Differisci dal mio risultato per 1/18.
Rimetto qui i 128 numeri binari così chiunque può contare i casi con almeno due zeri consecutivi o no (cioè i casi in cui il viaggiatore resta bloccato in autostrada o no)

Codice:

0   0   0   0   0   0   0    0
0   0   0   0   0   0   1    1
0   0   0   0   0   1   0    2
0   0   0   0   0   1   1    3
0   0   0   0   1   0   0    4
0   0   0   0   1   0   1    5
0   0   0   0   1   1   0    6
0   0   0   0   1   1   1    7
0   0   0   1   0   0   0    8
0   0   0   1   0   0   1    9
0   0   0   1   0   1   0   10
0   0   0   1   0   1   1   11
0   0   0   1   1   0   0   12
0   0   0   1   1   0   1   13
0   0   0   1   1   1   0   14
0   0   0   1   1   1   1   15
0   0   1   0   0   0   0   16
0   0   1   0   0   0   1   17
0   0   1   0   0   1   0   18
0   0   1   0   0   1   1   19
0   0   1   0   1   0   0   20
0   0   1   0   1   0   1
0   0   1   0   1   1   0
0   0   1   0   1   1   1
0   0   1   1   0   0   0
0   0   1   1   0   0   1   25
0   0   1   1   0   1   0
0   0   1   1   0   1   1
0   0   1   1   1   0   0
0   0   1   1   1   0   1
0   0   1   1   1   1   0   30
0   0   1   1   1   1   1
0   1   0   0   0   0   0
0   1   0   0   0   0   1
0   1   0   0   0   1   0
0   1   0   0   0   1   1  35
0   1   0   0   1   0   0  
0   1   0   0   1   0   1
0   1   0   0   1   1   0
0   1   0   0   1   1   1
0   1   0   1   0   0   0   40
0   1   0   1   0   0   1
0   1   0   1   0   1   0
0   1   0   1   0   1   1
0   1   0   1   1   0   0
0   1   0   1   1   0   1   45
0   1   0   1   1   1   0
0   1   0   1   1   1   1
0   1   1   0   0   0   0
0   1   1   0   0   0   1
0   1   1   0   0   1   0   50
0   1   1   0   0   1   1
0   1   1   0   1   0   0
0   1   1   0   1   0   1
0   1   1   0   1   1   0
0   1   1   0   1   1   1   55
0   1   1   1   0   0   0
0   1   1   1   0   0   1
0   1   1   1   0   1   0
0   1   1   1   0   1   1
0   1   1   1   1   0   0   60
0   1   1   1   1   0   1
0   1   1   1   1   1   0
0   1   1   1   1   1   1   63

1   0   0   0   0   0   0   64
1   0   0   0   0   0   1   65
1   0   0   0   0   1   0
1   0   0   0   0   1   1
1   0   0   0   1   0   0
1   0   0   0   1   0   1
1   0   0   0   1   1   0   70
1   0   0   0   1   1   1
1   0   0   1   0   0   0
1   0   0   1   0   0   1
1   0   0   1   0   1   0
1   0   0   1   0   1   1   75
1   0   0   1   1   0   0
1   0   0   1   1   0   1 
1   0   0   1   1   1   0
1   0   0   1   1   1   1
1   0   1   0   0   0   0   80
1   0   1   0   0   0   1
1   0   1   0   0   1   0
1   0   1   0   0   1   1
1   0   1   0   1   0   0
1   0   1   0   1   0   1   85
1   0   1   0   1   1   0
1   0   1   0   1   1   1
1   0   1   1   0   0   0
1   0   1   1   0   0   1
1   0   1   1   0   1   0  90
1   0   1   1   0   1   1
1   0   1   1   1   0   0
1   0   1   1   1   0   1
1   0   1   1   1   1   0
1   0   1   1   1   1   1   95
1   1   0   0   0   0   0
1   1   0   0   0   0   1
1   1   0   0   0   1   0
1   1   0   0   0   1   1
1   1   0   0   1   0   0  100
1   1   0   0   1   0   1
1   1   0   0   1   1   0
1   1   0   0   1   1   1
1   1   0   1   0   0   0
1   1   0   1   0   0   1  105
1   1   0   1   0   1   0
1   1   0   1   0   1   1
1   1   0   1   1   0   0
1   1   0   1   1   0   1
1   1   0   1   1   1   0  110
1   1   0   1   1   1   1
1   1   1   0   0   0   0
1   1   1   0   0   0   1
1   1   1   0   0   1   0
1   1   1   0   0   1   1  115
1   1   1   0   1   0   0
1   1   1   0   1   0   1
1   1   1   0   1   1   0
1   1   1   0   1   1   1
1   1   1   1   0   0   0  120
1   1   1   1   0   0   1
1   1   1   1   0   1   0
1   1   1   1   0   1   1
1   1   1   1   1   0   0
1   1   1   1   1   0   1  125
1   1   1   1   1   1   0  126
1   1   1   1   1   1   1  127

––––––

aspesi · 18-11-20, 19:40

Quote:

Erasmus

Ho scritto i 128 numeri binari di 7 cifre e ho contato quanti sono quelli con almeno due zeri consecutivi (che vuol dire almeno 300 km da percorrere senza poter fare rifornimernto, cosa impossibile se l'autonomia è nettamente meno di 300 km). Ne ho contati 92 (ma posso anche aver sbagliato il conteggio). Dunque sono 92 su 128 i casi in cui il viaggiatore resta in autostrada senza benzina; e – per complemento 128 – 92 = 36 i casi in cui riesce ad arrivare in fondo agli 800 km.
Morale: probabilità richiesta 36/128 = 9/32 = 28,125%
Tu hai trovato 68/256

E' 68/256 (o se preferisci 34/128) sono i casi in cui la macchina arriva in fondo agli 800 km.

Ero praticamente certo

del mio risultato (ottenuto facendo un sistemino totocalcio di 7 doppie con 0-1 segni X ogni 2 doppie, quando mi appassionavo di sistemistica ludica ci avrei messo meno di 5 minuti...)

Comunque, ho esaminato i tuoi 128 numeri binari, e quelli buoni sono 34 (non 36), li cito con la tua numerazione:
42 ; 43 ; 45 ; 46 ; 47 ; 53 ; 54 ; 55 ; 58 ; 59 ; 61 ; 62 ; 63 ; 85 ; 86 ; 87 ; 90 ; 91 ; 93 ; 94 ; 95 ; 106 ; 107 ; 109 ; 110 ; 111 ; 117 ; 118 ; 119 ; 122 ; 123 ; 125 ; 126 ; 127

Erasmus · 19-11-20, 08:18

Quote:

aspesi

[...] ho esaminato i tuoi 128 numeri binari, e quelli buoni sono 34 (non 36), li cito con la tua numerazione:
42 ; 43 ; 45 ; 46 ; 47 ; 53 ; 54 ; 55 ; 58 ; 59 ; 61 ; 62 ; 63 ; 85 ; 86 ; 87 ; 90 ; 91 ; 93 ; 94 ; 95 ; 106 ; 107 ; 109 ; 110 ; 111 ; 117 ; 118 ; 119 ; 122 ; 123 ; 125 ; 126 ; 127

La mia numerazione non è che la traduzione dei numeri in base 2 in numeri in base 10.
Dunque avevo solo contato male: i numeri con almeno due zeri consecutivi sono 94 (su 128) e non 92.
Sono contento che il risultato sia giusto, dato che il metodo da me adottato mi pare il più semplice (e il più facile da eseguire). Sono contento ... anche perché sai bene che il calcolo delle probabilità non è il mio forte.

––––

P.S. (editando, gio. 19\11\2020 h10:37
Hai letto qua? –––> #3852 di "Qualche quiz"

04-09-20, 00:13	#2673
Erasmus Utente Super Data di registrazione: Feb 2008 Ubicazione: Unione Europea Messaggi: 7,623	Re: Estrazioni casuali 34 percorsi (salvo ... "errore di sbaglio" nel contarli ). Mi pare che se i passi sono 2n di cui n orizzontali ed n verticali, il numero di percorsi (diciamolo P(n) con n = 1, 2, 3, ...) verifichi la seguente legge: Codice: P(1) = 1; e per ogni n > 1: n–1 P(n) = P(n–1) + ∑P(k) () k=1 Ho contato il numero di percorsi di 2n passi [n orizzontali ed n verticsli] per n da 1 a 5 trovando appunto: P(1) = 1; P(2) = 2; P(3) = 5; P(4) = 13; P(5) = 34. I primi termini di questa successione sono: Codice: n ––> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... P(n) ––> 1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, ... Ho poi trovato questa successione su Oeis. Là si fa notare che questa successione è fatta dei termini di indice dispari della successione di Fibonacci – diciamoli F(2n–1) – ossia: Per ogni n intero positivo: P(n) =F(2n–1). Per esempio, per n = 7 [essendo per ogni n intero F(n–1) = F(n–2) + F(n–3)]: F(13) = F(12)+F(11)= F(11)+F(10)+F(11) = 2F(11)+F(10) = 2F(11)+F(9)+F(8) = ... = 2F(11)+F(9)+F(7) + F(5)+F(3)+F(1) [perché F(0) = 0]. Ossia: la verifica della () per n = 7 con P(n) = F(2n–1) Ma su Oeis è detto anche che P(n) è la successine dei numeri X per i quali 5X^2– 4 è un quadrato. Si constatainfatti che 5·1^2 – 4 = 1 = 1^2; 5·2^2 – 4 = 16 = 4^2; 5·5^2 – 4 = 121 = 11^2; 5·13^2 – 4 = 841 = 29^2; 5·34^2 – 4 = 5776 = 76^2.; ... Dunque, per ogni n intero positivo 5·F(2n–1)^2 –4 è un quadrato perfetto E questo è davvero sorprendente. ––––––– __________________ Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

04-09-20, 00:27	#2674
Erasmus Utente Super Data di registrazione: Feb 2008 Ubicazione: Unione Europea Messaggi: 7,623	Re: Estrazioni casuali L' "'errore di sbaglio" nel contare il numero percorsi c'è stato! Lento come son diventato, ero partito che ancora astromauh non era intervenuto ... ed ho inviato ben dopo il suo intervento (senza aver letto né lui né aspesi!) . Mi spiace aver "toppato" perché avevo trovato molto interessante la successione F(2n–1) (con le due proprietà scoperte consultando Oeis ). Amen! –––– __________________ Erasmus «NO a nuovi trattati intergovernativi!» «SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

18-11-20, 06:50	#2675
aspesi Utente Super Data di registrazione: Nov 2009 Ubicazione: Terra dei Walser Messaggi: 9,778	Re: Estrazioni casuali Tema di Matematica per l'ammissione ai Corsi di Laurea in Matematica, Fisica, Informatica Un turista parte per un viaggio di 800 km in autostrada. Alla partenza ha fatto il pieno di carburante e con il pieno ha un'autonomia di >200 e <210 km (facciamo finta sia così poco); ma a causa di uno sciopero, i distributori di benzina hanno una probabilità del 50% di essere chiusi. Lungo l'autostrada il turista troverà un distributore ogni 100 km e, se il distributore sarà aperto, ogni volta farà il pieno. Che probabilità ha il turista di arrivare a destinazione (supponiamo con ancora mezzo serbatoio pieno di carburante)? (il tra parentesi l'ho aggiunto io) Spero intervenga anche astromauh con una simulazione Vorrei conferma del mio risultato, perché in un forum di matematica c'è stato solo un intervento e la soluzione proposta (9/256) è secondo me sbagliata Ultima modifica di aspesi : 18-11-20 06:53.

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