Estrazioni casuali

[aspesi]

Erasmus

Dunque la 1ª risposta è 7/27 + 8/63 = (49 + 24)/189 = 73/189 ≈ 0,3862.
[Salvo errori o omissioni]

Perfetto!

Ma è con la seconda domanda (probabilità a posteriori) che di solito ti incaponisci...

[Erasmus]

aspesi;834999 [...

di solito ti incaponisci... :

Il mio amico Giovanni Vincenzi ti direbbe:
"Capone sarai te (e forse anche cappone); e caponcini i tuoi bambini".
[E per fortuna te non sarai cappone se di bambini ne avrai e se saranno tuoi]
––––––––––
Ma dai!
E' come chiedere: Con che probabilità di aver estratto due palline bianche dalla prima urna si procede all'estrazione dalla seconda urna?
La risposta alla seconda domanda è già impliciota nell'esame della situazione per dare la risposta alla prima.
In generale occorrerà moltiplicare ciascuna delle probabilità con le quali si procede per il reciproco della loro somma.
Nel nstro caso si procede comunque, e quindi le singole probabilità sono già a somma 1.

Insomma: ho già detto che delle C(10, 2) = 45 coppie (non ordinate) distinte estraibili dalla prima urna ce ne sono C(4, 2) = 6 di bianche.
Ergo la ripoista alla seconda domanda è 6/45 = 2/15 = 13,333... %
---------
Vedo ora che hai approvato la risposta di astromauh (diversa dalla mia ... e risultato di una complicata caterva di calcoli).
Beh: lasciami incapòonirmi nel sostenere che la risposta giusta è la mia!
––––––

[aspesi]

Erasmus

Insomma: ho già detto che delle C(10, 2) = 45 coppie (non ordinate) distinte estraibili dalla prima urna ce ne sono C(4, 2) = 6 di bianche.
Ergo la ripoista alla seconda domanda è 6/45 = 2/15 = 0,13,33%
---------
Vedo ora che hai approvato la risposta di astromauh (diversa dalla mia ... e risultato di una complicata caterva di calcoli).
Beh: lasciami incapòonirmi nel sostenere che la risposta giusta è la mia!
––––––

Eh... eh... CVD
La risposta GIUSTA alla seconda domanda è proprio quella che ha dato Astromauh

Cioè 14/73

[aspesi]

Si lancia una moneta perfettamente equilibrata (in cui la probabilità di fare testa T o croce C è la stessa), finché in due lanci consecutivi appare la sequenza TT.
Quanti lanci si devono fare in media?

E quanti lanci si devono fare in media per avere la sequenza TC? (Non è lo stesso numero di lanci! Provare per credere!)

Ma allora... la probabilità di ottenere le due diverse sequenze è uguale, o diversa? Nel senso: se si lancia la moneta finché appare o la sequenza TT o la sequenza TC, è corretto o no dire che l'una o l'altra sequenza appaia prima dell'altra con uguale probabilità e quindi si può scommettere alla pari?

Per approfondire:
- il numero di stringhe binarie di lunghezza n contenenti TT è 0, 1, 3, 8, 19, 43, 94... A008466
- il numero di stringhe binarie di lunghezza n contenenti TC è 0, 1, 4, 11, 26, 57, 120... A000295

Se ci fossero 3 esiti supposti equiprobabili (es. 1 X 2) quanto sarebbe l'attesa affinché si verifichi una coppia di segni uguali (es. 1 - 1)? E per il caso di un'accoppiata di segni diversi, es. 1 - 2?

E se si lancia un dado a 6 facce, quanti lanci si devono mediamente fare per osservare 1 - 1 in due lanci consecutivi? E per avere 1 - 2?

[Lagoon]

La probabilità di ottenere le due sequenze non è uguale.
Rimane abbastanza chiaro se consideri che cosa possa uscire da due lanci:

• TT
• TC
• CT
• CC

È evidente che con un terzo lancio è più probabile ottenere sequenze TC che TT: P(TC) > P(TT).

Di contro servono meno lanci per avere la sequenza TT rispetto alla TC, anche questo chiaro dall'esempio di cui sopra.

[aspesi]

Lagoon

La probabilità di ottenere le due sequenze non è uguale.
Rimane abbastanza chiaro se consideri che cosa possa uscire da due lanci:

• TT
• TC
• CT
• CC

È evidente che con un terzo lancio è più probabile ottenere sequenze TC che TT: P(TC) > P(TT).

Di contro servono meno lanci per avere la sequenza TT rispetto alla TC, anche questo chiaro dall'esempio di cui sopra.

O non ho capito quello che intendi, o è esattamente il contrario...

Infatti:
- la probabilità di ottenere (in una sequenza di lanci successivi) "per prima" una o l'altra sequenza TT o TC è esattamente la stessa . Questo perché quando prima o poi esce la prima T, la probabilità che la moneta successiva sia T o C è la stessa.

Invece (e qui sta la controintuitività!) , il numero medio di lanci mediamente necessario affinché appaia TT è maggiore del numero di lanci per avere TC. Lo puoi verificare, se vuoi, con un programmino; ma è evidente anche con il ragionamento (Una volta ottenuta la prima T, se al lancio successivo esce ancora T si è finito con TT; ma se esce C, si deve ricominciare tutto daccapo , per avere TT.
Questo non avviene se si vuole ottenere TC; anche qui bisogna aspettare la prima T e se al lancio successivo esce C il gioco è fatto; ma se al lancio successivo esce T non bisogna ricominciare daccapo, si deve solo aspettare che esca una C)

[Lagoon]

Considera i risultati possibili di due lanci: TT, TC, CT, CC.

Con un terzo potrai ottenere:

1. TT-C
2. TT-T
3. TC-T
4. TC-C
5. CT-T
6. CT-C
7. CC-T
8. CC-C

La sequenza TT la ottieni in 1, 2, 5 mentre la TC in 1, 3, 4, 6.
Per questo avevo (probabilmente erroneamente) dedotto che fosse più probabile ottenere TT che TC.

[Lagoon]

aspesi

O non ho capito quello che intendi, o è esattamente il contrario...

Infatti:
- la probabilità di ottenere (in una sequenza di lanci successivi) "per prima" una o l'altra sequenza TT o TC è esattamente la stessa . Questo perché quando prima o poi esce la prima T, la probabilità che la moneta successiva sia T o C è la stessa.

Invece (e qui sta la controintuitività!) , il numero medio di lanci mediamente necessario affinché appaia TT è maggiore del numero di lanci per avere TC. Lo puoi verificare, se vuoi, con un programmino; ma è evidente anche con il ragionamento (Una volta ottenuta la prima T, se al lancio successivo esce ancora T si è finito con TT; ma se esce C, si deve ricominciare tutto daccapo , per avere TT.
Questo non avviene se si vuole ottenere TC; anche qui bisogna aspettare la prima T e se al lancio successivo esce C il gioco è fatto; ma se al lancio successivo esce T non bisogna ricominciare daccapo, si deve solo aspettare che esca una C)

Sempre nell'esempio di cui sopra:

1. TT-C
2. TT-T
3. TC-T
4. TC-C
5. CT-T
6. CT-C
7. CC-T
8. CC-C

TT la ottieni dopo 2 lanci in 1., dopo 2 lanci in 2., dopo 3 lanci in 5. Media lanci: 2.33.
Mentre TC la ottieni dopo 3 lanci in 1., dopo 2 lanci in 3., dopo 2 lanci in 4., dopo 3 lanci in 6. Media lanci: 2.5.

Anche qui probabilmente ho dedotto male.




EDITANDO: mi è comunque chiaro l'errore di ragionamento del post precedente. Il caso 1. e 2. dal punto di vista della sequenza TT sono lo stesso. Quindi effettivamente
TC e TT sono equiprobabili.

Sono un pò arruginito

[aspesi]

Lagoon

TT la ottieni dopo 2 lanci in 1., dopo 2 lanci in 2., dopo 3 lanci in 5. Media lanci: 2.33.
Mentre TC la ottieni dopo 3 lanci in 1., dopo 2 lanci in 3., dopo 2 lanci in 4., dopo 3 lanci in 6. Media lanci: 2.5.

Anche qui probabilmente ho dedotto male.

Eh..., ma non si fa così per calcolare il numero medio di lanci per avere TT o TC

Per TT, su 8 lanci ce ne sono 2 con 2 lanci, 1 con 3 lanci e ben 5 in cui non appare TT:
n. medio lanci = 2*2/8 + 3*1/8 + 4 o>4*5/8 = > 27/8

Per TC, su 8 lanci ce ne sono 2 con 2 lanci, 2 con 3 lanci e 4 in cui non compare TC:
n. medio lanci = 2*2/8 + 3*2/8 + 4 o>4*4/8 = > 26/8

Proviamo a calcolare il numero medio x di lanci da effettuare per ottenere TT:
TT si ottiene una volta su quattro con 2 lanci -----> Media dei lanci = 1/4*2
Se inizialmente si ottiene TC o CC (una volta su due con 2 lanci), ci si ritrova al punto iniziale -----> Media dei lanci = 1/2*(2+x)
Se con due lanci si ottiene CT (una volta su quattro), a questo punto al lancio successivo si ha T (una volta su 2) e si finisce con 3 lanci; se invece si ha C (sempre una volta su due), si sono fatti 3 lanci e ci si ritrova ancora nel caso iniziale -----> Media dei lanci = 1/4 [1/2*3 + 1/2*(3+x)]
Risolvendo:
x = (1/4)*2 + (1/2)*(2+x) + (1/4)*[(1/2)*3 + (1/2)*(3+x)]

si ha:
x = 6

Con un ragionamento simile si può ottenere il numero medio dei lanci per avere l'uscita di TC

[Lagoon]

Chiarissimo. Come ho detto, sono un po' arruginito...devo seguire di più