Estrazioni casuali

[Mizarino]

60%

[aspesi]

Mizarino

60%

Aspettavo anche astromauh, che è da un po' che non si fa sentire...

[Erasmus]

aspesi

Aspettavo anche astromauh, che è da un po' che non si fa sentire ...

Ed Erasmus? Non lo aspetti più?
–––––––
Questo quiz era troppo facile!
Il grafico cartesiano della funzione
y = x^2 – x
è una parabola ad asse parallelo all'asse delle ordinate y [con y massimo (nel vertice della parabola in x = 0,5) che vale 0,25].
Si ha subito y > 0,16 per 0,2 < x < 0,8, [e quibndi p = (0,8 – 0,2)/1 = 0,6].
–––––––

@ Illustrissimo Miza
Ti funziona ora l'invio di messaggi privati via Coelestis?

Ma, soprattutto, è ancora valido il tuo vecchio indirizzo di e.mail (anche se sei pensionato)?
Se sì, ti scriverò lì (con un nuovo mio account di e.mail, perché quello vecchio è tornato a non funzionare).
Se no, visto che – se ho ben capito – la ricezione di messaggi privati ti funziona, ti dò il mio nuovo indirizzo per messaggio privato. Sono ancora interessato a sapere le relazioni tra il tuo "abitacolo" nel bellunese ed i disastri dei boschi (specie nell'agordino).
Ciao ciao!
Tanti sinceri auguri, specialmente ai nipotini [tuoi, miei, di chiunque]!
–––––

[aspesi]

Erasmus

Ed Erasmus? Non lo aspetti più?
–––––––
Questo quiz era troppo facile!

–––––

Lo aspettavo meno, perché sapevo che per te il quiz era ... elementare

[Mizarino]

Erasmus

@ Illustrissimo Miza
Ti funziona ora l'invio di messaggi privati via Coelestis?

NO

Ma, soprattutto, è ancora valido il tuo vecchio indirizzo di e.mail (anche se sei pensionato)?

SI

[aspesi]

Come si possono disporre sulla scacchiera gli 8 pedoni bianchi e gli 8 pedoni neri degli scacchi, in modo che ci siano al massimo 2 pedoni allineati in orizzontale, in verticale e in diagonale?

[Mizarino]

Sembra una variante del problema delle regine, con un numero doppio di pezzi...

[Erasmus]

Erasmus

Fin che non mi coglierà l'Alzheimer resterò il più "forte" in fatto di "sequenze numeriche"! Questa è facilissima!
Per n = 0 trovo ao = (1+a1)/a2 = (1+20)/14 = 3/2. Successivamente:
a3 = (1+14)/20=3/4; a4 = (1+3/4)/14 =1/8; a5 = (1+1/8)· 4/3=3/2 = ao; a6= [...] a1 = 20; a7 = [...] a2= 14; ...
Pertanto, per ogni n (anche negativo) a(n) = a(n mod 5). In particolare, essendo 2019 = 403·5 +4, a2019 = a4 = 1/8.

NB- Ho "cassato" il tag "color=linen" che occultava la risposta.

Erasmus

Ma invece della legge di ricorrenza e della conoscenza di due termini consecutivi si potrebbe dare la sequenza come funzione di n. Diciamo a(n) = f(n).
Che tipo di funzione sarà mai questa?

@ aspesi
Guarda che, oltre oltre al suggerimento indiretto (con il richiamo all'"immacolata" e ddel suyo "rovescio" che sarebbe la "peccatrice") ci stava anche la risposta esplicita ... ma occultata alla maniera imparata da astromauh.

Adesso cambio simboli.
Il termine corrente – diciamolo n-esimo – della sequenza funzione diretta del suo indice "n" lo chiamo Sn.
Sì, mi è costato un po' di "calcolo paziente" il trovare Sn = f(n).

Il clou, però, l'avevo già detto trovando che "polinomio caratteristico" è P(x) = x^5 –1.
Dunque gli autovalori sono le 5 radici quinte di 1. Queste, detta j l'unità immaginaria (tale cher j^2 = –1), sono:
X0 = 1;
X1 = e^(j2π/5) = cos(2π/5) + jsin(2π/5);
X2 = e^(j4π/5) = cos(4π/5) + jsin(4π/5);
X3 = e^(j6π/5) = cos(6π/5) + jsin(6π/5)= cos(4π/5) – jsin(4π/5); [coniugatp di X2]
X4 = e^(j8π/5) = cos(8π/5) + jsin(8π/5)= cos(2π/5) – jsin(2π/5); [coniugato di X1]

Perciò – (nel campo complesso –* la sequenza è del tipo
Per ogni n intero:
Sn = f(n) =<somma, per k da 0 a 4, di Ck·Xk^n>
dove i cinque coefficienti Ck sono 5 costanti (dipendenti da 5 termini in fila della sequenza) e Xk sono le 5 radici quinte di 1 (nel campo complesso).
Siccome stiamo nel campo reale, quella espressione (caso particolare della solita teoria delle sequenze linearmente dipendenti) equivale a:
Sn = A + B·cos(2nπ/5) + C·cos(4nπ/5) +D·sin(2nπ/5) + E·sin(4nπ/5).
Le costanti A, B, C, D e E si calcolano dal fatto che:
So = 3/2; S1 = 20; S2 = 14; S3 = 3/4; S4 = 1/8.
Si trova:
A = 291/40;
B = – [231 – 43·√(5)]/80; C = – [231 + 43·√(5)]/80;
D = (53/80)·√[130+58√(5)]; E = – (53/80)·√[130–58√(5)].

Provare per credere!
–––

[Erasmus]

aspesi

Il primo termine di una successione è a1=20, il secondo è a2=14.
I successivi sono dati, in funzione dei due precedenti, dalla relazione :

an+2 = (1 + an+1) / an

Qual è il valore di a2019 ?

La sequenza risulta periodica di periodo 5 e perciò il termine n-esimo è uguale al termine di indice n mod 5 (e 2019 mod 5 = 4).
Ho trovato quanto vale il termine corrente n-esimo in funzione (esplicita) dell'indice n (che è intero e può essere anche negativo o nullo),

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[aspesi]

Mizarino

Sembra una variante del problema delle regine, con un numero doppio di pezzi...

Sì, è abbastanza semplice...