Estrazioni casuali

[astromauh]

Ho finalmente capito il quiz dei quattro assi.

tre = 12/51 * 11/50 * 10/49

x = 12/51 * 11/50 * 39/49

y = 12/51 * 39/50 * 23/49

z = 39/51 * 24/50 * 23/49

response.write(tre + x + y + z )

Con questo semplice calcolo ottengo l'identico risultato che aveva trovato Aspesi.

P = 0,310204081632653



tre = 12/51 * 11/50 * 10/49

X = B1 * C1 * D4

Y = B1 * C2 * D5

Z = B2 * C3 * C4

Ma iniziamo dal principio:

aspesi

Un mazzo di 52 carte francesi è distribuito fra 4 giocatori in modo tale che ciascun giocatore ne riceva 13.
Calcolare la probabilità che almeno 2 dei 4 giocatori non ricevano assi.

Calcolare la probabilità che almeno 2 dei 4 giocatori non ricevano assi, equivale a richiedere la somma della probabilità che 2 giocatori non ricevano assi, a quella che 3 giocatori non ricevano assi.

La probabilità che tre giocatori non ricevano assi è facilmente calcolabile ed è:

tre = 12/51 * 11/50 * 10/49

Questo perché il primo asso può finire ad uno qualsiasi dei 4 giocatori, mentre il secondo asso deve andare al giocatore che ha ricevuto il primo (P= 12/51), il terzo asso deve andare allo stesso giocatore (P= 11/50) e lo stesso vale per il quarto asso (P= 10/49).

E fin qui dovrebbe essere tutto chiarissimo.

Resta però da calcolare la probabilità che due giocatori non ricevono assi, che andremo a sommare al valore della probabilità tre che abbiamo già trovato.

Come vedremo, la probabilità che due giocatori non ricevano assi è data dalla somma di tre possibili casi che ho chiamato x, y, z.

Il primo asso estratto a chiunque vada, va sempre bene.

Con il secondo asso si possono verificare due eventi distinti, che ho chiamato B1 e B2.

L'evento B1 si verifica se il secondo asso va al giocatore che ha già ricevuto il primo.

L'evento B2 si verifica se il secondo asso va ad un giocatore diverso da quello che aveva ricevuto il primo.

E' evidente che la probabilità di B1 è diversa da quella di B2, e le possiamo facilmente calcolare. B1 = 12/51 e B2 = 39/51.

Analizziamo per il momento cosa può accadere dopo che si è verificato l'evento B1 (primo e secondo asso allo stesso giocatore).

Il terzo asso potrebbe finire nuovamente allo stesso giocatore, evento C1, oppure potrebbe finire ad un altro giocatore, evento C2.

La probabilità dell'evento C1 = 11/50 mentre quella dell'evento C2 = 39/50.

Se si è verificato l'evento C1 (tre assi allo stesso giocatore), il quarto asso potrebbe finire ancora a questo giocatore, ma questo evento l'avevamo già considerato prima, perché rientra nella variabile tre, e quindi adesso non va considerato.

A C1 può seguire solo l'evento D4 che ha una probabilità D4= 39/49.

Mentre a C2 segue l'evento D5 che ha una probabilità D5= 23/49

Torniamo quindi a considerare l'evento B2 ossia quello che dopo l'estrazione del primo asso il secondo sia andato ad un giocatore diverso B2 = 39/51.

A questo punto ci conviene considerare i due giocatori che hanno ricevuto un asso ciascuno come una coppia, perché se vogliamo che alla fine della distribuzione rimangano due giocatori senza assi, questi due giocatori che l'asso ce l'hanno debbono continuare a ricevere i prossimi assi.

Per cui il terzo asso deve finire ad uno di questi due giocatori C3 = 24/50.

Anche il quarto asso deve finire ad uno di questi due giocatori C4 = 23/19

A questo punto dobbiamo soltanto sommare tre + X + Y + Z per ottenere la probabilità richiesta.

tre = 12/51 * 11/50 * 10/49

X = B1 * C1 * D4

Y = B1 * C2 * D5

Z = B2 * C3 * C4

PS
Giusto per pignoleria.

Qualcuno potrebbe dirmi, ma come mai a C2 fai seguire l'evento D5?

Ossia, il quarto asso invece di andare al giocatore 3, potrebbe andare al giocatore 2, e comunque il caso rientrerebbe in quello dei due giocatori senza assi.

Ed infatti, è giusto così, solo che rappresentare tutte le varianti sarebbe stato motivo di confusione, mentre la cosa importante è che la probabilità assegnata a D5, è data dalla somma di entrambi i (due) casi favorevoli possibili.

Lo stesso discorso è valido anche per altri punti dello schema. Ad esempio non è che a C1 debba seguire necessariamente quanto viene rappresentato in D4. Perché ovviamente il quarto asso potrebbe andare anche al giocatore 1 e 4 oltre che al giocatore 3. Ma è in base alla somma di queste tre possibilità favorevoli che è stata calcolata la probabilità.
Il fatto che il pallino sia stato assegnato al terzo giocatore è solo un esempio.

Comunque non credo che siano necessarie tutte queste spiegazioni, o almeno non per i quattro gatti che frequentano di solito questo forum.

Lo schemino però è bello!

PPS
Stavo pensando che al posto di trattare il caso dei tre giocatori senza assi come un caso a se stante, forse sarebbe stato meglio inserirlo nello schema, per cui dal punto C1 si potevano avere due diramazioni in D3 e D4. Dove D3 avrebbe visto tutti gli assi assegnati ad un solo giocatore. Ma va bene anche così.

[aspesi]

Molto bello!

Stavo per dire che il tuo schema non esamina correttamente tutti i casi (anche se poi ne tiene conto), quando ho poi visto il tuo PS.

Comunque, per calcolare correttamente i casi 3 1 0 0 e 2 2 0 0 (i tuoi Y e Z, come hai detto anche tu, non conducono solo a 2 2 0 0, ma comprendono anche una parte di 3 1 0 0), si può fare così:

3 1 0 0 = 12/51*11/50*39/49 + 12/51*39/50*11/49 + 39/51*24/50*11/49 = (11*39)/(51*50*49)*(12+12+24) = (11*39*48)/(51*50*49) = 0,164801921

2 2 0 0 = 12/51*39/50*12/49 + 39/51*24/50*12/49 = (12*39)/(51*50*49)*(12+24) = (12*39*36)/(51*50*49) = 0,134837935

che confermano i valori trovati da me con una procedura più lunga (e meno brillante!)

Solo per curiosità = la probabilità di 3 1 0 0 è pari a 11/9 della probabilità di 2 2 0 0

[aspesi]

astromauh

Ho finalmente capito il quiz dei quattro assi.

Briscola a chiamata

Un mazzo di carte da 40 napoletane è distribuito fra 5 giocatori in modo tale che ciascun giocatore ne riceva 8.
Calcolare la probabilità che almeno 2 dei 5 giocatori non ricevano assi.

E' praticamente uguale al quiz precedente, ma si può risolvere molto più facilmente.

[astromauh]

Dopo un sacco di calcoli mi sono accorto che il problema era più semplice di quanto pensassi. Perché NON si verifica che almeno due dei cinque giocatori non abbiano assi, solo nel caso in cui quattro giocatori ricevono un asso a testa. Per cui era sufficiente calcolare la probabilità di questo evento, per poi trovare la probabilità contraria.

P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7

OPPURE

P = 1 - P8

[aspesi]

astromauh

Dopo un sacco di calcoli mi sono accorto che il problema era più semplice di quanto pensassi. Perché NON si verifica che almeno due dei cinque giocatori non abbiano assi, solo nel caso in cui quattro giocatori ricevono un asso a testa. Per cui era sufficiente calcolare la probabilità di questo evento, per poi trovare la probabilità contraria.

In pratica,
1 - (4! * 5 * 8^4)/(40*39*38*37) = 0,77590546

[aspesi]

Nello scopone scientifico si usa un mazzo di 40 carte e si danno 10 carte a ciascuno dei 4 giocatori.

- calcolare la probabilità che un giocatore sia servito in modo da avere esattamente un sette, due assi e tre figure.

- ieri sera giocavamo a coppie, ero mazziere, e mi è capitato per la prima volta nella mia vita l'eccezionale caso fortunato di distribuire le carte in modo tale che, con il mio compagno abbiamo fatto cappotto, prendendo cioè tutte le 40 carte e realizzando 20 scope.
Ogni quante smazzate (una smazzata o mano è la distribuzione di un intero mazzo di carte nel corso di una partita) si verifica mediamente (teoricamente) questa eventualità?

[astromauh]

Non so giocare a scopone scientifico. Ha un significato particolare avere un sette, due assi e tre figure? Credo di no.

Le figure dovrebbero essere complessivamente 12, se per figure si intendono gli otto, i nove e i dieci. Che vuol dire avere tre figure?
Significa che bisogna averne esattamente tre e che non se ne possono avere quattro, cinque, ecc.? E lo stesso discorso vale anche per il sette che deve essere necessariamente uno e uno solo, e gli assi che debbono essere proprio due, e non tre, o quattro?

Credo che esattamente voglia dire proprio questo, però vorrei una conferma.

Per quanto riguarda la seconda domanda, vuol dire che il secondo giocatore deve avere le stesse carte del primo. e il quarto ossia il mazziere deve avere le stesse carte del terzo, a parte i semi?

[aspesi]

astromauh

Non so giocare a scopone scientifico. Ha un significato particolare avere un sette, due assi e tre figure? Credo di no.

No, nessun significato particolare.

astromauh

Credo che esattamente voglia dire proprio questo, però vorrei una conferma.

Confermo quello che hai scritto.
un 7 + 2 assi + 3 tra le 12 figure + altre 4 carte diverse

astromauh

Per quanto riguarda la seconda domanda, vuol dire che il secondo giocatore deve avere le stesse carte del primo. e il quarto ossia il mazziere deve avere le stesse carte del terzo, a parte i semi?

Qui ho preso una cantonata...
Intendevo solo il caso in cui tutti e 4 i giocatori hanno le stesse carte (dall'1 al 10)

[nino280]

Al Venerdì io passo quasi tutto il giorno al circolo.
Dalle ore 11 alle 13 partite di doppio o di singolo.
Poi doccia e quasi tutti i 24 a pranzo sempre al circolo.
Si mangia ma più che mangiare si beve.
Allora per non prendere subito la macchina pieni di alcool come stiamo si fa uno scopone per sbollire gli spiriti.
Si gioca però non lo scientifico ma all'asso.
Avete presente? Forse si dice "asso piglia tutto" in pratica che un asso prende tutte le carte in tavola.
Si passano momenti anche divertenti.
C'è anche la regola della "sequenza" che gli indigeni del posto chiamano "Gnau". Cioè sono punti se hai 1 2 3 di ori e tutti quelli consecutivi a questi tre se hai appunto 1 2 3 iniziali.
Fammi una casistica. Io di norma perdo quasi sempre, perché non mi viena quasi mai l'asso di denari che è la carte fra le più importanti.
Le immancabili discussioni.
Io dopo la smazzata distribuisco le carte una alla volta per ogni giocatore, dicono che non è regolamentare, mentre io contesto loro perché danno le carte 5 alla volta e secondo me le carte in questo modo non si distribuiscono equamente. Perché può avvenire che siccome al conteggio dei punti si mettono tutti i 7 assieme per vedere chi ha la primiera, poi tutti gli ori per contarli e via di seguito, se non si mischia per benino ti trovi un giocatore con 4 sette o 3 assi se come dicevo li hai messi assieme per vedere chi ha la primiera.
Ciao

[astromauh]

aspesi

Ogni quante smazzate (una smazzata o mano è la distribuzione di un intero mazzo di carte nel corso di una partita) si verifica mediamente (teoricamente) questa eventualità?

aspesi

Qui ho preso una cantonata...
Intendevo solo il caso in cui tutti e 4 i giocatori hanno le stesse carte (dall'1 al 10)

Ogni 100 milioni di smazzate si verifica mediamente 1,34747116539246 volte (se non ho sbagliato i conti).