Qualche quiz

[aspesi]

2) quiz

Perché un numero sia divisibile per 101 occorre e basta che, diviso il numero in gruppi di due cifre l'uno, a partire da destra, la differenza fra la somma dei gruppi di posto dispari e la somma dei gruppi di posto pari sia divisibile per 101.

Per trovare la cifra soppressa e sostituita con un asterisco basta fare la somma dei gruppi di due cifre aventi un posto pari o dispari dello stesso nome del gruppo che contiene l'asterisco e fare la somma dei gruppi di due cifre di nome contrario.
La prima somma dovrà essere uguale alla seconda, aumentata, se occorre, di un multiplo di 101.

Es. 5.858 *391 = 2.290.478
Presento: 2 2 * 0 4 7 8 (da indovinare il 9)
che considero: 2| 2*| 04| 78
L'asterisco è in un gruppo dispari, quindi:
gruppo di posto dispari = 2* + 78
gruppo di posto pari = 2 + 4 = 6
2* + 78 = 6 + 101
2* = 29
* = 9

Nota: Un'applicazione della caratteristica di divisibilità per 101 è questa.
- Si inviti uno a scrivere un numero qualunque composto da 4 cifre (o da 8 o da 12 ...) e si sommi il numero con il numero ottenuto da questo trasportando a sinistra di esso il gruppo di due cifre che si trova a sinistra. Si faccia moltiplicare la somma per un numero qualsiasi e nel risultato si sopprima una cifra (sostituita con un asterisco).
Questa cifra viene determinata con la stessa regola di prima, essendo il numero sempre multiplo di 101.

[aspesi]

Estensione alla ricerca di 2 cifre

Nel caso di un numero divisibile per 99, si possono indovinare due cifre (sostituite da due asterischi), purché non siano ambedue nulle e si trovino una in un posto pari e una in un posto dispari a partire da destra.

Es. risultato presentato:
1 2 * 7 0 * 2

[Erasmus]

aspesi

[...]
Es. 5.858 *391 = 2.290.478
Presento: 2 2 * 0 4 7 8 (da indovinare il 9)
che considero: 2| 2*| 04| 78
L'asterisco è in un gruppo dispari, quindi:
gruppo di posto dispari = 2* + 78
gruppo di posto pari = 2 + 4 = 6
2* + 78 = 6 + 101
2* = 29
* = 9:

OK.
Avevo anch'io supposto che esistesse un criterio del genere di divisibilità per 101, analogo a quello di divisibilità per 11.
Ma con la mia calcolatrice grafica facevo prima a risponderti per tentativi che a controllare il criterio.
Toh ... che è andato in porto il primo tentativo!

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Per curiosità: dove li vai a scovare questi quiz?
[Bellissimo quello delle 5 carte a caso, una da indovinare vedendone quattro ... disposte (da un complice) non a caso.]

Ciao, ciao

[Erasmus]

aspesi

Estensione alla ricerca di 2 cifre

Nel caso di un numero divisibile per 99, si possono indovinare due cifre (sostituite da due asterischi), purché non siano ambedue nulle e si trovino una in un posto pari e una in un posto dispari a partire da destra.

Es. risultato presentato:
1 2 * 7 0 * 2

Questa variante l'hai pensata adesso.
Vero.
Calcolo la somma delle cifre (modulo 9) col criterio della divisibilità per 9.
Calcolo la differenza delle cifre (modulo 11) col criterio della divisibilità per 11.

[aspesi]

Erasmus

Per curiosità: dove li vai a scovare questi quiz?
[Bellissimo quello delle 5 carte a caso, una da indovinare vedendone quattro ... disposte (da un complice) non a caso.]

Ciao, ciao

Sono per lo più sparsi disordinatamente tra libri, romanzi ed elaborati sistemistici per il totocalcio...
La maggior parte sono nati da spunti personali, con un gruppo di amici, anche decine di anni fa e/o proposti sul newsgroup it.hobby.enigmi; qualcun altro è semplicemente un aggiornamento di esercizi e quiz raccolti su vecchi libri di enigmistica (es. Matematica dilettevole e curiosa", Ulrico Hoepli, 1972) o infine ripresi da siti vari con google.

[aspesi]

Questa variante l'hai pensata adesso.

Vero.
Calcolo la somma delle cifre (modulo 9) col criterio della divisibilità per 9.
Calcolo la differenza delle cifre (modulo 11) col criterio della divisibilità per 11.

1 | 2 * | 7 0 | * 2

* 2 +
7 0 +
2 * +
..1
____
9 3

99 - 93 = 06

Nel gruppo di due cifre in cui manca la cifra delle unità, questa sarà il 6; nel gruppo in cui manca la cifra delle decine, questa sarà lo zero.

Risultato ricostruito:
1 2 6 7 0 0 2

[aspesi]

Un torneo matematico

Nel 1225, Giovanni da Palermo, matematico della Corte di Federico II, mentre l'imperatore era a Pisa, sfidò il grande Leonardo da Pisa con questo problema:

Trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 5, dia sempre un numero quadrato.

Leonardo rispose che il numero quadrato è:

[Erasmus]

aspesi

Un torneo matematico

Nel 1225, Giovanni da Palermo, matematico della Corte di Federico II, mentre l'imperatore era a Pisa, sfidò il grande Leonardo da Pisa con questo problema:

Trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 5, dia sempre un numero quadrato.

Leonardo rispose che il numero quadrato è:

Avevo (quasi) finito una risposta alcune ore fa: quasi, perché prima di inviare c'è stato qui un .. fading di ADSL (con la classica apertura d'una finestra di Safari dove sfacciatamente mi si dice: "Non sei connesso a Internet!"). Nel frattempo ... ho perso tutto quel che avevo scritto (sbagliando a chiudere le finestre di Safari).
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Nino II: di questo quiz so già da molti anni la soluzione.
Tu dicevi che non basta dire come si fa a risolvere un quiz, bisogna anche risolverlo effettivamente.

Ma siccome la soluzione la so a memoria ... lascio che la trovi effettivamente un altro.

A te e a costui vorrei però far vedere che alla risposta ci saprei arrivare se già non la conoscessi.
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Si tratta di trovare tre numeri u, v ed w tali che
1) v^2 = u^2 + 5 e w^2 = u^2 – 5.
La soluzione (se esiste) si trova per tentativi (una volta tramite tabelle, oggidì con un banale programmino).
A) Esaminando la succesione {k^2} per k = 0, 1, 2, 3, ... ossia:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 100, 121, ...
ci si rende conto immediatamente che u, v e w non possono essere interi.

Cerchiamoli allora tra i razionali frazionari ponendo:
u = n/d
con n e d interi positivi e coprimi (cioè senza fattori comeni, n/d "ridotta ai minimi termini"). Con ciò:
B) <n è pari e d è dispari> oppure <n è dispari e d è pari>
La 1) diventa allora il sistema:
v^2 = (n/d)^2 + 5 = (n^2 + 5·d^2)/(d^2) = (x^2)/d^2
w^2 = (n/d)^2 – 5 = (n^2 – 5·d^2) (d^2) = (y^2)/d^2
ossia:
2) x^2 = n^2 + 5·d^2 e y^2 = n^2 – 5·d^2.
con n, d, x e y interi da determinare in modo che, una volta trovati, succeda:
u = n/d; v = x/d; w = y/d.
Dalla 2), per somma e differenza viene:
x^2 + y^2 = 2·n^2 (*)
x^2 – y^2 = 10·d^2 (**)
Dalla (**) segue che x ed y sono entrambi pari o entrambi dispari.
Allora x^2 – y^2 è divisibile per 4 e perciò d è pari e – da B) – allora n è dispari.
Allora, dalla (*) viene che x ^2 + y^2 non è divisibile per 4 e quindi x ed y sono entrambi dispari.
[Oppure: Allora dalla (**) viene che 10·d^2 è divisibile per 8 e quindi x ed y sono entrambi dispari].

Sicché ci converrà cercare gli interi h, k e p e q tali che
x = 2h+1; y = 2k+1; n = 2p+1; d = 2q;
Le (*) e (**) diventano allora:
(2h+1)^2 + (2k+1)^2 = 2·(2p+1)^2;
(2h+1)^2 – (2k+1)^2 = 40·(q^2).
Da queste, dividendo per opportune potenze di 2, otteniamo:
3)
[h(h+1)/2 + k(k+1)/2]/2 = p(p+1)/2;
h(h+1)/2 – k(k+1)/2 =5· q^2 <=> (h–k)(h+k-1)/2 = 5·q^2.

Questa preliminare discussione non è necessaria : ma serve a ridurre il numero di tentativi e la grandezza dei numeri da cercare (cosa di peso irrilevante in un programmino per computer, ma non in una ricerca manuale).

i numeri interi del tipo P(m) = m(m+1)/2 per m = 1, 1, 2. 3, ... sono i cosiddetti "numeri perfetti":

P(m) ––> 0, 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, ... 
  m   ––> 0, 1, 2, 3,  4,  5,  6,   7,  8,   9,   10, 11, 12, 13, 14,   15,    16,   17,  18,   19,   20,   21,   22,  23,   24, ...

definibili ricorrentemente come segue:
P(0) = 0; per ogni m naturale P(m+1)= P(m) + (m+1).

A questo punto è facile trovare che, perché valgano le 3), occorre che sia:
h = ...
k = ...
p = ...
q = ...
e quindi:
u = (2p+1)/(2q) = .../... è il numero del quale è richiesto il quadrato u^2;
v = (2h+1)/(2q) = .../.. è il numero il cui quadrato vale v^2 = u^2 + 5;
w = (2k+1)/(2q) = .../... è il numero il cui quadrato vale w^2 = u^2 – 5.

[aspesi]

Erasmus

Da queste, dividendo per opportune potenze di 2, otteniamo:
3)
[h(h+1)/2 + k(k+1)/2]/2 = p(p+1)/2;
h(h+1)/2 – k(k+1)/2 =5· q^2 <=> (h–k)(h+k-1)/2 = 5·q^2.

Volevi scrivere:
(h-k)(h-k+1)/2 = 5q^2

Erasmus

A questo punto è facile trovare che, perché valgano le 3), occorre che sia:
h = ................. 24 (i valori li ho messi io - ndr)
k = ................. 15
p = ................. 20
q = ................. 6
e quindi:
u = (2p+1)/(2q) = .../... è il numero del quale è richiesto il quadrato u^2;
v = (2h+1)/(2q) = .../.. è il numero il cui quadrato vale v^2 = u^2 + 5;
w = (2k+1)/(2q) = .../... è il numero il cui quadrato vale w^2 = u^2 – 5.

[Mizarino]

aspesi

Trovare un numero quadrato che, aumentato o diminuito di 5, dia sempre un numero quadrato.

4
4 - 5 = -1 = i*i