Qualche quiz

[ANDREAtom]

aspesi

Giusto!

Non puoi trovare la lunghezza dei vari lati perché... questa lunghezza non è deducibile dai dati della figura.

L'unica cosa sicura è che se le aree dei 3 quadrilateri hanno il valore che è indicato, e i lati sono uguali a due a due, la quarta area ? da determinare vale (senza alcun dubbio):
((24+26) - 36 = 14

Di questo ci si può rendere conto dividendo con una diagonale i 4 quadrilateri. Risultano 8 triangoli di area uguale a due a due (quelli con la stessa altezza A=A'; B=B'; C=C'; D=D')


B + C = 26 ------> 1)
A + D = 24 ------> 2)
A + B = 36 ------> 3)

Sommiamo 1) + 2) e sottraiamo 3) :

B + C + A + D - A - B = 24 + 36 - 26
C + D = 14

Sarebbe come dire che l'area totale è 100, - 24 - 26 -- 36 = 14 ma non vedo nessuna logica nei due ragionamenti.

[aspesi]

Non mi pare possibile...
Eppure l'autore è competente e attendibile





Sì che è possibile! Però non è facile!

Ho trovato un metodo piuttosto facile.
Area_ABCD=(9/2)*RADQ(7)

[nino280]

Non faccio vedere tutto il triangolo perchè è troppo altoe va un pò fuori campo.
Comunque mostro la parte cruciale del Quiz.
Triangolo come si vede di base 10 e lati 33,333333
Pwerbacco.Mi è sfuggita l'area.
Vado a rimettere il disegno giusto

[nino280]

Eccolo con Area
Ciao
Dopo di che per oggi basta, perchè di notte da un pò di tempo faccio dei sogni onirici.
Sogno triangoli con lati curvi.
Ciao

[astromauh]

I segmenti oltre ad essere uguali dovrebbero valere 4.

Comunque direi che è in gran parte risolto, perché hai mostrato che i segmenti
possono essere uguali sebbene non siano simmetrici,
e questa è la cosa controintuitiva, che rendeva il quiz inaccettabile.

[Erasmus]

aspesi

Non mi pare possibile...
Eppure l'autore è competente e attendibile

Sì che è possibile! Però non è facile!

A me, invece, pare abbastanza facile.
Tracciamo un segmento uguale a BD ma simmetrico si BD rispetto alla verticale, ossia con un estremo in C e l'altro – che chiameremo F – su AB (tra A e B) distante 1 da B (come D dista 1 da C). Sia H il punto medio di EF. Allora H dista 1/2 da E e da F; e dista 3/2 da B.
Si noti che CH è perpendicolare ad AB. La lunghezza di CH è allora
CH = √(EC^2 – HE^2) = √(4^2 – 0,5^2) = √(63)/2.
Con ciò si può trovare la lunghezza di BC che viene:
BC = √[(3/2)^2 + 63/4]= √(72/4) = 3√(2).
Se prendiamo un punto G su AB tra E ed A e distante 3/2 da H (ossia distante 3 da B), il triangolo BCG viene isoscele su BG e simile a BCA.
In questo triangolo risulta:
<lato obliquo>/<base> = BC/BG = [3√(2)]/3 = √(2).
Allora anche nel triangolo simile ABC avremo:
<lato obliquo>/<base> = AB/BC= √(2)
e quindi
AB = √(2)·BC = √(2)·[3√/2)] = 6.
Il tiangolo ABC visto sulla base [IAB[/i] ha altezza HC = √(63)/2.
Sicché l'area di ABC vale:
<Area di ABC> = AB·HC)/2 = [6·√(63/4)]/2 = (9/2)√(7) ≈ 11,905880899790658[/b].
––––––-

[aspesi]

Erasmus

A me, invece, pare abbastanza facile.

Allora, essendo AB = AC, l'area di ABC viene
<Area di ABC> = AB·HC/2 = [6·√(63/4)]/2 = (9/2)√(7) ≈ 11,905880899790658.
––––––-

L'avevo risolto allo stesso modo.

Pongo il punto K sul lato AB in modo che KC sia perpendicolare a AB.
Questo punto K è distante 0,5 da E (come sarebbe distante 0,5 da D se fosse tracciato sul lato AC).
KC = RADQ(CE^2 + EK^2) = RADQ(4^2-0,5^2) = (3/2)*RADQ(7)

Calcolo ora la base BC:
B C = RADQ(KB^2 + KC^2) = RADQ((3/2)^2 + (3/2*RADQ(7)^2) = 3*RADQ(2)

Traccio ora l'altezza AH
I triangoli KCB e BAH sono simili, per cui:
KC : KB = AH : BH

AH = 3/2*RADQ(7)*3/2 / (3/2*RADQ(2)) = (3/2)*RADQ(14)

Area ABC = AH * BC / 2 = (3/2*RADQ(14) *3*RADQ(2))/2 = (9/2)*RADQ(7)

[nino280]

Chiaramente mi era sfuggito il dato da 4
Mi sarebbe bastato aggiungere un pallino e fare poi le cose per bene.
Ma ero al quarto quiz della giornata, e certe sviste sono anche giustificate.
Ciao

[aspesi]

Olimpiadi della matematica

Giochi di Archimede 2022 (biennio liceo)
La prova è costituita da 16 problemi (che metterò un po' per volta, alcuni sono molto facili).
Ogni domanda è seguita da 5 risposte. Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono sbagliate.

10) Quante sono le terne di numeri naturali tra loro distinti (a, b, c) tali che il numero a sia un divisore di b, il numero b sia un divisore di c ed il numero c sia un divisore di 12?
- 6
- 7
- 8
- 10
- 9

11) Quanti sono i numeri naturali di 3 cifre dove almeno una delle cifre è uguale a 4?
- 252
- 196
- 180
- 225
- 216

12) Laura dipinge di blu l'intera superficie di un cubo di legno, poi lo taglia suddividendolo in 6^3 = 216 cubetti uguali. Mescolando i cubetti ed estraendone uno a caso, qual è la probabilità che Laura ne trovi uno che abbia esattamente una faccia dipinta di blu?
- 9/24
- 32/81
- 1/2
- 1/3
- 4/9

[Erasmus]

aspesi

10) Quante sono le terne di numeri naturali tra loro distinti (a, b, c) tali che il numero a sia un divisore di b, il numero b sia un divisore di c ed il numero c sia un divisore di 12?
- 6
- 7
- 8
- 10
- 9

Per c = 12:
b = 6; a = 1, 2, 3, 4
b = 4; a = 1, 2, 3
b = 3; a = 1, 2
b = 2; a = 1,
Fin qua 10 terne.
Per c = 6:
b = 4; a = 1, 2, 3
b = 3; a = 1, 2
b = 2; a = 1
Altre 6 terne.
Per c = 4:
b = 3; a = 1, 2
b = 2; a = 1
Altre tre terne.
Per c = 3:
b = 2; a = 1.
Altra e ultma terna.
In tutto 10 + 6 + 3 + 1 = 20 terne. [Somma dei numeri triangolari da 1 a 10]
Non vedo il 20 tra le cinque proposte di risposta! E' forse atteso il 10?
Però:
4, 6, 12 – 3, 6, 12 – 2, 5, 12 – 1, 6, 12 | 3, 4, 12 – 2, 4, 12 – 1, 4, 12 | 2, 3, 12 – 1, 3, 12 | 1, 2, 12
3, 4, 6 – 2, 4, 6 – 1, 4, 6 | 2, 3, 6 – 1, 3, 6 | 1, 2, 6
2, 3, 4 – 1, 3, 4 | 1, 2, 4
1, 2 , 3
mi paiono 20 terne distinte di nuneri naturali distinti divisori di 12.

Se tolgo le terne con un divisore 1 mi restano
4, 6, 12 – 3, 6, 12 – 2, 5, 12 | 3, 4, 12 – 2, 4, 12 | 2, 3, 12
3, 4, 6 – 2, 4, 6 | 2, 3, 6
2, 3, 4;
me ne restano cioè proprio 10.

Forse che 1 non è pure un naturale divisore?
Non si dice più che un numero primo è un intero positivo divisibile solo per 1 e per sé stesso?

aspesi

11) Quanti sono i numeri naturali di 3 cifre dove almeno una delle cifre è uguale a 4?
- 252
- 196
- 180
- 225
- 216

I numeri di 3 cifre spn 1000 [da 0 a 999] – 100 [da 0 a 99) = 900
Li penso 9 centinaia che, modulo 100, vengono uguali, [tutte di 100 naturali da 0 a 99],
8 di queste hanno 9 +1 numeri con un solo 4 (e 8·10 = 80); e un centinaio ne ha 100 – 10 = 90.
I numeri di 3 cifre con un solo 4 sono 170.
Inumeri di 3 cifrecon due 4 sono: uno solo in 8 centinaia e 9 in un solo cebtibaio, 19 in tutto.
Uno solo è il numero con trre 4, I numeri di tre cifre con almeno un 4 sono 190.

Di nuovo non vedo il mio risultato tra le proposte di risposta!
Qulcuno mi dica dve avrei sbagliato!

aspesi

12) Laura dipinge di blu l'intera superficie di un cubo di legno, poi lo taglia suddividendolo in 6^3 = 216 cubetti uguali. Mescolando i cubetti ed estraendone uno a caso, qual è la probabilità che Laura ne trovi uno che abbia esattamente una faccia dipinta di blu?
- 9/24
- 32/81
- 1/2
- 1/3
- 4/9

Le facce di cubetti con almeno una faccia colorata sono 6^3 – 4^3 = 152 = 8·19.
Di queste solo 6·4^2 = 96 = 24·4 hanno una sola faccia colorata [i cuberri sono 24·9]
La risposta è dunque (24·4)/(24·9) = 4/9.
–––
:hello.