Qualche quiz

[Erasmus]

aspesi

No Ne hai dimenticati quattro.

In quale punto li ho persi per strada?
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Amen!
Ormai ... sono quasi al capolinea!
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Ciao ciao

[Erasmus]

Ho capito dove mi sono perso le terne.

a) Tra i casi con uno spigolo 3 e due spigoli maggiori di 6 ho saltato di vedere se andava bene b = 7 ... o anche di più ... sbaglando i conti (quando ho detto "stop perché con c=3 e b da 7 in su il terzo spigolo sarebbe non maggiore di 6 ").
1/a + 1/b = 1/2 – 1/3 = 1/6 = 7/42 = 1/42 + 1/7 OK (a= 42; b = 7; c = 3)
1/a + 1/b = 1/2 – 1/3 = 1/6 = 5/30 = 2/30 + 3/30 = 1/15 + 1/10 OK (a=15: b = 10; c = 3)
NB: bisogna provare frazione del tipo m/(6*m) con m da 1 in su.

Ne ho ricupertato due !

b) Ho anche dimenticato di controllare i casi, sempre con due spigoli maggiori di 6, ma con uno spigolo 4 o 5 invece di 3.
Così non ho beccato la terna 8, 8, 4 che veniva facile facile:
1/a + 1/b = 1/2 – 1/4 = 1/4 = 2/8 = 1/8+ 1/8. OK (a= 8; b = 8; c = 4).
E dire che questa l'avevo già considerata in precdenza!

[Recuperate 3 terne]

c) Nell'esame dei casi con un solo spigolo maggiore di 6 ho saltato le coppie:
4, 4
5, 5.
Senza questa omissione:
––> 1/a = 1/2 – (1/4 + 1/4) = 0; NO
1/a = 1/2 – (1/5 +1/5) = (5 – 4)/10 = 1/10 ; OK (a =10; b = 5; c = 5).
[Recuperate 4 terne]

I conti tornano: 10 terne in tutto.

Ciao ciao
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[Erasmus]

Erasmus

I fattori primi in gioco sono 2, 3 e 5.
Vedo anche che lo spigolo massimo è sempre il minimo comune multiplo.

Frasi sbagliate!
Proprio le due terne da me omesse nel gruppo con uno spigolo 3 non soddisfano entrambe le affermazioni: la [3, 7, 42] fa eccezione alla prima affermazione (col fattore primo 7) e la [3, 10, 15] fa eccezione alla seconda (con minimo comune multiplo 30).
Rimetto la lista col grassetto sulle eccezioni a quelle affermazioni.
3, 7, 42 (fattori primi: in questa 2, 3 e 7; in tutte le altre fattori primi minori di 7).
3, 8, 24
3, 9, 18
3, 10, 15 (Minimo comune multiplo 30; in tutte le altre m.c.m = numero maggiore)
3, 12, 12
4, 5, 20
4, 6, 12
4, 8, 8
5, 5, 10
6, 6, 6

Ciao ciao
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P.S.
La più notevole mi sembra la [4, 8, 8], con l'unico fattore primo 2.
Area totale = Volume = 256, ossia 16^2 = 4^4 , numero che si può rappresentare anche così:
[2^(2^2)]^2 = (2^2)^(2^2)
Ci scommetto che piacerà a Nino I

[Erasmus]

Nuovo quiz (facile facile):
Dato un rettangolo [non quadrato, cioè con i lati non uguali], in quanti modi lo si può suddividere in 36 rettangoli uguali?
E in 1155?
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[Erasmus]

Erasmus

Nuovo quiz (facile facile)
[...]
E in 1155?

Una volta ho 'postato' il quiz che chiedeva quante sono le terne pitagoriche primitive con un dato cateto dispari, diciamolo lungo Cd = 2n+1,
Naturalmente ... non l'ha ****** nessuno!

Guarda caso, la risposta (facile facile) a questo quiz assomiglia alla risposta a quello là!

Comunque, le terne pitagoriche primitive in cui il "cateto dispari" vale 1155 sono tutte e soltanto queste:

1) [1155, 667012, 667013]
2) [1155, 74108, 74117]
3) [1155, 26668, 26693]
4) [1155, 13588, 13637]
5) [1155, 5452, 5573]
6) [1155, 2852, 3077]
7) [1155, 1292, 1733]
8) [1155, 68, 1157]

Capita la somiglianza?

Quanti saranno, allora, i modi in cui un rettangolo (non quadrato) è suddivisibile in 1155 rettangoli uguali?

[Come diceva aspesi, se non frega a nessuno ... pazienza ]

[nino280]

Tiro a indovinare:
per 36 = 3
esattamente 9x4 ; 12x3 ; 18x2
Ciao

[aspesi]

Erasmus

Nuovo quiz (facile facile):
Dato un rettangolo [non quadrato, cioè con i lati non uguali], in quanti modi lo si può suddividere in 36 rettangoli uguali?
E in 1155?
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Sono in montagna solo.
Non ho l'adsl e la chiavetta prende malissimo.
Devo ancora pulire i porcini che ho trovato oggi (ottima raccolta! )
Ho appena finito di cenare e sto iniziando a lavare i piatti...

Allora, di corsa... scusa se sto prendendo una cappella...

Fattorizzazione?
Se a sono i fattori tutti diversi (escluso il numero 1), b i fattori co esponente maggiore di 1, c i fattori con esponente maggiore di 2, ...

Modi di suddivisione di un rettangolo = 2^a * 3/2^b * 4/3^c * ....

Es.: 36 = 2^2*3^2
= 2^2*3/2^2 = 9
1*36
2*18
3*12
4*9
6*6
9*4
12*3
18*2
36*1
(Mi accorgo però che tu hai detto di tener conto solo dei rettangoli e qui c'è anche il quadrato 6*6... Boh...)

1155 = 3*5*7*11
Qui dovrebbe essere 2^4 = 16

A domani sera
Ciao
Nino

[Erasmus]

Erasmus

1) [1155, 667012, 667013]
2) [1155, 74108, 74117]
3) [1155, 26668, 26693]
4) [1155, 13588, 13637]
5) [1155, 5452, 5573]
6) [1155, 2852, 3077]
7) [1155, 1292, 1733]
8) [1155, 68, 1157]

Non c'entra niente ... ma è notevole: quando il cateto dispari finisce con 5, il cateto pari finisce con 2 o con 8 e l'ipotenusa finisce con 3 o con 7.

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[Erasmus]

aspesi

[...]
Fattorizzazione?
Se a sono i fattori tutti diversi (escluso il numero 1), b i fattori co esponente maggiore di 1, c i fattori con esponente maggiore di 2, ...

Modi di suddivisione di un rettangolo = 2^a * 3/2^b * 4/3^c * ....

aspesi

Es.: 36 = 2^2*3^2
= 2^2*3/2^2 = 9 [...]

aspesi

[...]1*36
2*18
3*12
4*9
6*6
9*4
12*3
18*2
36*1

(9 modi)

aspesi

(Mi accorgo però che tu hai detto di tener conto solo dei rettangoli e qui c'è anche il quadrato 6*6... Boh...)

Occhio: ho detto che il rettangolo da suddividere non è quadrato! Non che devono non essere qudrati i 36 rettangolini della suddivisione. Bisogna e basta che siano uguali tra loro.

aspesi

1155 = 3*5*7*11
Qui dovrebbe essere 2^4 = 16

Ma ... non ho capito la storia degli a fattori semplici, dei b fattori doppi, dei c fattori tripli (... perché tu dici «Se a sono i fattori tutti diversi (escluso il numero 1), b i fattori con esponente maggiore di 1, c i fattori con esponente maggiore di 2, ...» ma credo che intenda come ho detto io ... che però non capisco dove vai a parare).

In pratica, se devo suddividere il rettangolo (non quadrato) in N rettangoli uguali, considero gli interi x ed y tali che xy = N; e quindi le rette parallele al lato L1 distanti una dalla vicina la frazione L2/x dell'altro, e le rette parallele al lato L2 distanti una dalla vicina L1/y.
Allora, se considero il ramo di iperbole di equazione xy= N per x ed y entrambi positivi, la risposta al quiz è il numero di punti del ramo con entrambe le coordinate intere.
Per simmetria, siccome scambiando x con y l'equazione xy = N resta la stessa, se c'è la coppia [x, y] =[a, b] con a ≠ b c'è anche la coppia [x, y] =[b, a]. Naturalmente, se N è un quadrato perfetto (= quadrato d'un intero) c'è un punto dove x = y, di coordinate [x, y] = [√(N), √(N)] ... che è simmetrico di se stesso!
Ecco che in 36 = 6^2 c'è la coppia [x, y]=[6, 6].

Ripeto: non ho capito il tuo ragionamento di base.
Dicevo che il quiz è "facile facile" perché ... basta contare i modi distinti in cui si può porre N nella forma x·y con x ed y entrambi interi positivi.

Il mio procedimento è elementare, come segue:
Parto con x = 1, proseguo con x = <divisore di N> fintanto che è x <√(N) (cioè x < y). Il numero di modi fin qua ottenuto va raddoppiato (scambiando x con y). A questo numero pari di modi va eventualmente aggiunta un'unità [il modo in cui x=y] se capita che N è un quadrato perfetto.

Per esempio, con N = 1155 = 3·5·7·11, essendo 33 < √(N) < 34, prendo un sottinsieme di fattori – e considero anche il solo "1" come sottinsieme! – il cui prodotto non superi 33. Cioè:
{1}, {3}, {5}, {7}, {11}, {3·5}, {3·7}, {3·11}
Quindi i divisori di un lato possono essere:
x=1, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 33.
I divisori dell'altro lato saranno i numeri del tipo y = N/x:
y= 1155, 385, 231, 165, 105, 77, 55, 35.


Ho 8 casi con x < y. Scambiando x con y ne ho altri 8.

(1, 1155);   (1155, 1);
(3, 385);     (385, 3);
(5, 231);     (231, 5):
(7, 165);     (165, 7)
(11, 105);   (105, 11);
(15, 77);     (77, 15);
(21, 55);     (55, 21);
(33, 35);     (35, 33).

Nel caso N = 36, per x < √(36) < y ho i sottinsiemi {1}, {2}, {3}, (2·2} . I divisori di un lato sono:
x = 1, 2, 3, 4
e quelli dell'altro lato sono
y = 36/x = 36, 18, 12, 9.
4 casi con x < y; altri 4 con x >y, più, questa volta, il caso con x = y = 2·3 = 6.
Quindi 9 casi in tutto.

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Ciao, ciao.

[Erasmus]

@ aspesi
Ho capito che il tuo ragionamento vuole generalizzare il problema.

Ecco la generalizzazione (detta a modo mio).
a) Associamo all'intero N l'insieme S(N) dei suoi fattori (ripetuti se non sono semplici).
Per esempio, se N = 72, l'insieme S(72) = {2a, 2b, 2c, 3a, 3b}
b) Dividiamo S in due parti una complementare dell'altra. Ho tante possibilità quante sono le parti. Si sa che le parti di un insieme di m elementi sono 2^m (compresa la parte vuota, complementare dell'intero S).
Ecco, per esempio, le 2^5 = 32 parti di S(72) che ha 5 elementi
Φ,
{2a} {2b} {2c} {3a} {3b}
{2a, 2b} {2a, 2c} {2a, 3a} {2a, 3b} {2b, 2c} {2b, 3a} {2b, 3b} {2c, 3a} {2c, 3b} {3a, 3b}
{2a, 2b, 2c} {2a, 2b. 3a} {2a, 2b, 3b} {2a, 2c, 3a} {2a, 2c, 3b} {2a, 3a, 3b} {2b, 2c, 3a} {2b, 2c, 3b} {2b. 3a, 3b} {2c, 3a, 3b}
{2a, 2b, 2c, 3a} {2a, 2b, 2c, 3b} {2a, 2b, 3a, 3b} {2a, 2c, 3a, 3b} {2b, 2c, 3a, 3b}
{2a, 2b, 2c, 3a, 3b}
c) Consideriamo i numeri prodotti dei fattori di ciascun insieme-parte.
Ecco i 32 prodotti nel caso di S(72), [NB. Alla parte vuota corrisponde il fattore neutro 1]:
1,
2, 2, 2, 3, 3,
4, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 6, 6, 9,
8, 12, 12, 12, 12, 18, 12, 12, 18, 18,
24, 24, 36, 36, 36,
72
d) Scartiamo i numeri eventualmente ripetuti. I numeri (distinti) rimasti sono i casi del primo fattore x con secondo fattore y = N/x.
e) Il numero di numeri rimasti è ... la risposta al quiz (cioè in quanti modi si può suddividere un rettangolo non quadrato in N rettangoli uguali).

Nel caso di 1155 non ci sono ripetizioni, nel caso di 72 ce ne sono parecchie!
Per S(72), prendendo solo le parti distinte, mi restano 12 numeri:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
e quindi le 12 coppie
[1, 72]; [2, 36]; [3, 24]; [4, 18], [6, 12]; [8, 9]; [9, 8]; [12, 6]; [18, 4]; [24, 3]; [36, 2]; [72, 1].

Nel caso di 1155 = 3·5·7·11 (che ha 4 fattori semplici) ottengo 2^4 = 16 parti diverse ciascuna da ciascun'altra cui corrispondono i 16 divisori distinti di 1155.
Nel caso di 36 = 2·2·3·3 – due fattori entrambi doppi – le 16 parti sono:
Φ
{2a} {2b} { {3a} {3b}
{2a, 2b} {2a, 3a} {2a, 3b} {2b, 3a} {2b, 3b} {3a, 3b}
{2a, 2b. 3a} {2a, 2b, 3b} {2a, 3a, 3b} {2b. 3a, 3b}
{2a, 2b, 3a, 3b}
Ad esse corrispondono i 16 numeri:
1,
2, 2, 3, 3,
4, 6, 6, 6, 6, 9,
12, 12, 18, 18,
36
dei quali quelli distinti sono i 9 numeri x
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
da associare ai 9 numeri y = 36/x
per fare le 9 coppie [x, y], cioè
[1, 36]; [2, 18]; [3, 12]; [4, 9]; [6, 6]; [9; 4]; [12, 3]; [18, 2]; [36, 1].

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