Qualche quiz

[aspesi]

Ho controllato il risultato dell'equazione che ho scritto e dà 0,562190522...

Questo problemino l'ho copiato dal NG it.scienza.matematica.
Ha avuto solo una risposta e chi l'ha risolto dice laconicamente che la soluzione si ottiene applicando tre volte il teorema di Carnot, che sarebbe il procedimento che hai impostato tu (ma non va oltre e non mostra i passaggi e i calcoli).

La differenza rispetto al valore che hai misurato graficamente mi pare però eccessiva.



Ho misurato (con una riga ) il tuo Figura-nuova.PNG e mi pare che costruendo i triangoli non hai rispettato le proporzioni.
Ad es., prendendo per buoni i lati AC e BC (che è già un po' più corto di quanto dovrebbe essere), il lato AB che hai disegnato è troppo corto (di ben il 4,5%)

[Erasmus]

aspesi

... il lato AB che hai disegnato è troppo corto (di ben il 4,5%)

Eh NO!
L'unica certezza dell'originale è proprio AB= 4.
[Unità di lunghezza 2 cm; cioè: larghezza dell'oggetto ∆x = 8,00 cm; altezza dell'oggetto ∆y = 0,00 cm.]

Per 'postare' l'immagine copio un rettangolo di schermo che ha la figura nel foglio originale dell'editor di grafica; e così fabbrico di colpo una immagine PNG che finisce sulla "scrivania". Poi carico questa immagine PNG su http://www.imageshack.us/ .

Per disegnare ABC parto con AB orizzontale [lungo 8 cm esatti], poi devo disegnare AC e BC obliqui. Per far questo, prendo inizialmente due segmenti orizzontali lunghi esattamente 6 e 5. Poi dovrò girare:
• il segmento lungo 6 dell'angolo in A:
(180/π)·arcos[(6^2 + 4^2 – 5^2)/(2·6·4) = 55,771...°;
• il segmento lungo 5 dell'opposto dell'angolo in B:
–(180/π)·arcos[(5^2 + 4^2 – 6^2)/(2·5·4) = –82,619...°
Ma il mio editor sa ruotare solo di un numero intero di gradi!
Allora devo ruotare il primo di 56° ed il secondo di –83°. Quando trasporto gli estremi bassi di questi segmenti obliqui rispettivamente in A e B del segmento AB (che è lungo esattamente 4) gli estremi alti non combaciano: resta tra loro una piccolissima fessura. Allora, (approssimando con le perpendicolari in quegli estremi alti), cerco il punto dove portare gli estremi alti. Poi, per controllo, mi faccio dare dall'editor la larghezza e l'altezza dl ciascun segmento obliquo di cui trovo la lunghezza (con Pitagora sulla Calcolatrice Grafica).
Nel disegno originale (che ho riaperto e sto controllando) mi ritrovo ora:
AB ––> ∆x = 8,00 cm; ∆y = 0,00 cm –-> AB = 8,00 cm;
AC ––> ∆x = 6,74 cm; ∆y = 9,92 cm ––> AC = √(6,74^2 + 9,92^2) cm ≈ 11,993 cm
BC ––> ∆x = 1,26 cm; ∆y = 9,92 cm ––> BC = √(1,26^2 + 9,92^2) cm ≈ 10,000 cm

Nota anche che i due ∆y somo uguali e la somma dei due ∆x è proprio (6,74 + 1,26) cm = 8,00 cm.
Dunque: meglio di così non potevo fare!

Più difficile è stato costruire il triangolo DEF.
Prima l'ho disegnato con DE orizzontale lungo 2 (cioè 4,00 cm).
Problemi analoghi al caso precedente, ma risolti con minore precisione per due motivi:
• i lati sono più corti e la sensibilità dell'editor è ancora il decimo di mm di prima;
• il lato DE = 2 – per ora orizzontale, cioè: ∆x =4,00 cm e ∆y = 0,00 cm – non è la somma dei due ∆x di quelli obliqui lunghi 4 (= 8 cm) e 3 (= 6 cm), ma la differenza (perché l'angolo in B è ottuso).
[Beh: era meglio se mettevo orizzontale il lato più lungo invece di quello più corto. ]
Poi l'ho girato ... in "rotazione libera" e l'ho spostato cercando di far cascare D su AC, E su AB ed F su BC.
E qui viene il difficile perché, come prima, posso far girare un segmento solo di un numero intero di gradi. E allora devo muovere ... necessariamente a sentimento gli estremi dei segmenti-lati [cercando di mantenerne la lunghezza dei segmenti ... ma è ben difficile riuscirci, cioè far girare in tal modo [= a sentimento ] i lati della stessa frazione di grado!

Ergo: mi pare di aver fatto un ottimo lavoro riuscendo a stare in un errore di circa 2%.

Cosa succede poi di preciso al disegno caricato in Internet come PNG ottenuta prelevando dallo schermo ... Dio solo lo sa.
Alla fine arrivi tu a dirmi che, misurando i segmenti con un righello sul tuo computer (magari ancora a tubo catodico, e allora con possibili aberrazioni ...), il segmento AB è già fuori di almeno un bel 4,5% ...

Ma per favore, Nino-aspesi: come faccio a finire con errore del 2% se già parto col triangolone sballato del 4.5%?
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Npn ho alcuna intenzione di fare i calcoli.
Sono tuttavia ... compiaciuto – e chi non è un tantino narcisista? – di quel che mi dici:

aspesi

... chi l'ha risolto dice laconicamente che la soluzione si ottiene applicando tre volte il teorema di Carnot, che sarebbe il procedimento che hai impostato tu

Ciao ciao.
Alla prossima

[aspesi]

Erasmus

Ergo: mi pare di aver fatto un ottimo lavoro riuscendo a stare in un errore di circa 2%.

Cosa succede poi di preciso al disegno caricato in Internet come PNG ottenuta prelevando dallo schermo ... Dio solo lo sa.

Ciao ciao.
Alla prossima

A questo infatti mi riferivo.
Prova a misurare sullo schermo ad es. il lato AB e confrontalo con DF: dovrebbe essere della stessa lunghezza e invece io lo vedo il 2% più corto...

Ho fatto anch'io la figura (*2) su un foglio di carta e mi vengono:
AD = 1,13
AE = 4,51
DC = 10,87
CF = 4,65
FB = 5,35
EB = 3,49

Da cui le aree:
S_ABC = 39,68627

S_DCF = 16,7274
S_DEF = 11,61895
S_EFB = 9,2582
S_AEB = 2,0817 dalla differenza
S_AEB = 2,1263

Altezza DH = 0,9232 .. - .. 0,9429 (tu hai 0,95)
AD (dalla differenza delle aree) = 1,11 (invece di 1,1244)

[aspesi]

Questo mi pare carino.

Quanti sono i solidi rettangolari con superficie e volume uguali?
Es.: in un cubo di spigolo 6, sia la superficie che il volume misurano 36*6 = 216

[Erasmus]

aspesi

Questo mi pare carino.

Quanti sono i solidi rettangolari con superficie e volume uguali?
Es.: in un cubo di spigolo 6, sia la superficie che il volume misurano 36*6 = 216

Un altro è la "mattonella" 12 x 12 x 3.
V = 12·12·3 = 432;
S = 2·(12·12) + 4·(12·3) = 288 + 144 = 432.

Un terzo il "mattone" 4 x 6 x 12.
V = 4·6·12 = 288;
S = 2(4·6) + 2(6·12) +2(12·4) = 48 + 144 + 96 = 288.
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Un prisma con le basi rettangolari è detto "parallelepipedo".
Un prisma con le facce perpendicolari alle basi è detto "prisma retto". Allora le facce sono rettangolari.
Tu, per "solidi rettangolari", intendi di sicuro "parallelepipedi retti".

Suppongo anche che tu sottintenda che le lunghezze degli spigoli debbano essere espresse da numeri interi.

Di questi parallelepipedi ce ne sono infiniti.
Tutti con tutti gli spigoli più lunghi di 2: ma se uno spigolo è minore di 6, almeno un altro è maggiore di 6 e comunque il prodotto di due spigoli è maggiore del doppio della loro somma.

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Dette a, b e c le misure degli spigoli occorre trovare le terne di interi a, b e c tali che risulti:

2ab + 2bc + 2ca = abc. (*)

Dividendo entrambi i membri dell'equazione (*) per abc si ha:
2/c + 2/a + 2/b = 1.

Ponendo infine

x = 2/a; y = 2/b; z = 2/c (**)

si ricava

x + y + z = 1 (***)

che è l'equazione cartesiana del piano ortogonale al vettore v = [1/3, 1/3, 1/3] e contenete la "punta" di tale vettore [distante 1/√(3) dall'origine].

Con la condizione che tutte le coordinate siano positive, occorre limitarsi al triangolo [equilatero] – perimetro escluso – del primo ottante di vertici:
A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1).

Nei punti interni del triangolo ABC abbiamo:
0 < x < 1 => a > 2;
0 < y < 1 => b > 2;
0 < z < 1 => c > 2.
Nel centro del triangolo è x = y = z = 1/3 => a = b = c = 6 [il tuo cubo].
Per x > 1/3, il lembo di piano su riduce al triangolo [equilatero] – perimetro escluso – di vertici A(1, 0, 0), H(1/3, 2/3, 0), K(1/3, 0, 2/3).
Il che significa che se uno spigolo è minore di 6 almeno un altro spigolo è maggiore di 6.

Se [in più] imponiamo che a, b e c debbano essere interi, allora x, y e z debbono essere frazioni del tipo 2/<numero intero>.
Faccio un esempio.
Assumo c = 5, ossia z = 2/5, e quindi x + y = 1 – 2/5 = 3/5.
3/5 lo posso pensare 12/20 = 2/20 + 2/4, ossia: a = 20 e b = 4.
Controlliamo.
V = 5·4·20 = 400
S = 2·(4·5) + 2·(4·20) + 2·(5·20) = 40 +160 + 200 = 400

Ciao ciao
--------

[aspesi]

Erasmus

Suppongo anche che tu sottintenda che le lunghezze degli spigoli debbano essere espresse da numeri interi.

Sì

Erasmus

Di questi parallelepipedi ce ne sono infiniti.

Ciao ciao
--------

Non mi pare...
Invece, ce ne sono pochi (lasciamo perdere i risultati simmetrici)


Ciao
Nino

[Erasmus]

aspesi

... ce ne sono pochi [di casi], (lasciamo perdere i risultati simmetrici).

Porco mondo ... hai ragione
Infatti:
a) Se due spigoli (diciamoli b e c) sono maggiori di 6, il reciproco di ciascuno è minore di un sesto e la somma dei reciproci è minore di 1/3, diciamola i/3 – epsilon.
Allora:
1/a = 1/2 – (1/b + 1/c) = 1/2 – 1/3 + erpsilon = 1/6 + epsilon > 1/6
Ossia: il terzo spigolo è minore di 6. Ed essendo anche maggiore di 2 potrebbe al massimo valere 3, 4 o 5.
Il numero di casi è finito perché uno spigolo non può essere troppo grande se anche un altro è maggiore di 6.
b) Se un solo spigolo è maggiore di 6, gli altri due sono maggiori di 2 e minori di 7 e potrebbero al massimo essere
3, 3
3, 4
3, 5
3, 6
4, 5
4, 6
5, 6
Al massimo 7 casi. Ma non è detto che siano tutti possibili.

c) Resta il caso a = b = c = 6.

Adesso, però, si possono esaminare uno alla volta
a)
1. c = 3?
1.1 1/a +1/b = 1/2 – 1/3 = 1/6 = 1/12 + 1/12; OK (a=b = 12)
1.2 1/a +1/b = 1/6 = 3/18 = 1/18 + 1/9. OK (a = 18; b = 9; c = 3)
...

Devo interrompere ...
Continuerò stasera.

Ciao ciao.

-------

[aspesi]

Erasmus

a) Se due spigoli (diciamoli b e c) sono maggiori di 6, il reciproco di ciascuno è minore di un sesto e la somma dei reciproci è minore di 1/3, diciamola i/3 – epsilon.
Allora:
1/a = 1/2 – (1/b + 1/c) = 1/2 – 1/3 + erpsilon = 1/6 + epsilon > 1/6
Ossia: il terzo spigolo è minore di 6. Ed essendo anche maggiore di 2 potrebbe al massimo valere 3, 4 o 5.
Il numero di casi è finito perché uno spigolo non può essere troppo grande se anche un altro è maggiore di 6.

Ma come sei complicato...

Non è difficile convincersi che il solido richiesto deve avere almeno una dimensione non superiore a 6 (il massimo cubo contenuto non può superare C6)
Infatti, partendo dal cubo C6 salta subito all'occhio che aumentando anche una sola delle dimensioni si sbilancia il rapporto a favore del volume.

Aspetto il risultato e la sua giustificazione algebrica

Ciao
Nino

[Erasmus]

Riprendo...
---------------------
a)
1. c = 3?
1/a +1/b = 1/2 – 1/3 = 1/6 = 1/12 + 1/12; OK (a=b = 12; c = 3) UNO
1/a +1/b = 1/6 = 3/18 = 1/18 + 1/9. OK (a = 18; b = 9; c = 3) DUE
1/a +1/b = 1/6 = 4/24 = 1/24 + 1/8. OK (a = 24; b = 8; c = 3) TRE
1/a +1/b = 1/6 = 5/30 =1/30 + 2/15 NO
Stop perché non ci sarebbero più due spigoli maggiori di 6

b)
3, 3 ––> 1/2 – (1/3 +1/3) = 1/2 – 2/3 = – 1/6 NO
3, 4 ––> 1/2 – (1/3 + 1/4) = (6–4–3)/12 = –1/12 NO
3, 5 ––> 1/2 –(1/3 +1/5) = (15–10–6)/30 = –1/30 NO
3, 6 ––> 1/2 – (1/3 + 1/6) = (3–2–1)/6 = 0 NO
4, 5 ––> 1/2 –(1/4 + 1/5) = (10 –5 – 4)/20 = 1/20 OK (a=20; b = 5; c = 4) QUATTRO
4, 6 ––> 1/2 –(1/4 + 1/6) = (6 –3 – 2)/12 = 1/12 OK (a=12; b = 6; c = 4) CINQUE
5, 6 ––> 1/2 –(1/5 + 1/6) = (15 –6 – 5)/30 = 2/15 NO
6, 6 ––> 1/2 –(1/6 + 1/6) = (3–1–1)/6 = 1/6 OK (a= b = c = 6) SEI

Allora: sono 6 in tutto.
12, 12, 3
18, 9, 3
24, 8, 3
20, 5, 4
12, 6, 4
6, 6, 6

------------
I fattori primi in gioco sono 2, 3 e 5.
Vedo anche che lo spigolo massimo è sempre il minimo comune multiplo.

-------------

aspesi

[...]
Aspetto il risultato e la sua giustificazione algebrica

Cosa intendi per "giustificazione algebrica"?

Ciao, ciao
--------

[aspesi]

Erasmus

Allora: sono 6 in tutto.
12, 12, 3
18, 9, 3
24, 8, 3
20, 5, 4
12, 6, 4
6, 6, 6

No
Ne hai dimenticati quattro.

Erasmus

Cosa intendi per "giustificazione algebrica"?

Ciao, ciao
--------

Supponiamo che a sia la dimensione più piccola (che abbiamo visto non può superare 6).

Esplicitiamo b e consideriamo a costante:

2ab + 2bc + 2ac = abc
b(ac-2a-2c) = 2ac
b = 2ac/[c(a-2)-2a]

Esaminiamo i 6 casi possibili:

a = 1
b = 2c/(-c-2) valori negativi

a = 2
b = 4c/(-4) valori negativi

a = 3
b = 6c/(c-6) = 6 + 36/(c-6)
* c-6 = 1 ------> a = 3 ; b = 42 ; c = 7
* c-6 = 2 ------> a = 3 ; b = 24 ; c = 8
* c-6 = 3 ------> a = 3 ; b = 18 ; c = 9
* c-6 = 4 ------> a = 3 ; b = 15 ; c = 10
* c-6 = 6 ------> a = 3 ; b = 12 ; c = 12
ci si può fermare, perché c ha raggiunto b e continuando si trovano risultati simmetrici

a = 4
b = 8c/(2c-8) = 4 + 16/(c-4)
* c-4 = 1 ------> a = 4 ; b = 20 ; c = 5
* c-4 = 2 ------> a = 4 ; b = 12 ; c = 6
* c-4 = 4 ------> a = 4 ; b = 8 ; c = 8

a = 5
b = 10c/(3c-10)
* 3c-10 = 2 ------> a = 5 ; b = 20 ; c = 4 già visto
* 3c-10 = 5 ------> a = 5 ; b = 10 ; c = 5
* 3c-10 = 10 ------> a = 5 ; b = 5 , c = 10 come il precedente

a = 6
b = 12c/(4c-12) = 3 + 9/(c-3)
* c-3 = 1 ------> a = 6 ; b = 12 ; c = 4 già visto
* c-3 = 3 ------> a = 6 ; b = 6 ; c = 6

In conclusione, ci sono 10 casi:
.. a .......... b .......... c ..............V=S
----- ..... ----- ...... ----- ......... -------
.. 3 ......... 7 ......... 42 ............. 882
.. 3 ......... 8.......... 24 ............. 576
.. 3 ......... 9 ......... 18 ............. 486
.. 3 ........ 10 .........15 ............. 450
.. 3 .........12......... 12 ............. 432
.. 4 ......... 5 ......... 20 ............. 400
.. 4 ......... 6 ......... 12 ............. 288
.. 4 ......... 8 .......... 8 .............. 256
.. 5 ......... 5 ......... 10 ............. 250
.. 6 ......... 6 .......... 6 .............. 216


Nino