Qualche quiz

[aspesi]

[nino280]

Ciao

[aspesi]

nino280

Ciao

Mi fido
(Non conosco la soluzione)

[Erasmus]

Si legge male, ma il quiz consiste nel calcolare l'area rossa [parte dell'area del quadrato grande di lato 10 cm^2].
Provvisoriamente faccio 1 il lato (e quindi anche l'area) del quadrato grande. Il quadrato piccilo è 1/4 e quindi il resto è pensabile come l'unione di 4 trapezi ciascuno di area
(1/4)·3/4 = 3/16 [dell'area del quadratone].
Un quarto di area rossa è complemento dell'area gialla in un trapezio di area 3/16.
Il raggio di un semicerchio giallo è
(1/2)·1/√(2) = 1/√(8),
quindi l'area di un semicerchio giallo è
(1/2)·π/8 = π/16.
La parte gialla che in ciascuno dei quattro trapezi è complemento della parte rossa è composta da un quarto di semicerchio e da mezzo quadrato di lato pari al raggio del semicerchio, ossia di area
(1/4)·π/16 + (1/2)·(1/8) = (π + 4)/64
Un quarto di area rossa è pertanto
3/16 – (π + 4)/64) = (8 – π)/64 [dell'area del quadratone]
Area Rossa è dunque (8 – π)/16 dell'area del quadratone; ossia in cm^2:
(100/16)·(8 – π) cm^2 = 50 – (100·π)/16 cm^2 =30,36504591506379 ... cm^2.
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[aspesi]

Erasmus

Si legge male, ma il quiz consiste nel calcolare l'area rossa [parte dell'area del quadrato gtande di lato 10 cm^2].
Provvisoriamente faccio 1 il lato (e quindi anche l'area) del quadrato grande. Il quadrato piccilo è 1/4 e quindi il rest0nè pensabile come l'unione di 4 trapezi ciascuno di area
(1/4)·3/4 = 3/16 [dell'area del quadratone].
Un quarto di area rossa è complemento dell'area gialla in un trapezio di area 3/16.
Il raggio di un semicerchio giallo è
(1/2)·1/√(2) = 1/√(8),
quindi l'area di un semicerchio giallo è
(1/2)·π/8 = π/16.
La parte gialla che in ciascuno dei quattro trapezi è complemento della parte rossa è composta da un quarto di semicerchio e da mezzo quadrato di lato pari al raggio del semicerchio, ossia di area
(1/4)·π/16 + (1/2)·(1/8) = (π + 4)/64
Un quarto di area rossa è pertanto
3/16 – (π + 4)/64) = (8 – π)/64 [dell'area del quadratone]
Area Rossa è dunque (8 – π)/16 dell'area del quadratone; ossia in cm^2:
(100/16)·(8 – π) cm^2 = 50 – (100·π)/16 cm^2 =30,36504591506379 ... cm^2.
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Ottimo ragionamento!
Non mi era venuto in mente...

[Erasmus]

Memento: Area Rossa = 50 – (100·π)/16 cm^2 =30,36504591506379 ... cm^2.
E quant'è invece l'area azzurra?

La calcolo in due modi
1) Direttamente.
Nei quadrato piccolo [di area 1/4 del'area del quadratoc grande], l'area azzurra è il complemento di quattro quarti di semicerchio giallo [che è di area π/16 dell'area del quadrtato grande]
Quindi, detta C l'area azzurra (= celeste), si trova:
C =(1/4 – π/16) dell'area del quadrato grande; ossia, in cm^2:
C = 100·(1/4 – π/16) cm^2 = [25 – (100·π)/16] cm^2 = 5,36504591506379 ... cm^2.

2) Sfruttando il precedente risultato
L'insieme di area rossa e di area azzurra è, nel quadratone, il complemento dell'area gialla che è pari a 4 quarti di cerchio giallo più qauattro mezzi quadrati di lato uguale al raggio del cerchio [cioè 1/√(8) del lato del quadrato grande].
Insomma: l'area gialla è [π/8 + 2/8] dell'area del quadrato grande e quindi (detta R l'area rossa):
R + C = {1 – [π/8 + 1/4]} = (6 – π)/8 dell'area del quadrato grande.
Ricordando che è R = (8 – π)/16 dell'area del quadrtato grande:
C = (6 – π)/8 – (8 – π)/16 = [(12 – 2π) – (8 – π)]/16 = (4 – π)/16 [di quadratoneˆ.
In cm^2:
AreaAzzurra = 100·[(4 – π)/16) cm^2 = [25 – (100·π)/16] cm^2 = R – 25 cm^2 =
= 5,36504591506379 ... cm^2.
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Di notevole c'è che la differenza tra Ara Rossa e Area Azzurra è un quarto esatto di quadrato grande, ossia pari all'area del quadrato piccolo.

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[Erasmus]

Replico!
Domanda: Quanto valgono l'area rossa e l'area azzurra?
Molto più facile di quanto si creda a prima vista!
Metodo somma e differenza
Detta Q l'area del quadratone, siano R l'area rossa e C l'area azzurra.
1) Dentro al quadratone, ogni quarto di area gialla può pensarsi composto da un quarto di cerchio e mezzo quadrato di lato pari al raggio del cerchio, cioè 1/4 di diagonale del quadratone, ossia 1/√(8) del lato del quadratone.
Quindi l'area gialla dentro al quadratone – diciamola G – è:
G = {π·[1/√(8)]^2+ 2·[1/√(8)]^2}·Q = [(π + 2)/8]·Q.
La somma dell'area rossa R e dell'area azzurra C é dunque Q – G, cioè:
R + C = {1 – [(π + 2)/8]}·Q = [(6 – π)/8]·Q. (*)
2) Immaginiamo di rovesciare le 4 striscvioline azzurre sull'area rossa.
Si nota allora che restano scoperti 4 mezzi quadrati rossi di lato pari ad un quarto di diagonale del quadratone. Abbiamo dunque
R – C = {2·[1/√(8)]^2}·Q = (1/4)·Q. (**)
Sommando (*) con (**) e dividendo per 2 si trova:
R = [(8 – π)/16]·Q = [50 – (100·π)/16] cm^2
Sottraendo (**) a (*) e dividendo per 2 si trova:
C = [(4 – π)/16]·Q = [25 – (100·π)/16] cm^2
to me!
–––––––

[aspesi]

Se consideriamo un semplice cubo 2x2x2, al suo interno possiamo contare:
8 cubetti 1x1x1
12 dicubi 1x1x2 (4 per ogni direzione ortogonale)
6 solidi 1x2x2 (2 per ogni direzione ortogonale)
1 cubo 2x2x2
In totale 27 subsolidi. Allora scrivo: Sub(2*2*2)=27
Risolvi Sub(3*3*3)
Trova una formula generale per Sub(x*y*z).

[Erasmus]

aspesi

[...]
Trova una formula generale per Sub(x*y*z).

Occhio! Credo che intendessi scrivere
Sub(n, n, n)
[con n intero positivo qualunque¡bSecosì ... va a correggere!
––––––––
:hello
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P.S. [Off–topic]]
Penso che il tuo Sub sia un insieme di insiemi ciascuno dei quali ha elementi uguali ... se no di insiemi disolidi e ne sonoanche altri(pureinteressanti). Per esempio, un cubo è componinile 5 tetraedri 4 dei quali. hanno tre faccie che sono mezze faccedelcuboe ilquintoè regolare con spigolouguale alladiagonale delle facce del cubo,
[Questo modo di pensare un tetredro regolare permette di avere il suo volume in funzione delsuo spigolomoltofacilmente!
Da un cubo di spigolo a/√2) – e quindi di diagonale della facce a e volume
√(2)(a^3)/4 detraiamo 4 tetraedri con tre dei sei spigoli che sono spigoli del cubo e quindi di volume complessivo
4·[√(2)(a^3)/4]/6 = √(2)(a^3)/6
ottenemdo
(1/4 – 1/6)·√(2)(a^3) = [√(2)·a^3]/12.

[aspesi]

Erasmus

Occhio! Credo che intendessi scrivere
Sub(n, n, n)

––––––––
:hello
–––––––––

Quindi? (Qual è il numero di possibili cuboidi (compresi i cubi) che rientrano in un cubo
3*3*3 (e n*n*n)?