Qualche quiz

[Erasmus]

aspesi

Non ho capito perché X non potrebbe essere 11 (Il numero dei divisori è 2 per tutti i numeri primi, e tutti i numeri primi maggiori di 10 sono dispari)

«Perché X non poteva essere 11?»
Ovvio: perché dimenticavo che anche la somma delle cifre di 20 è 2 come quella delle cifre di 11.
------------------
Insomma: ho indovinato SI' o NO il procedimento per risolvere il quiz !?!
Se è SI, (ma allora sono un genio!) ... dimmelo: sarebbe un piacere (per me) farmelo dire (da te)!

Ciao, ciao

[aspesi]

[quote=Erasmus;404652Insomma: ho indovinato SI' o NO il procedimento per risolvere il quiz !?!
Se è SI, (ma allora sono un genio!) ... dimmelo: sarebbe un piacere (per me) farmelo dire (da te)!

Ciao, ciao[/quote]

Il procedimento è quello che hai indicato (contento?)

Però, i problemi si risolvono solo se si dà il risultato

Allora, se chiamiamo D il numero dei divisori (compreso 1 e il numero stesso), abbiamo:
D= 2 -----> potrebbe essere (11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-97)
D=3 ------> potrebbe essere (25-49)
D=4 ------> non può essere
D=5 ------> non può essere (quarta potenza di un primo, ce n'è una pari 2^4 e una dispari 3^4)
D=6 ------> non può essere (ci sono numeri pari e numeri dispari, come 45 e 12)
D=7 ------> non può essere (c'è solo 2^6 e allora B saprebbe subito il numero X)
D=8 ------> potrebbe essere (p^3*q e p*q*r, 24-30-40-42-54-56-66-70-78-88)
D=10 -----> potrebbe essere (p^4*q, 48-80)
D=12 -----> potrebbe essere (p^2*q*r, p^3*q^2, p^5*q, 60-72-84-90-96)

Quindi D può essere 2,3,8,10 o 12 e occorre cercare fra i numeri possibili (che ho elencato sopra) quello che sia identificabile attraverso la somma.

L'aiutone te l'ho dato!

Ciao
Nino

[aspesi]

nino280

Potrebbe essere 64 se B dice che il numero dei divisori è dispari.
Infatti 64 è l'unico con numero di divisori dispari e con somma delle cifre uguale a 10
Ciao

Vero (che 64 è l'unico con numero di divisori dispari); ma in questo caso, la persona B avrebbe indovinato SUBITO il numero X.

nino280

Pardon, c'è anche il 49, ma non cambia nulla, perchè sapendo che è dispari e sapendo che la somma fa 13, ergo . . . . .

Con 3 divisori c'è il 49, ma anche il 25.

Ciao

[aspesi]

Domattina parto e sarò via per qualche giorno.

La soluzione, se nel frattempo nessuno l'avrà postata, al mio ritorno...


Nino

[Erasmus]

aspesi

L'aiutone te l'ho dato!

Mica tanto!
Occorre scartare i numeri con la somma delle due cifre non unica.
Per fare ciò "a mano" (senza poter programmare) occorre più pazienza che nel sistemare i numeri negli insiemi di tot divisori.
-----------------------

Erasmus

[...]
... un insieme di più numeri da due cifre tutti dispari oppure (= "exclusive OR") un insieme di più numeri da due cifre tutti pari ma con un solo elemento con somma delle due cifre diversa dalla somma delle cifre di ogni altro elemento.
[...]

L’esame del numero di divisori dei 90 naturali da due cifre (cioè da 10 a 99 inclusi) conduce a questa tabella:

 Nr. Div.     Insieme                                                                        Card. Tot.
 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
 2      {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}    21   21
 3      {25, 49}                                                                                 2   23
 4      {10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 74, 77,
           82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95}                                                      29   52
 5      {16, 81}                                                                                 2   54
 6      {12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 69, 75, 76, 92, 98, 99}                    17   71
 7      {64}                                                                                     1   72
 8      {24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88}                                                10   82
 9      {36}                                                                                     1   83
10      {48, 80}                                                                                 2   85
11      {}                                                                                       0   85
12      {60, 72, 84, 90, 96}                                                                     5   90

A, in base a quanto gli dice B, scarta gli insiemi di un solo elemento (se no B avrebbe indovinato) e quelli con elementi sia pari che dispari.
Gli restano questi cinque insiemi:

  Nr di Div.    Insieme                                                                       Cardinalità
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
a)   2     {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}    21
b)   3     {25, 49}                                                                                 2 
c)   8     {24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88}                                                10
d)  10     {48, 80}                                                                                 2
e)  12     {60, 72, 84, 90, 96}                                                                     5

A dice a B che ora sa chi è X.
Allora B deve cercare – tra i cinque insiemi qui sopra detti a), b), c), d) ed e) – l'insieme in cui un solo elemento abbia la somma delle sue cifre diversa dalla somma delle cifre di ogni altro elemento.
In altre parole, dopo che A dice di sapere chi è X:
i) Candidati ad essere X sono solo i numeri in corrispondenza biunivoca con la somma delle loro cifre.
Dopo che anche B dice di sapere chi è X:
ii) X non può stare in un insieme (dei cinque sopra elencati) se in esso tali candidati sono più di uno.
Non sappiamo ancora se il numero X che soddisfa i due requisiti i) e ii) esiste; e, se esiste, non sappiamo se è pari o dispari. Perciò:
iii) Teoricamente il quiz potrebbe avere due soluzioni (una pari e l’altra dispari), una sola soluzione (pari o dispari), nessuna soluzione.
Vediamo.
Soddisfano il punto i) solo questi quattro numeri
a) 11, 59, 89
c) 30
Di questi, solo X = 30 soddisfa il punto ii).

Ciao, ciao.

[nino280]

Erasmus

Di questi, solo X = 30 soddisfa il punto ii).

Ciao, ciao.

Non mi è molto chiaro il tuo ragionamento.
Dimmi perchè non può essere 12, forse perchè avendo Nino preso 12 come esempio non poteva essere proprio 12?
Ciao

[Erasmus]

nino280

Non mi è molto chiaro il tuo ragionamento.

Lo rifaccio.
a) A dice di non poter sapere chi è X
Lui sa la somma delle cifre. Se non può sapere che numero è X vuol dire che ci sono più numeri con la somma delle due cifre uguale a quella che lui sa.
Quando dirà di sapere chi è X vorrà dire i candidati ad essere X sono solo i numeri con somma delle cifre diversa dalla somma di qualsiasi altro numero.
b) B dice: «Neanche io so chi è X, ma so se è pari o dispari»
Lui sa il numero di divisori di X. Se non può sapere che numero è X vuol dire che i numeri con numero di divisori uguale a quello che lui sa sono più di uno.
Rivediamo la tabella degli insiemi di numeri da due cifre al variare dei numero di divisori.

 Nr. Div.     Insieme                                                                        Card. Tot.
 –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
 2      {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}    21   21
 3      {25, 49}                                                                                 2   23
 4      {10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 74, 77,
           82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95}                                                      29   52
 5      {16, 81}                                                                                 2   54
 6      {12, 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 69, 75, 76, 92, 98, 99}                    17   71
 7      {64}                                                                                     1   72
 8      {24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88}                                                10   82
 9      {36}                                                                                     1   83
10      {48, 80}                                                                                 2   85
11      {}                                                                                       0   85
12      {60, 72, 84, 90, 96}                                                                     5   90

Se, per esempio, B sapesse che il numero di divisori è 9, siccome c'è solo 36 che ha 9 divisori [che sono: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36], B saprebbe chi è X.
Lui sa, però, se X è pari o dispari e dà questa informazione ad A. Così A potrà scartare tutti gli insiemi con numeri non tutti pari o tutti dispari. Ii numero di divisori (che A non conosce) deve individuare un insieme di numeri tutti pari oppure tutti dispari.
c) A risponde a B: «Ah così? Allora ho capito chi è X!».
A, dopo aver scartato gli insiemi di un solo numero [se no B non avrebbe detto "Neanche io so chi è X" ] e quelli con numeri sia pari che dispari [se no B non poteva sapere se X è pari o dispari], può sapere chi è X solo se, tra i numeri rimasti, c'è un unico numero con la somma delle cifre che lui sa.
d) B si mette nei panni di A: e vede che tra i numeri rimasti (unione degli insiemi con numeri tutti pari o tutti dispari) ci sono solo 4 numeri identificabili dalla somma delle due cifre:
11, 59, 89 che stanno nell'insieme di 2 divisori (tutti numeri primi, tutti dispari);
30 che sta nell'insieme di 8 divisori (tutti pari).
Tra tutti gli altri numeri rimasti ci sono sempre almeno due numeri con la stessa somma delle due cifre.
Prova a controllare anche tu, ossia a scartare dalla tabella di quelli rimasti:

  Nr di Div.    Insieme                                                                       Cardinalità
 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
a)   2     {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}    21
b)   3     {25, 49}                                                                                 2 
c)   8     {24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88}                                                10
d)  10     {48, 80}                                                                                 2
e)  12     {60, 72, 84, 90, 96}                                                                     5

i numeri che hanno uguale somma delle due cifre.]
[Noi, che ragioniamo sui ragionamenti di A e di B, a questo punto sappiamo che X è uno di quei 4 numeri].
e) B dice ad A «Ah così? Hai capito chi è X? Allora anch'io, adesso che m'hai dato questa informazione, ho capito chi è X!»
B sa fin dall'inizio il numero di divisori di X. Se questo fosse 2, B non potrebbe decidere chi è X tra i tre numeri candidati (11, 59 e 89). Può deciderlo solo se, del gruppo dei numeri con numero di divisori che lui sa, è rimasto un unico candidato. Allora il numero di divisori non può essere che 8 e X non può essere che 30.

Spero di essere stato chiaro.
[E spero anche di non aver sbagliato il controllo dei divisori e di quali numeri hanno una somma di cifre unica, (cioè diversa da quella di ogni altro fra i numeri rimasti ... se no il ragionamento è giusto ma, magari, non è giusto qualcuno degli insiemi di numeri che ho detto].

Ciao, ciao

[nino280]

Si ok ora mi sembra più chiaro.
Grazie

[nino280]

Questo quiz mi ha fatto ricordare quello che si dice la "rotondità" di un numero.
Leggo e scrivo:
un modo per misurare la rotondità di un numero è quello di contare quante volte ogni divisore primo compare nella sua fattorizzazione in primi.
E' poi in realtà quello che abbiamo fatto noi per risolvere il quiz (direi + Erasmus che altri), solo che nella rotondità non si conta la divisione per se stesso.
Continuo a leggere:
1 milione, la cui fattorizzazione è 2^6 * 5^6 ha rotondità di 12 (la somma degli esponenti 6+6 ). I numeri compresi fra 991.991 e 1.000.010 hanno in media 4 divisori primi, quindi 1 milione , che ne ha tre volte tanti , è rotondissimo.
Ciao

[Erasmus]

aspesi

1) Si abbia un poligono regolare di 2002 lati.
Qual è la probabilità che, tirando a sorte 3 dei suoi vertici, si ottenga:
-un triangolo rettangolo
-un triangolo ottusangolo
-un triangolo acutangolo

Beh: queste probabilità le so non appena so quanti sono tutti i possibili triangoli e quanti di questi sono quelli rettangoli, quelli acutangoli e quelli ottusangoli.

O.K., il quiz è già stato discusso abbondantemente e risolto.

Ma adesso vorrei fare un approccio ... il meno "geometrico" possibile, cioè [quasi] tutto puramente algebrico.

Naturalmente, al posto di 2002, considererò numeri n qualsiasi, precisando eventualmente (ossia: se e quando sarà necessario) solamente se n è pari o dispari.

Ho detto: approccio il più possibile "algebrico".

Prima domanda: quante sono le terne distinte T(n) fattibili con n elementi?
Ipotizziamo che T(n) sia un polinomio in n.
Di che grado?
Boh!
Visto che parliamo di terne, proviamo con polinomi di 3° grado. Se non sarà sufficiente, proveremo con grado maggiore.
Posto allora T(n) = A*n^3 + B*n^2 + C*n + D, bisogna trovare quando valgono i coefficienti A, B, C e D.
Ragioniamo così:
Con meno di 3 elementi non si fanno terne; e con 3 elementi se ne fa una sola. In particolare, per n = 0 abbiamo:
A*0^3 + B*0^2 + C*0 + D = 0 => D = 0.
Quindi, per n= 1, n= 2 ed n = 3 abbiamo (rispettivamente):

    A +   B +  C = 0        (a)  A +  B + C = 0      [(b) meno (a)]  3A + B = 0   (1)  [(2) meno(1)] A= 1/6
  8A + 4B + 2C = 0  => (b) 4A + 2B + C = 0     [(c) meno (b)]  5A + B =1/3 (2)                      B=– 1/2 
27A +  9B + 3C = 1       (c) 9A + 3B + C =1/3           (a)          C = – (A+B)  (3)                      C=  1/3

T(n) = (n^3)/6 – (n^2)/2  + n/3 = [n^3  – 3*n^2 +2n]/6  = [n(n–1)(n–2)]/6.

Per n=4, scartando un elemento alla volta si hanno 4 terne; e per n = 5, scartando 2 elementi in tutti i modi possibili, le terne risultano quante le coppie, cioè 4 + 3 + 2 +1 = 10.
Vediamo se il grado 3 bastava:
T(4) = (4*3*2)/6 = 4; T(5) = (5*4*3)/6 = 10. O.K.: va bene il 3° grado.
[Cioè: se penso T(n) =An^3 + Bn^2+Cn +D + En^4 + Fn^5 + ... trovo D = 0; E = 0; F = 0; ...]

Minimizzando il "fare geometria", se n è pari, il numero di Triangoli rettangoli – diciamolo R(n) – viene:
R(0) = 0;
R(2) = 0;
R(4) = 4;
R(6) = 12.
Ipotizzando che R(n) sia ancora un polinomio di grado al massimo 3 e ragionando come prima, ponendo cioè:
R(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D
troviamo adesso:
A*0^3 + B*0^2 + c*0 + D = 0 => D = 0;
e quindi:

   8A +   4B + 2C =0      (a)   4A + 2B + C=0   [(b) meno (a)] 12A + 2B =1   (1)  [(2) meno(1)] A=0
 64A +  16B + 4C=4 => (b) 16A + 4B + C=1   [(c) meno (b)] 20A + 2B =1   (2)                      B =1/2 
216A + 36B + 6C=12     (c)  36A + 6B + C=2               (a)      C=– (4A+2B)  (3)                      C=–1

R(n) = 0*n^3 + (n^2)/2  – n = [n^2  – 2n]/2  = [n(n–2)]/2

Cerchiamo ora il numero A(n) di triangoli acutangoli per n pari, ancora ipotizzando A(n) polinomio di 3° grado.
A(0) = 0
A(2) = 0
A(4) = 0
A(6) = 2, (equiangoli, quelli ... della "stella di David").
Ponendo adesso A(n) = An^3 + Bn^2 + Cn + D, abbiamo ancora
A*0^3 + B*0^2 + c*0 + D = 0 => D = 0;
e quindi:

   8A + 4B + 2C=0      (a)   4A +  2B + C =0    [(b) meno (a)] 12A+2B = 0    (1)  [(2) meno(1)] A =1/24
 64A +16B + 4C=0 =>(b) 16A + 4B + C =0     [(c) meno (b)] 20A+2B = 1/3 (2)                      B = –1/4 
216A+36B + 6C=2      (c)  36A + 6B + C=1/3               (a)     C =–(4A+2B)  (3)                       C = 1/3

A(n) = (n^3)/24 – (n^2)/4  + n/3 = [n^3  – 6n^2 +8n]/2  = [n(n–2)(n–4)]/24.

Si può procedere allo stesso modo per il numero O(n) di triangoli ottusangoli, anche se ora conviene fare:

                                         n(n–2)                                         n(n–2)      n–4       n(n–2)(n–4)
O(n) = T(n) – A(n) – R(n) = ––––– *[(n–1)/3 – (n–4)/12 – 1] = ––––– * ––––– = –––––––––– = 3A(n)
                                            2                                                  2           4                 8

Per n dispari qualsiasi è sempre R(n) = 0. Ancora T(n) = n(n–1)(n–2)/6; e per il numero A(n) di triangoli acutangoli si ha:
A(1) = 0; A(3) = 1; A(5) = 5
e quindi

     A +    B +   C = 0      (a)   3A + 3B + 3C =0   [(b) meno (a)] 24A +6B = 1      (1)                        A =1/24
  27A + 9B + 3C = 1 => (b) 27A + 9B + 3C =1   [(b) meno (c)]   2A +4B +2C=0 (2)   [(2) meno(3)] B =0 
125A + 25B+ 5C= 5       (c)  25A + 5B +  C =1               (a)       2A+ 2B +2C=0  (3)                       C =–1/24

A(n) = (n^3)/24 – n/24 = [n(n^2 – 1)] /24 =   [n(n – 1)(n + 1)]/24.

Con ciò, per n dispari si ha:

                                n(n – 1)                                     n(n–1)    3n–9       n(n–1)(n–3)
O(n) = T(n) – A(n)  = –––––– *[(n – 2) – (n + 1)/4 ] = ––––– * ––––– = ––––––––––– 
                                    6                                               6           4                 8

Bye, bye