Qualche quiz

[Erasmus]

aspesi

[...]
4) Una cellula, in ogni istante, ha quattro possibilità ugualmente probabili:
a) morire
b) non fare nulla
c) dividersi in due cellule
d) dividersi in tre cellule
Qual è la probabilità totale che la sua stirpe si estingua?

Questo ce lo dice Mizarino
O magari Astromauh ... se le stelle gli sono [in ciò] propizie.
Io proprio ... non saprei come procedere.

aspesi

5) Il (solito) capotribù sfida 6 prigionieri ad indovinare il colore del cappello che pone loro in testa. I prigionieri sono disposti in cerchio, in modo che possano vedere solamente i 4 cappelli alla propria destra, ma non il proprio e neanche quello del prigioniero a sinistra.
"I vostri cappelli sono di 3 colori diversi -tuonò il capotribù- due rossi, due verdi e due bianchi. Avrà salva la vita chi riuscirà a dirmi il colore del proprio."
E, non appena i prigionieri furono pronti nella posizione prestabilita, continuò: "Allora, chi mi sa dire il colore del suo cappello?"
Nessuno era in grado di rispondere e allora, dopo qualche minuto, ripetè la domanda: "Chi sa il colore del proprio cappello?"
Ma anche questa volta tutti tacquero.
Allora, il capotribù sbraitò inferocito: "Per l'ultima volta, qualcuno ha capito il colore del suo cappello?"
A questo punto .... indovinarono istantaneamente tutti e sei.
Come erano disposti i 6 cappelli?

Tiro ad indovinare ... ma con grande probabilità di successo.
«Sono uguali i colori dei due prigionieri che si vedono uno di fronte all'altro (diametralmente opposti nel cerchio in cui sono stati disposti).»
Lasciami però sostituire "Bianco" con Nero (per il motivo intuibile qui sotto).
In senso orario, visti dall'alto, i cappelli sono disposti in uno dei due seguenti ordinamenti ciclici:

    V    N                          V   R
 R           R                    N           N
     N   V                           R   V 

[aspesi]

Erasmus

4) Una cellula, in ogni istante, ha quattro possibilità ugualmente probabili:

Questo ce lo dice Mizarino
O magari Astromauh ... se le stelle gli sono [in ciò] propizie.
Io proprio ... non saprei come procedere.

Mizarino mi pare "troppo pigro", spesso interviene fugacemente e poi si eclissa...
Astromauh non si sente più da tempo, starà preparando l'oroscopo per il prossimo anno.

Dico la mia (ma non sono sicuro che sia corretto):
Se consideriamo la capostipite, la probabilità della sua stirpe di estinguersi è
X = 1/4(1 + prob. della stirpe che non fa nulla + prob. che si estinguano entrambe le stirpi generate dalle due cellule duplicate + prob. stirpe tre cellule triplicate).
Per ciascuna cellula figlia la prob. che la sua stirpe si estingua è la stessa della capostipite ed è esattamente il valore che si cerca X.
X = 1/4(1 + X + X^2 + X^3)
che diventa:
X^3 + X^2 - 3X + 1 = 0
questa ha 3 soluzioni fra 0 e 1
(X - 1 ) ( X^2 + 2X - 1) = 0
X1 = 1
X2 = RADQ(2) - 1 = circa 0,414
X3 = -RADQ(2) - 1 (da scartare, perché negativa)

Erasmus

Tiro ad indovinare ... ma con grande probabilità di successo.
«Sono uguali i colori dei due prigionieri che si vedono uno di fronte all'altro (diametralmente opposti nel cerchio in cui sono stati disposti).»
Lasciami però sostituire "Bianco" con Nero (per il motivo intuibile qui sotto).
In senso orario, visti dall'alto, i cappelli sono disposti in uno dei due seguenti ordinamenti ciclici:

   V    N                          V   R
R           R                    N           N
    N   V                           R   V 

Ci sono 6!/(2!*2!*2!) = 90 disposizioni dei cappelli
Per indovinare subito, è necessario che un prigioniero veda alla propria destra una "doppia coppia" di colori: ad esempio, se vede VRVR oppure VVRR, allora il suo è bianco.
Poiché nessuno indovina, vuol dire che non ci sono quattro prigionieri consecutivi con due soli colori.
La seconda volta, per indovinare è necessario che un prigioniero veda, sulla testa di due dei tre compagni alla sua destra, due cappelli dello stesso colore. Lui non può avere quel colore, ma nemmeno il colore del terzo che vede (altrimenti il prigioniero alla sua sinistra avrebbe indovinato la volta precedente). Ad esempio, se i tre alla sua destra sono RBR oppure RRB oppure BRR, allora lui è verde.
Ma anche qui nessuno indovina.
quindi, presi tre prigionieri consecutivi, essi hanno tre colori diversi in qualsiasi ordine.
La terza volta indovinano tutti. Infatti, basta guardare i due prigionieri alla propria destra e poi dire il colore che manca.

Ciao
Nino

[Luciano Monti]

Non ho tempo di seguire attentamente tutta la discussione, ma voglio farvi i complimenti: vedervi "duellare" e' davvero bello. Continuate cosi'!

Ciao,
Luciano

[aspesi]

Luciano Monti

Non ho tempo di seguire attentamente tutta la discussione, ma voglio farvi i complimenti: vedervi "duellare" e' davvero bello. Continuate cosi'!

Ciao,
Luciano

Ciao Luciano,
ti ringrazio, ma il matematico è Erasmus.
Io sono solo un appassionato di enigmi

[aspesi]

Questo, per me, è complicato
(io non ci sono arrivato, me l'hanno dovuto spiegare)

E' stato scelto un numero intero di due cifre X.
Alla persona A viene comunicata la somma delle due cifre (ad es., se il numero è 12, viene detto 1+2=3)
Alla persona B viene comunicato il numero dei divisori positivi di X (nell'esempio 1,2,3,4,6 = 6)
A e B sono perfettamente informati di quanto detto fin qui. Ecco il dialogo che intercorre fra i due:
A "Non posso conoscere X"
B "Nemmeno io, ma so se è pari o dispari"
A "Davvero! In questo caso, so quanto vale X"
B "Allora lo so anch'io"

Qual è il numero X?

[Erasmus]

aspesi

numero dei divisori positivi di X (nell'esempio 1,2,3,4,6 = 6)

Fammi capire:
Hai dimenticato di scrivere un divisore, (il 12), ho hai sbagliato il numero di divisori scrivendo "= 6" invece di "= 5"?

Per me ... 1 è un divisore fasullo, ("trivial", direbbero gli inglesi).
[Per me ... 12=2*2*3. (Punto e basta!) Nel senso che mi pare interessante solo l'insieme dei numeri primi di cui è prodotto].
Ma ... accetto (nel quiz) che 1 sia pure computato tra i divisori di qualsiasi intero N.
Ma allora, anche N stesso.
----------
Mi risolverai tutti i dubbi di interpretazione se mi scriverai l'elenco dei divisori di questi due numeri:
{divisori di 27} = { ???}
{divisori di 30} = { ???}

Ciao

[aspesi]

Erasmus

Fammi capire:
Hai dimenticato di scrivere un divisore, (il 12), o hai sbagliato il numero di divisori scrivendo "= 6" invece di "= 5"?

Ho dimenticato il 12...
Il numero di divisori è corretto (6)

Erasmus

Ma ... accetto (nel quiz) che 1 sia pure computato tra i divisori di qualsiasi intero N.
Ma allora, anche N stesso.
----------
Mi risolverai tutti i dubbi di interpretazione se mi scriverai l'elenco dei divisori di questi due numeri:
27 = ???
30 = ???

Ciao

D(27) = 4 (1-3-9-27)
D(30) = 8 (1-2-3-5-6-10-15-30)

[Erasmus]

Erasmus

{divisori di 27} = { ???}
{divisori di 30} = { ???}

Suppongo che sia:
{divisori di 27} = {1, 3, 9, 27} ––> quattro divisori.
{divisori di 30} = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} ––> otto divisori.

Suppongo che il quiz si risolva col computer elencando, accanto a ciascuno dei numeri da 10 a 99 inclusi, la somma delle cifre ed il numero di divisori ... e poi rifacendo l'elenco in ordine di numero crescente di divisori.
Per esempio:

|  Numero  |          | Insieme di numeri da 2 cifre |
| di divisori |          |            associato                 |
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
       2           { 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 97} (solo primi)
       3           {25, 49}     (solo quadrati di primi)
       4            {10, 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33 , 35, 38, 39, 46, ..., 77}  (prodotto di primi diversi o cubi)
      ...

Il primo a dire di sapere qualcosa è B: dice di sapere se il numero X è pari o dispari.
Suppongo allora che ci sia un "numero di divisori" – diciamolo N – al quale corrisponde – ma occorrerebbe controllare! – un insieme di più numeri da due cifre tutti dispari oppure (= "exclusive OR") un insieme di più numeri da due cifre tutti pari ma con un solo elemento con somma delle due cifre diversa dalla somma delle cifre di ogni altro elemento. Se così è – ma bisognerebbe controllare! – chiamiamo SET questo speciale insieme di numeri di 2 cifre.

Se così fosse – ma io non lo so – A viene a sapere il numero X dall'informazione datagli da B se e solo se gli è stata data una somma (delle due cifre – diciamola S –) coincidente con la somma che unica individua un solo elemento di SET.
Allora B capisce che A può venir a sapere X solo nel modo detto, e quindi è anche lui in grado di conoscere X.

Successione logica.
• X non è 10 né 11, perché A non sa chi è X. [S non è 1 e nemmeno 2]
• B individua il SET (di numeri candidati a essere X) dal numero N di divisori. Si accorge che sono tutti dispari (o tutti pari ... ma io non lo so ... ce lo dirà Miza ); e anche che solo con quel numero di divisori succede ciò. Dice ad A di sapere se X è pari o dispari.
• A individua SET da questa informazione. Vede che c'è un numero solo con somma S delle due cifre ... e allora X è quello lì!. Dice a B di sapere chi è X
• B riesamina gli elementi di SET e scopre che in SET solo un numero è biunivocamente associato alla somma delle due sue cifre. Questa deve esere S (perché A ha capito). Allora X è quello lì! Solo così può dire ad A di sapere pure lui chi è X.

Adesso Miza ti sa dire chi è X. Io no ... (Non posso programmare).

Ciao, ciao.

[Erasmus]

aspesi

D(27) = 4 (1-3-9-27)
D(30) = 8 (1-2-3-5-6-10-15-30)

Pardon, Nino II: ho iniziato il messaggio di sopra prima che tu rispondessi. Ma poi ho sospeso ... e solo poco fa ho concluso ed inviato.
--------------

[aspesi]

Erasmus

Suppongo che il quiz si risolva col computer elencando, accanto a ciascuno dei numeri da 10 a 99 inclusi, la somma delle cifre ed il numero di divisori ... e poi rifacendo l'elenco in ordine di numero crescente di divisori.

Con un po' di pazienza si può risolvere anche a mano...

Erasmus

Successione logica.
• X non è 10 né 11, perché A non sa chi è X. [S non è 1 e nemmeno 2]

Non ho capito perché X non potrebbe essere 11 (Il numero dei divisori è 2 per tutti i numeri primi, e tutti i numeri primi maggiori di 10 sono dispari)

Piuttosto, X non è certamente uno dei due numeri estremi, cioè 10, perché come hai detto, è l'unico numero in cui la somma delle sue cifre è 1 e 99, perché è l'unico con somma delle cifre 18.

Erasmus

• B individua il SET (di numeri candidati a essere X) dal numero N di divisori. Si accorge che sono tutti dispari (o tutti pari ... ma io non lo so ... ce lo dirà Miza ); e anche che solo con quel numero di divisori succede ciò. Dice ad A di sapere se X è pari o dispari.
• A individua SET da questa informazione. Vede che c'è un numero solo con somma S delle due cifre ... e allora X è quello lì!. Dice a B di sapere chi è X
• B riesamina gli elementi di SET e scopre che in SET solo un numero è biunivocamente associato alla somma delle due sue cifre. Questa deve esere S (perché A ha capito). Allora X è quello lì! Solo così può dire ad A di sapere pure lui chi è X.

Adesso Miza ti sa dire chi è X. Io no ... (Non posso programmare).

Ciao, ciao.

Allora, aspettiamo Miza.... (ma arriverà?)

Nel frattempo, forse, potresti fare una tabellina con i numeri dei divisori che sono accettabili.
Ad esempio, abbiamo visto che il numero dei divisori potrebbe valere 2 (numeri primi); e potrebbe valere anche 3 (p^2 con p primo e divisori 1,p,p^2); ma certamente non può essere 4, perché sia 21 che 22 (cioè i numeri della forma p*q, con p e q primi) hanno 4 divisori: 1, p, q, p*q e possono essere sia pari che dispari.
Ecc...

Ciao
Nino