Qualche quiz

[aspesi]

Erasmus

[NB: Solo con n pari ci sono vertici diametralmente opposti, ossia è maggiore di 0 la probabilità di avere triangoli rettangoli.]

Chiamo Nr, Na, No il numero di triangoli rispettivamente rettangoli, acutangoli, ottusangoli.
Ho già trovato:
Nr = n(n-2)/2;
N = Nr + Na + No = n(n-1)(n-2)/6.
Allora:
Na+No = n(n-1)(n-2)/6 -n(n-2)/2 =n(n-2)/2][(n-1)/3 -1] = n(n-2)(n-4)/6. (*)

Prendo un vertice fisso, considero ma non prenderò mai il diametrale.
Parto dal vertice preso e procedo a sinistra prendendo uno degli (n-2)/2 vertici disponibili da questa parte.
Ad ogni scelta cerco i triangoli acutangoli.
Devo prendere il terzo vertice dall'altra parte (a destra), ma devo evitare che diventi ottuso l'angolo nel primo vertice.
Procedendo a sinistra, se prendo il 1° che incontro, a destra non ho alcun vertice utile da prendere per terzo; se prendo il 2°, a destra di utili ne ho 1, se prendo il 3° di utili ne ho 2 ... se prendo l'[(n-2)/2]-esimo ce n'ho [(n-2)/2]-1 = (n-4)/2.
Trovo così
0 + 1 + 2 + ... +(n-4)/2 =[(n-2)/2]·[(n-4)/2] = (n–2)(n–4)/4
triangoli acutangoli con un vertice fisso.
Posso cambiare il primo vertice in n modi: ma ogni triangolo viene ripetuto 3! = 6 volte.
Devo perciò moltiplicare quelli trovati con un vertice fisso per n/6.
I triangoli acutangoli sono dunque:
Na = n(n–2)(n–4)/24 (**)

Quanti sono gli ottusangoli lo trovo per differenza dalla (*).
No = n(n–2)(n–4)/6 – n(n–2)(n–4)/24 = n(n–2)(n–4)/8. (***)

NB: i triangoli ottusangoli mi vengono sempre il triplo di quelli acutangoli.

Le rispettive probabilità sono Nr/N, Na/N, No/N, cioè::
Pr = 3/(n–1); (tr. rettangoli)
Pa = (1/4)·[(n–4)/(n–1)]; (tr. acutangoli)
Po = (3/4)·[(n–4)/(n–1)]. (tr. ottusangoli)

Please: Qualcun altro sostituisca n con 2002 e faccia il calcolo numerico!
Thanks for your attention.

Ciao, ciao.

Grazie a te!!!!
(Pa = 0,249625 triangoli acutangoli
cioè (667-1)/(667*4) = 1665/6670 utilizzando i tuoi calcoli del messaggio precedente

Po = 0,748875 triangoli ottusangoli = (667-1)*3/(667*4) = 1998/2668)

Il numero dei triangoli acutangoli (in funzione dei lati dei poligoni regolari con un numero pari di lati, iniziando dal quadrato) è indicato dalla seguente sequenza:
http://www.research.att.com/~njas/se...ian& go=cerca

quello dei triangoli ottusangoli da:
http://www.research.att.com/~njas/se... lian&go=cerca

Per finire:
Per i poligoni con un numero dispari di lati, si ha:
numero_triangoli_acuti = n*(n-1)*(n+1)/24
numero_triangoli_ottusi = n*(n-1)*(n-3)/8



(Se hai tempo e voglia, ci sono anche gli altri quiz...)
Nino

[aspesi]

Erasmus

Prima osservazione: tirchio 'sto miliardario. eh? Oppure ... potrebbe disporre non di miliardi di $ ma solo di centinaia. Vuoi vedere che è un centenario?
Seconda osservazione. Se il numero di anni è intero, occorre che il numero di cents scontati dalla mancia sia divisibile per 100 (per fare dollari interi).

Domanda: è intero il numero di anni del miliardario?

Ciao

Cosa ti saresti aspettato da un miliardario?

Sì, il numero degli anni è intero.
Ciao

Nino

[Erasmus]

Erasmus

[...]
5X – N(N+1)/200 = 23
[...]
N ed X interi
[...]
deve essere intero N(N+1)/200; [...]
N o N+1 deve essere divisibile per 100.

N= k·100 oppure N =100·k – 1

uno dei due numeri interi
k(100·k + 1) + 46 oppure k(100·k–1) + 46
multiplo di 10.

Ci sono infinite soluzioni aritmetiche.
Nessuna ... ragionevole nel contesto.

La più piccola è:
X = 165 anni; N = 400 minuti.
Allora 5X – N(N+1)/200 = 825 – 2·401 = 825 –802 = 23.
---------------
Se invece si accetta che sia intera non l'età ma soltanto ogni possibile mancia, compresa quella a tempo zero (5X dollari), allora la più ragionevole nel contesto risulta:
X = 44,8 anni; N = 200 minuti.
Con questa abbiamo:
5X – N(N+1)/200 = 5·44,8 – 200·201/200 = 224 – 201 = 23.
–––––––––––

[Erasmus]

aspesi

Per i poligoni con un numero dispari di lati, si ha:
numero_tringoli_acutngoli = n*(n-1)*(n+1)/24
numero_triangoli_ottusngoli = n*(n-1)*(n-3)/8

Ci si arriva con lo stesso ragionamento di prima.
Ora il diametrale non esiste. Ma traccio lo stesso un diametro per un vetice fisso e parto da questo andando a sinistra a prendere il 2° vertice e a destra a prendere il 3° per trovare tutti i triangoli acutangoli.
A sinistra mi trovo (n–1)/2 possibilità per il 2° vertice e questa volta a destra mi trovo:
1 punto utile come 3° vertice se scelgo come 2° il 1° che incontro a sinistra dopo quello fisso;
2 se per secondo prendo il 2° a sinistra dopo quello fisso;
3 se prendo il 3°;
...
Quindi trovo [(n–1)/2]*[(n-1)/2 +1]/2 = (n–1*(n+1)/4 tr. acutagoli con quel primo vertice fisso.
Moltiplico come prima per n/6 (n vertici di partenza ma 3! ripetizioni per ogni triangolo) e ho:
Na = n*(n–1)*(n+1)24.

Trovo No per differenza:
No = n(n-1)(n-2)/6 – n(n–1)(n+1)/24 = [n*(n–1)/24]*[4(n–2) – (n+1)] =
= n(n–1)(3n–9)/24 = n(n–1)(n–3)/8
--------------


P.S.
Dimenticavo:
Ancora il numero di tr. ottusangoli è triplo del numero di tr. acutangoli.

[aspesi]

Erasmus

Ci sono infinite soluzioni aritmetiche.
Nessuna ... ragionevole nel contesto.

La più piccola è:
X = 165 anni; N = 400 minuti.
Allora 5X – N(N+1)/200 = 825 – 2·401 = 825 –802 = 23.

L'equazione di secondo grado mi pare perfetta.
N^2 + N - 1000X + 4600 = 0

Se non ho sbagliato, c'è una soluzione intera con un'età X<100....
(adesso vado ad innaffiare l'orto, poi ricontrollo)

[aspesi]

Erasmus

Ci si arriva con lo stesso ragionamento di prima.

P.S.
Dimenticavo:
Ancora il numero di tr. ottusangoli è triplo del numero di tr. acutangoli.

???????????

Le serie (da 3 lati in su) sono:
-triangoli acuti: 1-0-5-2-14-8-30-20-55-40 ...
--triangoli ottusi: 0-0-5-6-21-24-54-60-110 ...

[aspesi]

Erasmus

Imponendo N ed X interi,

[cut]

Bye, bye

Ecco l'errore....
Interi sono X e 100N....

[Erasmus]

aspesi

???????????

Hai ragione!
Ho visto di nuovo il denominatore 24 di Na e il denominatore 8 di No.
Ma ho trascurato che, stavolta, i numeratori non sono uguali.
In Na ci sta un (n+1) dove in No ci sta (n–3).

OK: il rapporto No/Na dipende da n.
No/Na = Po/Pa = 3·(n–3)/(n+1).
[E per n = 2k+1 viene No/Na = 3·(k–1)/(k+1) ].
Però ... tende a 3 al crescere indefinitamente di k, ossia di n dispari.

Per n= 5 viene No/Na =1, (Na= No = 5 = n).
Per n = 7 viene No/Na =3/2, (Na=14 =2n; No = 21 = 3n).
Per n = 11 viene No/Na =3·(2/3) = 2.
Per n =31 viene No/Na = 3·(7/8);
Per n =2001 viene No/Na = 3·(999/1001) ≈ 2,994.

[aspesi]

Erasmus

Hai ragione!
OK: il rapporto No/Na dipende da n.
No/Na = Po/Pa = 3·(n–3)/(n+1).
[E per n = 2k+1 viene No/Na = 3·(k–1)/(k+1) ].
Però ... tende a 3 al crescere indefinitamente di k, ossia di n dispari.

Per n= 5 viene No/Na =1, (Na= No = 5 = n).
Per n = 7 viene No/Na =3/2, (Na=14 =2n; No = 21 = 3n).
Per n = 11 viene No/Na =3·(2/3) = 2.
Per n =31 viene No/Na = 3·(7/8);
Per n =2001 viene No/Na = 3·(999/1001) ≈ 2,994.

Per forza.... (che al crescere di n dispari, il rapporto Po/Pa tende a 3)
Infatti, un numero dispari, mano a mano che cresce, diventa sempre più prossimo (relativamente) ad un numero pari... per i quali abbiamo visto che il rapporto è 3.


Ciao

[Erasmus]

aspesi

Ecco l'errore....
Interi sono X e 100N....

Errore tuo, questa volta!
Ricambio la cortesia: Che piacere potertelo dire!

N è intero ... se no, che significherebbe un N che fosse con due cifre decimali diverse da zero?
Per esempio, N = 3,48 minuti, 3 minuti e 48 centesimi di minuto.
Nessun taxista e nessun miliardario parlerebbe così!
Dai: dopo minuti o non viene niente o vengono i "secondi", cioè i sessantesimi di minuto.
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