Qualche quiz

[Erasmus]

aspesi

a)Trovare un numero di due cifre che moltiplicato per la somma delle sue cifre dà un prodotto uguale alla somma dei cubi di tali cifre.

b)Scomporre il numero 100 in quattro numeri
A + B + C + D = 100
tali che:
A + X = K
B - X = K
C * X = K
D : X = K

c)Ottenere 100 usando cinque volte la stessa cifra (per tutte le cifre significativa da 1 a 9). Sono ammesse operazioni, potenze, radici quadrate, fattoriali, ecc...

a)
Prima cifra x, seconda cifra n.
x^2 – x·n +n^2 =10x + n ––> x = f(n) = {(n+10) ±√[(n+10)^2 + 4(n–n^2)]}/2.
Oppure: prima cifra n, seconda cifra x
x^2 – x·n +n^2 =10n + x ––> x = g(n) = {(n+1) ±√[(n+1)^2 + 4(10n–n^2)]}/2.
Perché n invece di y come incognita?
Perché la mia calcolatrice grafica mi calcola una espressione con n come se n fosse un numero costante che si può impostare spostando col mouse una specie di cursore di una specie di player.
Allora ... vedo di colpo per quali (eventuali) n interi anche l'espressione in n è intera.
Trovo 2 soluzioni ... ma non le dico (per ora).

b)
(K/X)· (X+1)^2 = ...
Due soluzioni.
(In una C = D; nell'altra A/C =0,6

c) Questo ... non mi piace, non è il mio tipo ...
-----------------

[aspesi]

Erasmus

a)
Prima cifra x, seconda cifra n.
x^2 – x·n +n^2 =10x + n ––> x = f(n) = {(n+10) ±√[(n+10)^2 + 4(n–n^2)]}/2.
Oppure: prima cifra n, seconda cifra x
x^2 – x·n +n^2 =10n + x ––> x = g(n) = {(n+1) ±√[(n+1)^2 + 4(10n–n^2)]}/2.
Perché n invece di y come incognita?
Perché la mia calcolatrice grafica mi calcola una espressione con n come se n fosse un numero costante che si può impostare spostando col mouse una specie di cursore di una specie di player.
Allora ... vedo di colpo per quali (eventuali) n interi anche l'espressione in n è intera.
Trovo 2 soluzioni ... ma non le dico (per ora).

Io ho una sola soluzione...e pensavo che di 2 cifre ci fosse solo un numero con queste caratteristiche...

Erasmus

b)
(K/X)· (X+1)^2 = ...
Due soluzioni.
(In una C = D; nell'altra A/C =0,6

La prima soluzione è banale (X=1)
La seconda non torna con la mia...(A/C=3)

Erasmus

c) Questo ... non mi piace, non è il mio tipo ...
-----------------

Metto io i più semplici:
111 - 11
3*33 + 3/3
5*5*5 - 5*5
o anche:
(5+5+5+5)*5

Per le altre cifre, possibile che non ci prova nessun altro?

Ciao

[Erasmus]

aspesi

Io ho una sola soluzione...e pensavo che di 2 cifre ci fosse solo un numero con queste caratteristiche...

Stiamo parlando di a).
1)
37*(3+7) = 370;
3^3 + 7^3 = 27 + 343 = 370
2)
48*(4+8) = 48*12 = (12^2)*4 = 144*4 = 576
4^3 + 8^3 = 4^3 + (2·4)^3 = 4^3(1 + 2^3) = 64*9 = 576

Si arriva ... all'equazione di una bella ellisse perché x^3 + y^3 è divisibile per x+y (e il quoziente è x^2 – xy + y^2).
x^2 + y^2 – xy – 10 x – y = 0;
Esplicito rispetto ad x o y. Ottengo (con la solita formula dell'equzione di 2° grado) un radicale che deve essere un numero intero.
Esplicito rispetto ad x. Allora:
x = {(y+10) ± √[(y+10)^2 –4·(y^2 – y)]}/2 = [(y+10) ± √(100+24·y – 3·y^2)]/2.
Devo trovare qualche y intero compreso tra 0 e 9 inclusi per il quale 100+24·y – 3·y^2 sia quadrato di un intero.
Per y = 7 ho
100 + 24·7 –3·7^2 = 121 = 11^2
Ergo x = (7 + 10 ± 11)/2 = 14 oppure 3. [14 > 9 è da scartare; 3 è OK]
Quindi una soluzione è 37.
Per y = 8 ho
100 +24*8– 3*8^2 = 100 + 3*8*8 – 3*8*8 = 100 = 10^2.
Ergo x = (8 + 10 ± 10)/2 = 14 oppure 4. [14 > 9 è da scartare; 4 è OK]
Quindi un'altra soluzione è 48.

aspesi

La prima soluzione è banale (X=1) La seconda non torna con la mia...(A/C=3)

Ho sbagliato a scrivere. Era A/B che valeva 0,6.
E' la stessa tua soluzione, va bene A/C = 3

Prova, infatti, X = 4 e Y = 16. Trovi:

A + X = K ––> A = 16 – 4 = 12;
B – X = K ––> B = 16 + 4 = 20;
C*X = K ––> C = 16/4 = 4;
D : X = K ––> D = 16*4 = 64;
A+ B + C + D = 12 + 20 + 4 + 64 = 32 + 68 = 100

Portando a destra X si trova
100 = A + B + C + D = (K – X) + (K + X) + K/X + K*X = K·(2+ 1/X + X) =(K/X)·(X+1)^2.
Ora 100 = 4*5^2 = 1*10^2 = 25 * 2^2
Quindi X+1 = 5 oppure X+1 = 10 oppure X+1 = 2
Per X+1 = 5 ho X = 4 e K = 4X = 16. (A=12; B=20; C=4; D=64).
Per X+1 = 2 ho X = 1 e K = 25. (A = 24; B = 26; C = 25; D = 25).
Ora vedo un'altra soluzione
Per X+1 = 10 è X = 9 e K = 9. (A = 0; B = 18; C = 1; D = 81).

aspesi

Metto io i più semplici:
111 - 11
3*33 + 3/3
5*5*5 - 5*5
o anche:
(5+5+5+5)*5

Per le altre cifre, possibile che non ci prova nessun altro?

Ciao

Ma ... non si potrebbe lasciar perdere il valore 100 e cerare una uguaglianza vera con quelle 5 cifre tutte uguali?
Per esempio:
11/11 = 1
Ma anche:
Log11(11) = 1 [Il logaritmo di 11 in base 11 è 1 ]

Ciao, ciao

[aspesi]

Erasmus

Stiamo parlando di a).
1)
37*(3+7) = 370;
3^3 + 7^3 = 27 + 343 = 370
2)
48*(4+8) = 48*12 = (12^2)*4 = 144*4 = 576
4^3 + 8^3 = 4^3 + (2·4)^3 = 4^3(1 + 2^3) = 64*9 = 576

Si arriva ... all'equazione di una bella ellisse perché x^3 + y^3 è divisibile per x+y (e il quoziente è x^2 – xy + y^2).
x^2 + y^2 – xy – 10 x – y = 0;
Esplicito rispetto ad x o y. Ottengo (con la solita formula dell'equzione di 2° grado) un radicale che deve essere un numero intero.
Esplicito rispetto ad x. Allora:
x = {(y+10) ± √[(y+10)^2 –4·(y^2 – y)]}/2 = [(y+10) ± √(100+24·y – 3·y^2)]/2.
Devo trovare qualche y intero compreso tra 0 e 9 inclusi per il quale 100+24·y – 3·y^2 sia quadrato di un intero.
Per y = 7 ho
100 + 24·7 –3·7^2 = 121 = 11^2
Ergo x = (7 + 10 ± 11)/2 = 14 oppure 3. [14 > 9 è da scartare; 3 è OK]
Quindi una soluzione è 37.
Per y = 8 ho
100 +24*8– 3*8^2 = 100 + 3*8*8 – 3*8*8 = 100 = 10^2.
Ergo x = (8 + 10 ± 10)/2 = 14 oppure 4. [14 > 9 è da scartare; 4 è OK]
Quindi un'altra soluzione è 48.

Vero...
Io avevo trovato solo 37.

Dalla progressione:
3 - 6 - 9 - 12 - 15 - 18 - ... - 27
se si moltiplicano i termini per 37, si ottiene:
111 - 222 - 333 - 444 - ... - 999
Questi prodotti sono costituiti da tre cifre uguali e tali chwe la loro somma è uguale al moltiplicatore da cui derivano
Infatti:
37*3 =111
Ad es. 37*15 = 37*3*5 = 111*5 ecc...

37 = 3^2 + 7^7 - 3*7
37*(3+7) = 3^3 + 7^3

[aspesi]

Erasmus

Stiamo parlando di b).

Ho sbagliato a scrivere. Era A/B che valeva 0,6.
E' la stessa tua soluzione, va bene A/C = 3

Prova, infatti, X = 4 e Y = 16. Trovi:

A + X = K ––> A = 16 – 4 = 12;
B – X = K ––> B = 16 + 4 = 20;
C*X = K ––> C = 16/4 = 4;
D : X = K ––> D = 16*4 = 64;
A+ B + C + D = 12 + 20 + 4 + 64 = 32 + 68 = 100

Portando a destra X si trova
100 = A + B + C + D = (K – X) + (K + X) + K/X + K*X = K·(2+ 1/X + X) =(K/X)·(X+1)^2.
Ora 100 = 4*5^2 = 1*10^2 = 25 * 2^2
Quindi X+1 = 5 oppure X+1 = 10 oppure X+1 = 2
Per X+1 = 5 ho X = 4 e K = 4X = 16. (A=12; B=20; C=4; D=64).
Per X+1 = 2 ho X = 1 e K = 25. (A = 24; B = 26; C = 25; D = 25).
Ora vedo un'altra soluzione
Per X+1 = 10 è X = 9 e K = 9. (A = 0; B = 18; C = 1; D = 81).

Ciao, ciao

E anche quest'ultima tua soluzione io non l'avevo trovata...

[aspesi]

Erasmus

Ma ... non si potrebbe lasciar perdere il valore 100 e cerare una uguaglianza vera con quelle 5 cifre tutte uguali?
Per esempio:
11/11 = 1
Ma anche:
Log11(11) = 1 [Il logaritmo di 11 in base 11 è 1 ]

Ciao, ciao

Secondo me, sono più quiz (di intuito) ad es., questi:

((22-2)/2)^2
9^(9-9) + 99
4! + 4! + 4! + 4! + 4
6!/6 - 6!/(6*6)
7*7 + 7*7 + int(radq(7))
88 + 8 + radq(8+8)

Ma forse, visto che gliene frega niente a nessuno, è una mia deformazione...

[Erasmus]

aspesi

Secondo me, sono più quiz (di intuito) ...

.
Sono sempre stato più analitico che intuitivo.

aspesi

[...]
4! + 4! + 4! + 4! + 4
[...]
7*7 + 7*7 + int(radq(7))

Bellissimo quello con i cinque "4"
4! + 4! + 4! + 4! + 4
=> http://www.spazioforum.net/forum/pub...smiley-027.gif

Bruttino (stiracchiato) quello con i "7".
[Tirar fuori 2 da 7 in questo modo... non è elegante
------------------------------------
Ciao, ciao.

[Erasmus]

=> (Cento con) cinque_nove.jpg
Ovverossia:

ln(9^99) +ln(9)
–––––––––––––
ln(9)

[aspesi]

Erasmus

=> (Cento con) cinque_nove.jpg
Ovverossia:

ln(9^99) +ln(9)
–––––––––––––

ln(9)

Bello!

[aspesi]

a)Supponiamo di avere scritto tutti i numeri interi da 1 a N, uno di seguito agli altri nel loro ordine naturale.
Come trovare una cifra di posizione determinata, per esempio che cifra è la 552715ma?

b)Quante cifre vi sono nella serie dei numeri da 1 a N inclusivamente?