Qualche quiz

[Erasmus]

Porco mondo ... con la mia solita lentezza nel fabbricare i post ... "arrivo al fumo delle candele" (tanto per restare in tema)
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Eddai che vuoi che sia...
Questo quiz era robetta semplice semplice...Mica come quello là del numero da 10 cifre...

[aspesi]

Rob77

Questo è il motivo per cui il parroco con la sola prima informazione non sa rispondere.
Se con la seconda (--> lui è il più vecchio) riesce invece ad arrivare ad indentificare le età questo implica che lui abbia proprio 50 anni.

Le altre sono 49, 10, 5 e 32.

Solo per completare, riporto le possibili terne che danno per prodotto 2450 (fino ad un'età del più anziano di 100 anni), con in quarta colonna la semisomma (età del sacrestano):

7 14 25 23
7 10 35 26
5 14 35 27
5 10 49 32
7 7 50 32
2 35 35 36
2 25 49 38
5 7 70 41
1 49 50 50
5 5 92 51
1 35 70 53
1 25 98 62

Come hai detto, se la prima informazione (prodotto=2450 e semisomma nota) non e'
sufficiente, significa che due delle possibili terne hanno uguale semisomma, quindi la scelta si restringe a:
5 10 49 32
7 7 50 32

Il piu' vecchio dei fedeli ha 49 o 50 anni e il parroco 50 o piu'.
Ma se il parroco avesse piu' di 50 anni, l'ultima informazione non sarebbe stata sufficiente, quindi l'unica soluzione possibile e':

5 10 49 32
ed il parroco 50.

[aspesi]

Ho trovato questo:

ABCD e' un quadrato e P e' un punto nel piano che contiene ABCD.
Supponiamo che sia AP=7, BP=3 e CP=9.

Calcolare il perimetro del triangolo ADP e l'area del quadrato ABCD.

L'ho calcolato considerando il punto P interno al quadrato.
Ma quante sono le soluzioni?

[Erasmus]

aspesi

ABCD e' un quadrato e P e' un punto nel piano che contiene ABCD.
Supponiamo che sia AP=7, BP=3 e CP=9.
Calcolare il perimetro del triangolo ADP e l'area del quadrato ABCD.

Le domande specifiche sono ... "noise".
Il succo del quiz consiste nel trovare la lunghezza del lato del quadrato e la posizione di P rispetto al quadrato, ossia le distanze di P dalle rette AB e BC. Fatto questo, resta da trovare la distanza di P da D (cioè dal quarto vertice del quadrato): cosa che si fa con Pitagora dopo aver calcolato la distanza di P dalle altre due retta AD e DC.

aspesi

L'ho calcolato considerando il punto P interno al quadrato.
Ma quante sono le soluzioni?

A me vengono equazioni "biquadratiche" (di 4° grado ma nei soli termini di grado pari).
Tenendo conto che il lato del quadrato deve essere positivo, mi risultano due soluzioni: una col punto P interno al quadrato (che allora ha il lato lungo circa 9,7) ed una col punto P esterno al quadrato (che allora ha il lato lungo circa 6.0).
Precisamente, il lato del quadrato viene √[65 ± √(833)].
In entrambi i casi la distanza di P dal quarto vertice D è PD =11.

La risposte al quiz è questa:
Se P è interno al quadrato, allora
Area(ABCD) = 65 + √(833); Perimetro(ADP) = 11 +7 + √[65 + √(833)].
Se P è esterno al quadrato, allora
Area(ABCD) = 65 – √(833); Perimetro(ADP) = 11 +7 + √[65 – √(833)].
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Chiamo q la lunghezza [incognita] del lato del quadrato.

Metto B nell'origine di un riferimento cartesiano, cioè B(0, 0).
Metto A sul semiasse positivo delle ordinate, cioè A(0, q).
Metto C sul semiasse positivo delle ascisse, cioè C(q, 0)
Affinché ABCD sia un quadrato, il quarto vertice deve essere D(q, q).

Chiamo x e y le coordinate [incognite] di P.

         î y
         | 
      A •—––––––––——————•D                                î y
         |                                   |                                   |
         |       P interno               |                                A •––––––––––––––• D
         |     al quadrato              | q ≈ 9,7                       |                         |
         |                                   |                                   |    P esterno       |
         |      P                           |                                   |   al quadrato      | q ≈ 6,0 
y > 0–l–- - •                           |                                   |                         |
         |     |                            |                           x < 0 |                         |
     ––•–––l––––––––––––––––•––––––>              –i––––•––––––––––––––•––––>
       B    x > 0                       C          x                • – – -i B                     C      x
                                                                       P        y < 0
AB= BC = q
AP = 7;   BP = 3;   CP = 9.

Immediate sono le tre equazioni che legano le distanze AP, BP e CP alle incognite q, x e y. Eccole:
AP^2 = x^2 + (q – y)^2 = 49;
BP^2 = x^2 + y^2 = 9;
CP^2 = (q – x)^2 + y^2 = 81.
Sviluppo i quadrati dei binomi nella 1ª e nella 3ª equazione, poi sostituisco in esse x^2 + y^2 con 9 (come dice la 2ª equazione) e semplifico.
Ottengo il sistema (cambiando ordine alle equazioni):
x^2 + y^2 = 9 ;
q^2 – 2qx = 72;
q^2 – 2qy = 40 .

Dalla 2ª e dalla 3ª di questo ricavo:
x = (q^2 – 72)/(2q) ––> x^2 = [(q^2 – 72)/(2q)]^2;
y = (q^2 – 40)/(2q) ––> y^2 = [(q^2 – 40)/(2q)]^2;

Sommo membro a membro le uguaglianze di destra; e dato che é x^2 + y^2 = 9, uguaglio la somma a 9.
Ottengo:
[(q^2 – 72)^2 + (q^2 – 40)^2]/(4q^1) = 9 ––>
q^4 – 144q^2 + 5184 + q^4 – 80q^2 + 1600 = 36q^2 ––>
2q^4 – 260q^2 + 6784 = 0 ––> q^4 – 2·65q^2 + 3392 = 0 ––>
q^2 ^ = 65 ± √(833). [NB: questa è l'area del quadrato].

Due soluzioni per q (che deve essere positivo, rappresentando un valore assoluto):
q1 = √[ 65 + √(833)] ≈ √(65 + 28,8617393793 ...) ≈ 9,68822684392.
q2 = √[ 65 – √(833)] ≈ √(65 – 28,8617393793 ...) ≈ 6,01151067711.

Con ciò, ancora due soluzioni per le la coppia x e y delle coordinate di P (che sono le distanze di P rispettivamente dalle rette AB e BC). Eccole:
x1 = (q1^2 – 72)/(2q1) = [65 + √(833) – 72]/{2·√[ 65 + √(833)]} ≈ 1,1282631864176
y1 = (q2^2 – 40)/(2q1) = [65 + √(833) – 40]/{2·√[ 65 + √(833)]} ≈ 2,7797521799928

x2 = (q2^2 – 72)/(2q1) = [65 – √(833) – 72]/{2·√[ 65 – √(833)]} ≈ –2,9827560247076
y2 = (q2^2 – 40)/(2q1) = [65 – √(833) – 40]/{2·√[ 65 – √(833)]} ≈ –0,32119541881924

Si controlla facilmente che in entrambi i casi risulta
AP^2 = 49; BP^2 = 9; CP^2 = 81.

Il quadrato della distanza di P da D è allora:
DP^2 = (q–x)^2 + (q – y)^2 = [q – (q^2 – 72)/(2q)]^2 +[q – (q^2 – 40)/(2q)]^2.
Diciamo d la distanza DP.
Allora, sviluppando i quadrati e semplificando si ha:
d^2 =[(q^2 + 72)^2 + (q^2 + 40)^2]/(4q^2) = (q^4 + 112q^2 + 3392)/(2q^2).

Sostituendo q^2 col suo valore, cioè:
q^2 = 65 + √(833) oppure q^2 = 65 – √(833)
si trova che la distanza risulta la stessa nei due casi.
Infatti:
d1^2 = {[65 + √(833)]^2 + 112·[65 + √(833)] + 3392} / {2·[65 + √(833)]} = 121;
d2^2 = {[65 – √(833)]^2 + 112·[65 – √(833)] + 3392} / {2·[65 – √(833)]} = 121.

d1 = d2 = √(121) ≈ 11.
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Bello!
Imperniamo con un chiodo piantato in un tavolo 4 asticelle [rigide e rettilinee] a formare 4 raggi lunghi rispettivamente 15 cm, 35 cm, 45 cm e 55 cm.
Ci sono due e due sole possibilità di far sì che, girando opportunamente i 4 raggi, le loro 4 punte libere costituiscano i 4 vertici di un quadrato.
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[Erasmus]

Tramite quest'ultimo quiz ho fatto una sensazionale scoperta ... di geometria euclidea!

Chissà se Euclide lo sapeva!

Non si finisce mai di imparare anche a livelli elementari.

«La somma dei quadrati delle distanze di un punto da due vertici opposti d'un rettangolo (in particolare quadrato) è uguale alla somma dei quadrati delle distanze di quel punto dagli altri due vertici [opposti] di quel rettangolo».
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Dato un qualunque rettangolo ABCD ed un punto P qualsiasi
[nello spazio n-dimensionale, con n ≥ 2; in particolare nello spazio tridimensionale (n=3), ancora più in particolare nello stesso piano del quadrato, (n = 2)]
risulta (sempre):
PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2 (*)

La dimostrazione [della (*)] è facilissima se, in un riferimento cartesiano [ortogonale e isometrico], si colloca il rettangolo ABCD con un vertice nell'origine e i due vertici non a lui opposti uno su un asse cartesiano e uno su un altro.
Per esempio, nello spazio tridimensionale (con p e q qualsiasi, |p| ≥ 0 e |q| ≥ 0 lati del rettangolo):
A(0, 0, 0)
B(p, 0, 0)
C(p, q, 0)
D(0, q, 0)

Sia allora P(x, y, z), con x, y e z reali qualsiasi (anche negativi).
Con ciò:
x^2 + y^2 + z^2 = PA^2
(p – x)^2 + y^2 + z^2 = PB^2
(p – x)^2 + (q – y)^2 + z^2 = PC^2
x^2 + (q – y)^2 + z^2 = PD^2

Sommando membro a membro la 1ª e la 3ª equazione e sommando membro a membro la 2ª e la 4ª equazione si ha (rispettivamente):
x^2 + y^2 + z^2 + (p – x)^2 + (q – y)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + 2z^2 + (p – x)^2 + (q – y)^2 = PA^2 + PC^2
(p – x)^2 + y^2 + z^2 + x^2 + (q – y)^2 + z^2 = x^2 + y^2 + 2z^2 + (p – x)^2 + (q – y)^2 = PB^2 + PD^2.
Confrontando {, essendo identici i secondi membri di queste ultime uguaglianze, devono essere uguali anche i terzi membri, ossia} deve essere:
PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2, (quod erat demonstrandum).

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[Erasmus]

Ispirato dall'ultimo quiz di Nino II (aspesi), [V. #1218], mi va di complicarlo un po'.
Abbiamo visto che non è necessario che il punto P distante rispettivamente
a = PA, b = PB e c = PC
da tre vertici del quadrato ABCD appartenga al piano del quadrato. Questo potrebbe essere definito dalla aggiuntiva conoscenza della distanza h di P dal piano del quadrato, (distanza che nel quiz di aspesi vale 0).
Allora le tre distanze a, b e c [rispettivamente dai vertici della base A, B e C] vengono ad essere le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale di una piramide a base quadrata.
Abbiamo anche visto che non darebbe alcuna informazione in più il conoscere la lunghezza d del quarto spigolo [della superficie laterale] PD, perché sempre e comunque è una sola la somma dei quadrati delle distanze di P da due vertici opposti della base:
PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2.
[Ossia: a^2 + c^2 = b^2 + d^2.]
Naturalmente, [a parità di a, b e c], al variare di h varia la lunghezza q del lato del quadrato.

Domanda fondamentale: Per h ≠ 0, ci saranno ancora due soluzioni?
Vediamo la cosa in un altro modo ... più geometrico.
Il punto P si può pensare vertice di una piramide quadrata con base ABCD di [lato q] ed altezza h. Sia H il piede della perpendicolare per P al piano del quadrato in questo piano. Allora
h = HP.
Nel caso del quiz di aspesi, cioè per h = 0, ci sono due soluzioni. Una con H=P interno al quadrato di lato q1 ed un'altra con H = P esterno al quadrato di lato q2 < q1.
Algebricamente parlando, è l'incognita q (lato del quadrato) ad avere due possibilità per le stesse distanze. E geometricamente succede che per il per il quadrato più grande P=H è interno mentre per quello più piccolo P=H è esterno.
La domanda allora diventano due:
Se è h > 0, (cioè: se geometricamente abbiamo a che fare con una piramide a base quadrata) ci saranno due soluzioni, ossia due distinte piramidi con uguale altezza (e con base quadrata di lato diverso)?
E se le soluzioni sono due, succederà ancora che per la piramide a base minore H risulterà esterno alla base quadrata?
[La seconda piramide ... "pendente" come la Torre di Pisa, con almeno una parete (faccia laterale) a "strapiombo"].

A queste domande si può dare risposta – con procedimento logico induttivo – guardando cosa succede in qualche esempio; oppure, date le tre distanze [lunghezze di tre spigoli della superficie laterale]
a = PA, b = PB e c = PC
ma non l'altezza h della piramide
osservarndo che, invece di considerare q dipendente da h, possiamo [invertendo la relazione tra q ed h] pensare h dipendente da q e studiare la funzione:
h = f(q).
Se questa non è monotòna in intervalli di q nei quali è h > 0, allora le soluzioni sono più di una.
Sempre su qualche esempio (cioè con metodo induttivo) si potrà poi vedere se H è interno o no alla base quadrata.

A tal fine, immaginiamo di proiettare ortogonalmente H sulle rette AB e BC rispettivamente in M ed N; e poniamo allora
x = BN; y = BM (o viceversa).
Sempre dovrà risultare:
x^2 + y^2 + h^2 = PB^2 = b^2.
Se H è interno al quadrato (base della piramide) dovrà essere:
(q – x)^2 + y^2 + h^2 = PC^2 = c^2 (*)
x^2 + (q – y)^2 + h^2 = PA^2 = a^2. (**)
Ma se H è esterno dovrà essere ... una delle tre seguenti:
(q + x)^2 + y^2 + h^2 = PC^2 = c^2
x^2 + (q – y)^2 + h^2 = PA^2 = a^2
oppure
(q – x)^2 + y^2 + h^2 = PC^2 = c^2
x^2 + (q + y)^2 + h^2 = PA^2 = a^2
oppure
(q + x)^2 + y^2 + h^2 = PC^2 = c^2
x^2 + (q + y)^2 + h^2 = PA^2 = a^2.

Noi possiamo benissimo tener buone in ogni caso entrambe le (*) e (**) [quelle con H interno] dando però la possibilità alle incognite x ed y di essere reali (e basta, invece di imporre che siano non-negative).
Saranno i valori (relativi, con segno!) di x ed y che ci diranno la posizione di H rispetto al quadrato base della piramide.

Affrontiamo, allora, il seguente quiz (sdoppiato in due ... per migliore analisi e comprensione della questione ).
1) Di una piramide a base quadrata ABCD e vertice P si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale, cioè:
a = PA = 39 cm;
b = PB = 33 cm;
c = PC = 52 cm.
Inoltre si sa che gli spigoli PA e PC sono ortogonali uno all'altro.
Determinare la lunghezza q del lato della base e l'altezza h della piramide.
Stabilire anche la posizione di H (piede della perpendicolare per P al piano di base nello stesso piano) dicendo se H è interno od esterno al quadrato di base.

2) Di una piramide a base quadrata ABCD e vertice P si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale, cioè:
a = PA = 39 cm;
b = PB = 33 cm;
c = PC = 52 cm.
Inoltre si sa che, tra le infinite piramidi con tali dati, questa è quella di volume massimo.
Determinare la lunghezza q del lato della base e l'altezza h della piramide.
Stabilire anche la posizione di H (piede della perpendicolare per P al piano di base nello stesso piano) dicendo se H è interno od esterno al quadrato di base.
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[nino280]

Sono tanto tonto che non sono riuscito a capire nemmeno la differenza fra la domanda n°1 e la n°2
Ciao

[Erasmus]

nino280

... non sono riuscito a capire nemmeno la differenza fra la domanda n°1 e la n°2
Ciao

Le condizioni preliminari le hai capite: si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale della piramide, che sono appunto a = 39 cm, b = 33 cm e c = 52 cm.
Il quarto spigolo della superficie laterale ha pure lunghezza d fissata.
Infatti, deve essere comunque:
a^2 + c^2 = b^2 + d^2 ,
e quindi, noti a, b, e c:
d^2 = a^2 + c^2 – b^2 = 39^2 + 52^2 – 33^2 = 1521 + 2704 – 1039 = 3136;
d = √(3136) cm = 56 cm.
Questi dati sono gli stessi per l'una o l'altra domanda,

Ma questi dati [le lunghezze degli spigoli della superficie laterale] non bastano ad individuare la piramide. Imfatti, gli stessi spigoli li puoi divaricare più o meno, ottenendo piramidi a base (quadrata) grande e altezza bassa, o viceversa a base piccola e grande altezza.
Se si analizza per bene la questiione, si vede che tra tutte le possibili piramidi con quei dati spigoli laterali, ce ne sono addirittura due "degeneri" (piramidi fasulle!), ossia con altezza nulla: il punto P sta in realtà nel piano della base quadrata, in un caso internamante al quadrato, nell'altro esternamente. E' questo il precedente quiz di aspesi! Lui ha dato le lunghezze
a = 3; b = 7; c = 9 [per cui risulta d = √(49 + 81 - 9) = √(121) = 11].
Io ho cambiato numeri: 39 al posto di 7; 33 al posto di 3, 52 al posto di 9 (e di conseguenza 56 al posto di 11).
Ma di piramidi ce ne sono infinite con lato q della base (quadrata) diverso e consequente altezza h diversa da zero.
Tra tutte queste ci sarà quella con volume massimo perché non è possibile avere il lato della base maggiore della somma di due spigoli laterali né avere l'altezza maggiore del più piccolo dei quattro spigoli. Cioè: non è possibile che il volume sia grande a piacere, e quindi deve esistere qualche piramide (forse una sola) a volume massimo possibile.
Domanda 2: come è fatta la piramide col volume massimo possibile?
[Cioè: quanto è lungo il lato q della base? Quanto vale l'altezza h della piramide?]

Al posto della condizione che il volume sia il massimo possibile, diamo una condizione ... più facile.
«Gi spigoli AP e CP sono perpendicolari una all'altro»
Beh: allora è tutto più facile, perché la diagonale AC della base deve essere un'ipotenusa!
Essa sarà lunga √(39^2 + 52^2) cm = √(1521 + 2704) cm = √(4225) cm = 65 cm.

L'altra diagonale BD è lunga ancora 65 cm e i due spigoli BP e DP sono lunghi
BP = 33 cm e BP = 56 cm.
Siccome √(33^2 + 56^2) fa ancora 65, anche questi due spigoli sono perpendicolari uno all'altro!

Il lato della base sarà lungo 65/√(2) cm e l'altezza ....
Beh: almeno questa trovatela tu!
[Devi semplicemente scomporre gli spigoli (pensati come spostamenti da un vertice della base a P) in tre spostamenti, ciascuno ortogonale agli altri due, come si fa con le coordinate cartesiane, e come ho già ampiamente spiegato.]

Ecco che la domanda 1 era dunque facilina.

Supposto di conoscere la lunghezza q dello spigolo della base e l'altezza h, (che invece sono le incognite), proviamo ad esprimewre le lunghezze degli spigoli tramite quelle. Avremo tre equazioni.
Se metto B nell'origine di un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale e A sul semiasse positivo di y e C su quello di x, la base mi viene nel piano <x, y> [di equazione z = 0].
Le tre euazuini sono quelle che uguagliano la distanza di P da un vertice al rispettivo spigolo laterale della piramide. In funzione di q e h posso dunque calcolare le tre coordinate di P (e la z è proprio l'altezza h).
Quindi posso avere l'espressione del volume in funzione di q.
[Viene un polinomio di 5° grado].
Annullo la derivata rispetto a q che viene un polinomio di 4° grado ma solo nei gradi pari.
Ottengo allora un'equazione biquadratica, risolubile in q^2 come equazione di 2° grado.
Così posso rispondere alla seconda domanda.
Nella prima domanda, senza fare derivate, so che q^2 vale (65^2)/2 [perché il quadrato della diagonale è pari alla somma dei quadrati di due spigoli opposti – Pitagora!].
Dividendo il triplo del volume per tale q^2 ottengo l'altezza h della piramide.

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[aspesi]

Erasmus

Precisamente, il lato del quadrato viene √[65 ± √(833)].
In entrambi i casi la distanza di P dal quarto vertice D è PD =11.

Scusa, ho visto solo adesso...
Perfetto (come al solito...)
L = RADQ((65) +- 7*RADQ(17))