Estrazioni casuali

[aspesi]

Una scarpiera contiene 8 paia di scarpe.
Se si prendono a caso 4 calzature, qual è la probabilità
(a) di non formare nessun paio di scarpe uguali;
(b) di formane esattamente uno?

[astromauh]

aspesi

Una scarpiera contiene 8 paia di scarpe.
Se si prendono a caso 4 calzature, qual è la probabilità
(a) di non formare nessun paio di scarpe uguali;
(b) di formane esattamente uno?

Il calcolo della probabilità di non formare alcun paio di scarpe è
abbastanza facile.

P(0)= (16/16) * (14/15) * (12/14) * (10/13)

Per rispondere alla seconda domanda, provo prima a
calcolare qual è la probabilità di formare 2 paia di scarpe.

P(2)= (16/16) * (1/15) * (14/14) * (1/13)

Siccome i paia di scarpe possono essere solo zero, uno, o due.

P(1) = 1 - P(0) - P(2)

[aspesi]

astromauh

Il calcolo della probabilità di non formare alcun paio di scarpe è
abbastanza facile.

P(0)= (16/16) * (14/15) * (12/14) * (10/13)

Per rispondere alla seconda domanda, provo prima a
calcolare qual è la probabilità di formare 2 paia di scarpe.

P(2)= (16/16) * (1/15) * (14/14) * (1/13)

Siccome i paia di scarpe possono essere solo zero, uno, o due.

P(1) = 1 - P(0) - P(2)

Primo punto p=8/13
casi favorevoli 2^4*combinazione(8;4) = 16*70
casi totali combinazione (16;4) = 1820

Seconda domanda: Nella tua soluzione (p = 1-0,615384615-0,005128205 = 0,379487179) c'è qualcosa che non va... la probabilità è invece 24/65 = 0,369230769
casi favorevoli 2^2*8*combinazioni(7;2) = 672
casi totali combinazione (16;4) = 1820

[astromauh]

Inizialmente avevo capito che la seconda soluzione P(2) poteva essere
sbagliata, ma poi mi sono convinto che andava bene.

Mi sa che ho commesso un errore simile a quello che avevo già commesso un mesetto fa.

[Erasmus]

aspesi

Una scarpiera contiene 8 paia di scarpe. [...]

Non dici se sono 8 coppie uguali o diverse. E. se diverse, di quanti diversi tipi.
Ma ... il tuo vizio di non essere preciso (e quindi non inequivocabile) è proprio inguaribile?
-------
1) Mettiamo che siano 8 coppie uguali, cioè originalmente 8 paia di destra-sinistra dello stesso tipo.
a) Se prendo a caso una coppia di scarpe (cioè due scarpe contemporaneamente), siccome le coppie sono 120 di cui 28 di destre, 28 di sinistre e 64 di destra-siniastra, ho probabilità 56/120 = 7/15 di prendere una coppia o di destre o di sinistre [non indossabili], (e quindi 8/15 di prendere una coppia destra-sinistra indossabile].
b) Ma è più comodo il calcolo se si prendono le due scarpe prima una e poi l'altra! La prima va sempre bene, la seconda ha probabilità 8/15 di essee complementare e 7/15 di esseere uguale.
[Dunque, se ho fretta e prendo una scarpa alla volta finchè non mi trovo con almeno 2 scarpe destra-sinistra, dopo averne prese due è un tantino più probabile che abbia avuto la fortuna di prendere una coppia indossabile che viceversa].

aspesi

Se si prendono a caso 4 calzature, qual è la probabilità
(a) di non formare nessun paio di scarpe uguali;
(b) di formane esattamente uno?

Supponiamo che il tipo di scarpe sia uno solo, (ossia: che le coppie di uguali siano solo o 2 sinistre o 2 destre.
• Le quaterne sono
16·15·14·13/(4!) = (2·8)·(3·5) (14·13)/24 = 10·182 = 1820
delle quali
8·7·6·5/(4!) = 1680/24 = 70 di tutte destre ed atre 70 di tutte sinistre.
Dunue: 140/1820 = 1/13 è la probabilità di non azzeccare almeno una coppia indossabile.
[Vedo che aspesi ha approvato 8/13 di astromauh. Mi dirà allora dove sbaglio!]
• • Provo con una scarpa alla volta.
La prima scarpa va sempre bene.
La probabilità che la seconda scarpa sia unguale alla prima è 7/15.
La probabilità che anche la terza scarpa sia uguale alla prima e alla seconda è
(7/15)·(6/14) = 1/5
La probabilità che anche la quarta scarpa sia uguale alle prime tre già uguali una all'altra è
(1/5)·(5/13) = 1/13.
Mi pare che sia giusto 1/13 e non 8/13.
(... mumble mumnle= ...)
OOPDS! Ho sbgliato la comprensione della domanda!
La domanda era
"di non formare nessun paio di scarpe ugual",
non
"di formare 4 scarpe tutte ugyali".
[Domanda con due negazioni , ad essere giustamente pignoli "domanda sbagliata" [grammaticamente]!
Certamente aspesi intendeva
"di non formare alcun paio di scarpe ugual"
• Se le sacarpe spno tutte dello stesso tipo è impossibile non prenderne almeno due uguali! Alla terza scarpa:
– o sono tre destre
– o sono 3 sinistre
– o sono due destre e una sinistra
– o sono una destra e due sinistre
quindi semore ameno due scarpe uguali.
Occorre cambiare ipotesi (su ciò che intendeva [i]aspesi)[/I).
• Se le scarpe sono di 8 tipi diversi allora, essendo diverse anche le scaroe destra e sinistra dello stesso tipo, le 16 scarpe sono tutte diverse una dall'altra! Impossibile avere due scarpe uguali per quante [da due a sedici] se ne prendano!
Dunque aspesi non intendeva così!
[Intendeva fìorse – spero di no! – che le scarpe destra e sinistra dello stesso tipo debbano ritenersi uguali?]
... (mumble mumnle) ...
Purtroppo, non resta altra ipotesi plausibile che questa, apparentemente ardua per un "logico" (e dall'intuito formidabile) come è lui!
Supponiamo che per "scarpe uguali" si debba intendere "scarpe dello stesso tipo" (compreso il caso di destra–e–sinistra].
Ma allora perché il quiz è sulle scarpe (universalmente distinte, tranne rarissime eccezioni, in destre e sinistre)?
In quest'ultima ipotesi il quiz equivarrebbe a quest'altro:
«In un sacchettp ci sono 8 coppie di palline uguali al tatto ma di 8 colori diversi (cioè: due di colore k con k da 1 a 8). Estraendo 4 palline a caso (ossia lasciandone alla fine 12 nel sacchetto) qual è la probabilità che le 4 palline estratte siano di 4 colori distinti?»
Le quaterne sono
C(16, 4) = 1820 = 13·140
e le quaterne di 4 colori diversi colori – vedendo le 16 palline in 8 coppie di colore diverso – sono
C(8, 4)·(2^4) = 70·16.
La probabilità di avere le 4 palline tutte di diverso colore è dunque
(16·70)/1820 = 8/13..

Oh! Ecco la risposta a) approvata da aspesi!
––––––-
Devo smettere!
Non credo però, se potessi continuare, di saper rispondere alla domanda b).
––––––

[aspesi]

I dadi egizi
L'antico gioco egizio del Senet è un gioco per due persone con dadi e pedine, progenitore del mitico Backgammon.
Ma nell'antico Egitto non si usavano i consueti dadi esaedrici, ottaedrici o icosaedrici ecc..., bensì 4 bastoncini.
E come si fanno ad ottenere i numeri?
Beh, ogni bastoncino ha una "faccia" scura e una chiara. La faccia scura vale 0 e la chiara vale 1.



Il punteggio di ogni lancio si ottiene sommando i punteggi dei bastoncini con la faccia chiara (zero facce chiari valgono 5 punti).

Ovviamente, i cinque numeri hanno diversa probabilità di uscita.
Supponiamo di fare 4 lanci con questi 4 bastoncini. Qual è il punteggio più probabile che si ottiene (minimo 4, massimo 20)?

[aspesi]

Considerando un mazzo da scopone da 40 carte, che probabilità c’è che distribuendone 10 a testa ognuno dei 4 giocatori riceva una scala completa (1,2,3,4,5,6,7,J,Q,K), non necessariamente dello stesso seme?

[astromauh]

Questo quiz mi fa venire l'ansia.

[Erasmus]

aspesi

[...]
Supponiamo di fare 4 lanci con questi 4 bastoncini. Qual è il punteggio più probabile che si ottiene ?:

Penso che sia il quadruplo del punteggio più probabile in un solo lancio.
Un lancio di 4 bastoncini è come un numero binario di 4 cifre, quindi con 2^4= 16 casi se si considerano distinti i singoli bastoncini, ma di soli 5 tipi come se si lanciassero 4 monete [uguali] giocando a "Testa e Croce".

Uscite                                                                               Punteggio
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– |–––––––––––
0 0 0 0                                                                           |      4
0 0 0 1    0 0 1 0    0 1 0 0    1 0 0 0                                 |      3
0 0 1 1    0 1 0 1    1 0 0 1    0 1 1 0     1 0 1 0    1 1 0 0    |      2
0 1 1 1    1 0 1 1    1 1 0 1    1 1 1 0                                 |      1
1 1 1 1                                                                           !      5

Il valore atteso in ciascun lancio è:

         1·4 +4·3 + 5·3 + 4·1 + 1·5.     40         5
Va = –––––––––––––––––––––––- = –––– = –––– = 2,5 .
                         16                          16         2

Il valore atteso della somma dei punti di 4 lanci dovrebbe essere 4·2,5 = 10.
–––––––

[aspesi]

astromauh

Questo quiz mi fa venire l'ansia.

Quale?

Erasmus

Penso che sia il quadruplo del punteggio più probabile in un solo lancio.
Un lancio di 4 bastoncini è come un numero binario di 4 cifre, quindi con 2^4= 16 casi se si considerano distinti i singoli bastoncini, ma di soli 5 tipi come se si lanciassero 4 monete [uguali] giocando a "Testa e Croce".

Uscite                                                                               Punteggio
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– |–––––––––––
0 0 0 0                                                                           |      4
0 0 0 1    0 0 1 0    0 1 0 0    1 0 0 0                                 |      3
0 0 1 1    0 1 0 1    1 0 0 1    0 1 1 0     1 0 1 0    1 1 0 0    |      2
0 1 1 1    1 0 1 1    1 1 0 1    1 1 1 0                                 |      1
1 1 1 1                                                                           !      5

Tutto giusto, ma poi hai sbagliato a calcolare il valore atteso di ogni lancio che è 37/16 = 2.3125 e non 2,5

Quindi con 4 lanci il punteggio più probabile è 9