Qualche quiz

[aspesi]

nino280

Ma perchè non era giusto?

E' sbagliato, già alla seconda cifra decimale delle coordinate di P.
E le distanze k e q
E la loro somma è 10*RADQ(2), prova con qualche decimale in più e ti accorgi che la tua somma è leggermente maggiore

[nino280]

Non capisco.
Dici che la somma delle delle distanze delle due ferrovie è 10 * rad di 2
che fa 14,14213562
Esattamente come avevo scritto nel primo disegno.
Ciao
Ora ti metterò di seguito l'animazione di questo porto di mare.
Prova tu stesso a trovare un numero inferiore nelle somme delle due ferrovie inferiore a
14,14214 o comunque a 14,14213562 che è suo parente prossimo.
Ciao

[nino280]

https://www.geogebra.org/m/yfftk6as

Con lo scroll tira leggermente su tutto il disegno.
Ti comparirà il solito pallino che andrai a muovere.
Sulla sinistra in "Case" ti compare intanto la somma delle distanze delle due ferrovie (che io ho indicato con k e q) in automatico e devi dunque leggere il valore "d" di detta somma.
Prooovaaa.
Ciao
Devi cercare in parole povere il valore minimo.
Ora però avendo fatto un nuovo disegno, l' ho memorizzato con il pallino fuori posto.
Il suo valore cioè "a" deve essere ripeto come da primo disegno = a 8,0026

[aspesi]

nino280

Non capisco.
Dici che la somma delle delle distanze delle due ferrovie è 10 * rad di 2
che fa 14,14213562
Esattamente come avevo scritto nel primo disegno.
Ciao
Ora ti metterò di seguito l'animazione di questo porto di mare.
Prova tu stesso a trovare un numero inferiore nelle somme delle due ferrovie inferiore a
14,14214 o comunque a 14,14213562 che è suo parente prossimo.
Ciao

Allora, se prendiamo le tue coordinate del punto P (5,65869 ; 5,65869) con Pitagora, le distanze risultano:

da A = 4,705025508
da B = 9,437117411

La cui somma è 14,14214292 (7,29557E-06 più alta del risultato 10RADQ(2))

Coordinate esatte P = 17/3; 17/3

[nino280]

A ho capito.
Avevo fatto un errore di dieci alla meno sei
Ma questi errori di arrotondamento io li ho sempre fatti e li farò sempre.
Avevo creduto che avessi sballato completamente tutto o che avessi fatto un errore di concetto.
Anche se avevi detto "Fuoco" alla prima tua risposta.
Su questa faccenda degli arrotondamenti ne abbiamo già parlato svariate volte.
Per evitare questo disguido dovrei disegnare con 10 cifre dopo la virgola, e ho già detto che non mi piace, diciamo anche che non è il caso.
Ciao
Adesso aspettiamo la dimostrazione matematica di Erasmus che magari la sta già preparando, o di Mizarino che si era già pronunciato dicendo che era facile.
Mettiamola così, visto che non ci azzecco mai le ultime cifre decimali, i miei disegni prendiamoli come abbozzi, o come sgrossature (un termine molto usato dai tornitori) e sta a voi la stesura delle equazioni.
Ciao
Ma tu, 17/3 come l'hai trovato?

[aspesi]

nino280

A.
Ciao
Adesso aspettiamo la dimostrazione matematica di Erasmus che magari la sta già preparando, o di Mizarino che si era già pronunciato dicendo che era facile.
Mettiamola così, visto che non ci azzecco mai le ultime cifre decimali, i miei disegni prendiamoli come abbozzi, o come sgrossature (un termine molto usato dai tornitori) e sta a voi la stesura delle equazioni.
Ciao
Ma tu, 17/3 come l'hai trovato?

Io ho trovato coordinata P 5,666666... per approssimazioni successive (minimizzando la somma delle due ferrovie), deducendo 17/3.
Ho visto anche che i due segmenti sono uno il doppio dell'altro

(Scusa sono bloccato con l'ernia del disco, non riesco neppure a stare seduto davanti al PC )



Esiste un teorema che dice:
Data una retta r e due punti esterni A e B, il punto O della retta r che minimizza la somma AO + OB è quel punto tale che i segmenti AO e OB formino angoli congruenti con la retta r

[aspesi]

Devi trovare il centro di massa della figura a L:
Hai a disposizione solo due oggetti:
-una matita
-una riga NON graduata

Soprattutto per nino280...

[nino280]

Mi costruisco una L a mio piacimento.
Poi prolungo il lato di 8 verticale fino ad incontrare l'8 di sotto. (tratto tratteggiato)
Ottengo 2 rettangoli uno orizzontale ed uno verticale.
Ne faccio le diagonali e congiungo gli incontri di queste 4 diagonali. (Diagonali Blu)
Ma dal disegno è tutto più chiaro che la mia spiegazione.
Idem poi faccio la stessa cosa prolungando il lato di 6
Anche qui come prima ho rettangoli, bla bla (ora diagonali in rosso).
Succede che i due congiungimenti dei punti di intersezione delle diagonali si incontrano in un punto.
Ebbene quello è il centro di massa della figura.
Ciao
Ma ho fatto anche la verifica con il Teorema di Varignon (ora devo cenare metterò in seguito le Equazioni).
E Varignon mi diceva che preso il vertice in basso a sinistra nell' origine il punto che stiamo cercando si trova a x 2,5 e y 3,5
E questo punto, con queste coordinate è lo stesso punto della costruzione grafica che ho mostrato che si può ottenere con un semplice righello (anche non graduato)
Ciao
Varignon :
x = [(8^2 * 10) - (6^2 * 8)] / 2 * (10 * 8) - (6 * 8 ) = 352 / 64 = 5,5
In verità il 5,5 bisogna sottrarlo all'estremo destro della L e quindi abbiamo 8 - 5,5 = 2.5
Per la y si ha
y = [(10^2 * 8) - (6 * 8^2)] / 2* (10 * 8) - (6*8) = (800 - 384) / 64 = 6.5
e 10 - 6,5 = 3,5
Che come ho già detto sono le coordinate x e y se parto dall' origine che io avevo messo sul vertice basso e a sinistra della L
Quindi questo quiz, si può risolvere in due modi diversi.
Ma ho la sensazione che si possa risolvere anche in un terzo modo, cioè con il Poligono Funicolare.
Proverò.
Ciao

[Erasmus]

aspesi

Io ho trovato coordinata P 5,666666... per approssimazioni successive (minimizzando la somma delle due ferrovie), deducendo 17/3.
Ho visto anche che i due segmenti sono uno il doppio dell'altro

Sono due giorni che tento di rispondere qui! Ma il modem mi fa brutti scherzi! Per due volte credevo anche di aver inviato la risposta. ma poi la risposta mia non la vedevo.
Finalmente ho capito cosa succedeva: era il modem che interrompeva la connessione ad Internet e poi la riprendeva ... quando ne aveva voglia lui!
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Sperando di poter finalmente rispondee vengo al quiz in questione..
Geometricamente la cosa è molto semplice perché anche la luce segue il percorso a lunghezza minima!
Supponiamo che la costa [rettilinea] sia speculare e che un raggio diluce venga emesso da A [o da B], si rifletta in un punto P della costa e vada poi a colpire B [o A].

Come si fa a trovare la giustaposizione di P sulla retta-costa?
Pensiamo ad un specchio piano. L'immagine di un oggetto la vediamo come se nel semispazio dietro lo specchio ci fosse un oggetto uguale (e simmetrico) dell'oggetto reale e noi lo vedessimo in linea retta.
Vediamo allora la costruzione geometrica che individua il punto P sulla retta-costa tale che il percoso
AP + PB
sia l più breve possibile..
Facciamo finta che in A [o in B] ci sia l nostro occhio che vede specchiarsi B [o A] nella retta-costa. Il nostro occhio vede l'oggetto specchiato di là della costa e lo vede alla stessa distanza dalla costa alla quale sta (dalla sua parte) l'oggetto reale.
Supponi che il tuo occhio sia in B.
Considera la retta r per A perpendicolare alla retta-costa; e sia A' l'ntersezione. La distanza di A dalla retta-costa è dunque AA'. Considera ora il punto A'' ancora sulla retta r (cioè allineato con A e A'), ma dall'altra parte di A rispetto alla retta-costa e tale che A' sia il punto centrale di AA". Allora A'' è l'immagine di A che il tuo occhio vede da B.
Congiungi ora B con A'' con un tratto rettilineo: l'intersezione di BA'' con la retta–costa è il punto P tale che
AP + PB
sia il percoso minimo al variare di P sulla retta-costa.
Tento di fare una figura qui senza ricorrere all'inserzione di una immagine.

                                                                                        B
                                                                                        • B
  A                                                                        ·
 A•                                                         ·
                                              ·                                                    
–A'–––––––––––––––P–––––Q–––––––––––––––––––––––––B'–––––––  r             
               .                                                      
 ∀•
 A''

Anche se la figura è poco espressiva, voi fate conto cher P è il punto della retta r allineato con ∀ e B.
Allora AP + PB = ∀B.
Se considriamo qualsiasi altro punto Q di r abbiamo il percorso
AQ + QB = ∀Q + QB >∀B
(dato che in ogni triangolo un lato è minore della somma dgli altri due).
–––––––
Venendo alla soluzione dello specifico quiz, la costa è la retta r di equazione y = x.
Il punto A sta in (x, y) = (1, 5).
La retta p per A perpendicolare alla retta r ha euqazine y = –x + 6.
L'intersezione A' di p con r sta in (3, 3). La distanza di A dalla retta r è dunque
AA' = √[(1 – 3)^2 + (5 – 3)^2] = √(8) = 2√(2).
Il punto B sta in (x, y) = (7, 15).
La retta q per B perpendicolare alla retta r ha equazine y = –x + 22.
L'intersezione B' di q con r sta in (11, 11). La distanza di B dalla retta r è dunque
BB' = √[(7 – 11)^2 + (15 –11)^2] = √(32) = 4√(2).
Siccome la distanza di B da r è il doppio della distanza di A da r, il punto P (su r tra A' e B') dista da B' il doppio di quanto dista da A'. Ha dunque coordinate
x =y = 3 + (11 – 3)/3 = 17/3.
[il porto P deve essere dunque costruito sulla costa nel punto di coordinate (17/3; 17/3)].
Le distanze di A e B da P valgono:
AP = √[(17/3 – 1)^2 + (17/3 – 5)^2] = √(200/9) = (10/3)·√(2) ≈ 4,7140452.
PB = √[(7 – 17/3)^2 + (15 – 17/3)^2] = √(800/9) = (20/3)·√(2) ≈ 9,4280904 = 2·AP
La somma di queste due distanze è 10√(2) ≈14,1421356.
––––––––––

aspesi

Esiste un teorema che dice:
Data una retta r e due punti esterni A e B, il punto O della retta r che minimizza la somma AO + OB è quel punto tale che i segmenti AO e OB formino angoli congruenti con la retta r

Brutto modo di trasdurre in geometria piana la legge di riflessione della luce che, nei tratti senza ostacoli, viaggia in linea retta, fa quindi il percorso più breve tra sorgente ed oggetto illuminato (anche se tramite riflessioni e/o rifrazioni).
La legge di riflessione ... la sanno anche i bambini delle medie: L'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione sono uguali.
Questi angoli sono le inclinazioni della luce in arrivo e in ritorno sulla perpendicolare allo specchio. Sono dunque complementari degli angoli di inclinazione sulla retta di appartenenza di P (qelli che nomini con questo teorema).
–––––

[nino280]

Rimetto questa figura perchè la mia precedente era poco chiara.
Ho soltanto aggiunto lettere ai valori delle lunghezze più le coordinate cartesiane del centro di massa che credo si possa chiamare anche baricentro.
Il motivo principale del nuovo disegno è dovuto al fatto che avevo scritto la formula del Teorema di Varignon, ma caso vuol che c'era "contaminazione" di numeri, perdonatemi il termine forse poco appropriato.
Avendo preso il ramo lungo della L = 10 poi il ramo corto = 8 e lo spessore = 2
a me serviva il valore di h minore da inserire nella formula e questo h minore mi veniva appunto 10 - 2 = 8 , quindi per farla breve uno che legge non sa a quale valore ( 8 ) io mi riferivo.
Ma ora scrivo le due formule di Varignon con le lettere così si capisce meglio.
Ben inteso io questa formula mica la sapevo, avendola vista forse una sola volta 50 anni fa.
Credo che fosse il 1972 o 1973 o giù di lì.
La copio dal vecchio libro di meccanica che ho conservato.
x = [(B^2 * H) - (b^2 * h)] / 2 * (B*H) - (b*h)
x è la coordinata del baricentro però devo fare 8 - 5,5 = 2,5
e 5,5 mi viene se sostituisco alle lettere le quote del disegno.
Per la coordinati y ho
y = [(B * H^2) - (b * h^2)] / 2 * (B * H) - (b * h)
anche qui andando a sostituire, ottenevo 6,5
E poi 10 - 6,5 = 3,5
Se si legge il valore di N come da disegno si vede x = 2,5 e y = 3,5
Ciao