Nino - Nino

[nino280]

Siccome mi piaceva assai l'espressione pittoresca "Teorema di Pitagora con le gambe all'aria" ho fatto che fare un disegno che lo fa vedere meglio.
Ci ho messo anche un paio di agoli che non avevo messo nel disegno precedente, servono per l'officina di sotto per fare il pezzo.
Ciao

[aspesi]

Per nino280 (se vuole, o chiunque altro, io non l'ho fatto)

Un trapezio isoscele ha i lati obliqui che misurano 12 cm, la base maggiore è lunga 28 cm e la base minore 18 cm.

Calcola l'area della superficie e il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezio attorno alla base maggiore.

[aspesi]

nino280

Si ce lo troviamo spesso sto rapporto.
Era + giusto scrivere 1,618 . . . .
Ciao

Trovare le soluzioni reali dell’equazione

4^x + 6^x = 9^x

[nino280]

aspesi

Per nino280 (se vuole, o chiunque altro, io non l'ho fatto)

Un trapezio isoscele ha i lati obliqui che misurano 12 cm, la base maggiore è lunga 28 cm e la base minore 18 cm.

Calcola l'area della superficie e il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezio attorno alla base maggiore.

Ciao
Non so se ho fatto bene.
Questo è un problema che si faceva alle materne, o all' asilo come si diceva allora, e sono passati tanti anni e non mi ricordo più nulla.

Vilume = Volume

[Erasmus]

aspesi

Per nino280 (se vuole, o chiunque altro, io non l'ho fatto)

Un trapezio isoscele ha i lati obliqui che misurano 12 cm, la base maggiore è lunga 28 cm e la base minore 18 cm.

Calcola l'area della superficie e il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezio attorno alla base maggiore.

Per nino280, o aspesi o chiunque mi legge:
Quando è facile trovare la posizione del baricentro di un lembo di superficie piana (come nel presente caso del trapezio isoscele), per trovare il volume di un solido di rotazione conviene il Teorema di Guldino [invece del far uso delle formule dei voluni di cilindri e coni].
Guldino ha esposto il suo teorema proprio in riferimento ai solidi di rotazione.
Ma modernamente lo si può enunciare in una forma più generalizzata. Cioè:
«Se un discoide piano si muove nello spazio in moto tale che la traiettoria del suo baricentro resta perpendicolare al discoide stesso, il volume del solido generato dal discoide vale il prodotto della sua area per la lunghezza della traiettoria del suo baricentro».
Allora, se d è la distanza del baricentro del trapezio dalla sua base maggiore ed S è la sua area, il volume V del solido descritto nel quiz vale
V = S·(2π·d).
––––

[aspesi]

nino280

Ciao
Non so se ho fatto bene.
Questo è un problema che si faceva alle materne, o all' asilo come si diceva allora, e sono passati tanti anni e non mi ricordo più nulla.

Vilume = Volume

per il volume, 7616*PI.GRECO()/3 circa 7975,45655

Per quanto riguarda l'area della superficie, probabilmente si intendeva non quella del trapezio, ma la superficie totale del solido ottenuto

[nino280]

Si probabilmente sarà così.
Ma per me (a proposito di elementari e non) voglio dire nella mia testa, il soggetto era ancora il trapezio.
E il complemento oggetto?
Beh, non complichiamo ulteriormente le cose.
Ciao
Perchè di solito quando si parla di volumi, si parla anche di superfici laterali.
E quindi se lui avesse scritto "superficie laterale" difficilmente mi sarei confuso.

[Erasmus]

aspesi

Un trapezio isoscele ha i lati obliqui che misurano 12 cm, la base maggiore è lunga 28 cm e la base minore 18 cm [...]

Con differenza 10 tra base maggiore e base minore, sarebbe "più meglio" se la lunghezza dei lati obliqui fosse 13 invece di 12 perché allora anche l'altezza h del trapezio verrebbe un numero intero.
√{13^2 – [(28 – 18)/2]^2} = √(13^ – 5^2) = √/18·8) = √(9·16) = 3·4 = 12.
E l'area sarebbe:
S = [28 + 18)/2]·12 = (46/2)·12 = 23·12 = 276.

Invece con i lati obliqui lunghi 12 l'altezza h del trapezio viene
h = √(144 – 25) = √(119) = √(7·17) = 10,90871211463571... ≈ 10,91
e l'area
S = 23·√(119) ≈ 250,90

Ma nel calcolo del volume richiesto l'altezza h compare al quadrato. E allora l'unico numero non intero sarà π.
––––––––
In un trapezio di base maggiore B, base minore b e altezza h la distanza d del baricentro dalla base maggiore è:
d = [(2b+B)/(b + B)]·h/3.
Il volume del solido di rotazione del trapezio attorno alla sua base maggiore è dunque (con Guldino):
V = 2π·d·S = 2π·{[(2b+B)/(b + B)]·h/3}·{[(b+B)/2]·h} = (π/3)·(2b+B)·h^2 . (*)
Per
B = 28; b = 18; h = √(119)
il voluime risulta dunque:
V = (π/3)·(2·18 + 28)·119 = (π/3)·64·119 = (π/3)·7616 ≈ 7975,456548416...
–––––

––––––––––
(*) P.S.
@ nino280
Tu sommi il volume di un cilindro di altezza 18 e raggio √(119) al volume di due coni uguali di altezza 5 e rggio ancora √(119).
Se il trapezio non fosse isoscele [né rettangolo] avresti un cilindro e due coni di diversa altezza.
Ammetterai che, prescondendo dalla forma (di un oggetto che assomiglia a quello che a Verona si dice "s-ciànco" e a Milano [url=https://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&ua ct=8&ved=2ahUKEwiZqPqansz5AhVCX_EDHWqqC-sQFnoECAwQAQ&url=https%3A%2F%2Fit.wikipedia.org%2F wiki%2FLippa_(gioco)&usg=AOvVaw3pBPEjJbOxCTRMXRjBG Dfh]"lippa"[/UL]), il calcolo del volume con Guldino è più semplice!
Lo ridico.
• S = area del lembo piano che ruota rigidamente attorno ad una retta complanare non secante;
• d = distanza del baricentro del lembo di piano rotante dall'asse di rotazione [complanare e non secante].
• <Volune> V = 2π·d·S.

Per trovare la distanza del baricentro di un trapezio dalla base maggiore si può ragionare così:
1) Non cambia nulla se si considera rettangolo il trapezio, e quindi decomponibile in un rettangolo di base b e altezza h e un triangolo di base B–b e altrzza ancora h.
2) Allora, siccome in un rettangolo la distanza del baricentro dalla base è metà dell'altezza e in un un triangoloe è un terzo dell'altezza, il momento statico del trapezio rispetto alla sua base maggiore è
(b·h)·(h/2) + [(B–b)·h/2]·(h/3) = (2b+B)·[(h^2)/6].
La distanza d del baricentro del trapezio dalla base maggiore è il rapporto tra questo momento statico e l'area del trapezio, cioè:
d = [(2b+B)·(h^2)/6]/{[(b+B)/2]·h} = [(2b+B)/(b+B)]·(h/3).

Che questa formula sia giusta si può controllare nei casi-limite b = 0 (trapezio che diventa un triangolo) e b = B (trapezio che diventa un rettangolo).
Nel primo caso [triangolo] viene giustamente d = (B/B)·h/3 = h/3.
Nel secondo caso [rettangolo] viene ancora giustamente d = [(3B)/(2B)]·h/3 = h/2.
Nella rotazione di un giro esatto la traiettoria del baricentro è lunga 2πd;
e quindi il volume richiesto è:
V = (2π)·{[(2b+B)/(b+B)]·h/3}·{[(b+B)/2]h} = (π/3)·(2b+B)·h^2.

Questa formula è anche facile da ricordare!
A ri-ciao.

[Erasmus]

nino280

[...] di solito quando si parla di volumi, si parla anche di superfici laterali.

Occhio!
La "superficie laterale" di un solido ... non sempre c'è!
E quando c'è non è tutta la supoerficie del solido.
Per esempio, la sfera non ha superficie "laterale".
E non l'ha nemmeno il solido di questo quiz (scomponibile in un cilindro e due coni uguali che sono come "punte" sporgenti dalle facce del cilindro).
Hanno una superficie "laterale" i solidi che hanno una base (come le piramidi e i coni) o due basi (come i prismi, i cilindri, i trochi di piramidi ed i tronchi di coni).
[Ovviamente la superfoicie della base (o delle basi) non è compresa nella superficie laterale.]
La superficie "totale" di questi solidi è la somma della superficie laterale e di quella della base o delle due basi.

nino280

E quindi se lui avesse scritto "superficie [...]

Io direi:
«[...] se avesse precisato dicendo "area della superficie del solido"» o – meglio – «area della superficie totale del solido» (suggerendo implicitamente che la superficie di questo solido è l'unione della superficie laterale di un cilndro e delle superfoici laterali di due coni).
––––

[Erasmus]

aspesi

Trovare le soluzioni reali dell’equazione

4^x + 6^x = 9^x

Eh eh... Implicitamente suggerisci che c'è ancora in ballo un rapporto aureo ...
Ma anche tu hai risolto questo quiz o ne hai raccolto la soluzione raccogliendo ll quiz stesso?
Per x = 1 risulta 4^x + 6^x = 10 > 9 = 9^x.
Per x = 2 risulta 4^x + 6^x = 52 < 81 = 9^x.
Quindi le eventuali soluzioni reali sono maggiori di 1 e minori di 2.
––––
Una sola soluzione reale: x = ln{[√(5)+1]/2}/ln(3/2)