Easy quiz(zes): but mathematical!

[nino280]

Eccoci.
Da notare solo il 18 (coordinata della X) mi compare con segno meno.
Evidentemente anche senza rendermi completamente conto avevo disegnato nel secondo ottante, ma non cambia nulla.
Ciao

[aspesi]

Erasmus

In definitiva il numero richiesto sarà
X = 58 + 6·77 + 3 = 523.

Controllo:
(523 – 5)/7 = 518/7 =74;
(523 – 6)/11 = 517/11 = 47;
(523 – 3)/13 = 520/13 = 40.
––––––––

Guarda la soluzione di chi ha proposto il quiz.

Poniamo i resti delle divisioni di X/7=a, X/11=b, X/13=c.
Per risolvere rapidamente con carta e matita utilizziamo i tre numeri “magici” fissi, nell’ordine 715, 364, 924 ed eseguiamo le tre moltiplicazioni 715*a, 364*b, 924*c. Nel nostro caso:
715*5 = 3575
364*6 = 2184
924*3 = 2772
Sommando i 3 numeri otteniamo 3575+2184+2772 = 8531.
Ebbene il risultato sarà ≡X mod 1001.
Sottraendo cioè, il più grande multiplo possibile di 1001 (che in questo caso è 8008) ottengo il numero originario, difatti 8531-8008 = 523.

Facciamo un’altra prova. L’amico sceglie ad es 348, esegue le 3 divisioni: 348/7, 348/11, 348/13 e ci comunica i tre resti che sono 5,7,10. Procediamo con i numeri “magici”.
715*5 = 3575
364*7 = 2548
924*10 = 9240
3575+2548+9240 = 15363-15015 = 348.

[nino280]

Nello svolgere questo Quiz in 3D postato da Aspesi mi è sorta la questione o la domanda.
Date tre terne di punti cartesiani x ; y ; z e mettiamo che questi tre punti stanno su una unica retta, tu come fai a saperlo (che stanno cioè su una retta)
Per conto mio non è facile saperlo e io avrei decisamente qualche difficoltà a dimostrarlo.
E infatti questa situazione è proprio capitata in questo Quiz, diciamo il quiz originale di Aspesi, non il secondo quiz che era una mia variante.
Io lo avevo fatto notare per primo, ma la domanda potrebbe essere, come hai fatto (caro Nino 280 ) a dirlo?
Rispondo:
be ci ho fatto passare una retta e constatato che la retta approssimativamente passava per tutti i tre punti. Ma ci passava visivamente, e io in verità sicuro al 100% non lo ero.
Mi sono anche domandato questa mattina; c'è un modo per esserlo.
Be penso di sì, è un pò complesso per i miei gusti , più che altro da spiegare , ma c'è.
Invece di partire dalle tre terne parto al contrario.
Metto due punti a caso in un sistema di assi cartesiani a 3D
Ora è meglio seguire il disegno
Sono i punti B e C
Congiungo con un segmento. Su di esso per fare le cose più facili prendo il punto medio che è il punto D ; ed ora ho le tre terne in x y z che stanno su una retta, ma semplicemente perchè ce li ho messi io.
Scopro via facendo, diciamo che è una novità anche per me, che posso disegnare due Vettori, li vedete li sono i Vettori U e V che vanno appunto da B a D e da D a C
Io posso farmi dare le coordinate Cartesiane di questi due Vettori.
Se le osserviamo giustamente se D era il punto medio di B C gli stacchi sono anche le quantità medie degli stacchi.
In pratica se da 5 a 15 la x si muove di 10 le coordinate dei vettori assumono valore 5 e 5; idem per la Y che muoveva di 14 lui mi mette i valori 7 e 7 e così la Z
E forse un occhio attento osservando queste proporzioni capisce qualcosa, ma io ancora non ci arrivo.
Ma mi accorgo che io di un Vettore oltre alle coordinate cartesiane gli posso domandare le coordinate "Sferiche" che stranamente non mi trasferisce sul disegno i valori.
Invece nella parte di sinistra, cioè la parte Algebrica mi da questi valori di coordinate sferiche.
Ed ecco per cui faccio una immagine per farci stare dentro questa zona.
Mi restituisce come si vede il primo numero che penso sia l'Intensità del Vettore ed è = 9,48683, giustamente metà del segmento f che si vede un pò più sù
Poi mi dà l'angolo nel piano x y di quel vettore cioè 54,46232°
Ed infine l'inclinazione dall'asse Z del vettore che è 24,93798°
Ma sti due Vettori U e V come si vede sono perfettamente uguali , pur partendo l'uno dove l'altro finisce.
Ne deduco che i tre punti B C e D stanno sulla stessa linea o retta che dir si voglia.
Ciao

[Erasmus]

nino280

Quando dico " distanza più breve fra punto iniziale e punto finale" intendo dire:
distanza più breve fra punto iniziale e punto finale. [...]
Ma poi, diamine, in due messaggi l'ho detto in tre modi diversi. [...]

Oh bella!
C'è un elemento iniziale ed uno finale di un insieme di elementi se e solo se l'insieme è ordinato. E allora, ovviamente, secondo il suo ordine, l'insieme INIZIA col primo elemento e FINISCE con l'ultimo. O no?
Continuo a non capire! Proprio come continuerei a non capire Sempronio se, in dialogo con lui, mi succedesse quel che sto per dire!
Supponiamo che i coniugi Caio e Tizia abbiano un solo figlio. E supponiamo che Sempronio mi dica:
"Il più giovane figlio di Caio e Tizia".
Allora io dico a Sempronio: «Bada che Caio e Tizia hanno un figlio solo!
Cosa intendi dicendo "Il più giovane figlio di Caio e Tizia" ?»
E Sempreonio mi risponde:
«Dicendo
"Il più giovane figlio di caio e Tizia"
intendo dire
"Il più giovane figlio di caio e Tizia"»
––––––––––
Insomma: tra due punti – chiamali "punto iniziale" e "punto finale" o, se preferisci, Giovanni uno e Filippo l'altro – ovunque stiano e in riferimento a qualunque situazione ti piaccia considerarli, c'è UNA (una sola!) distanza!
Continuo a non capire cosa intendi dire "la distanza più breve tra punto iniziale e punto finale".
Ma ancorché tu non mi dica cosa intendi ... non ne soffrirò molto!
Questa incomprensione non è certo tra le più importanti cose che vorrei cpire ma non capisco e non capirò mai!
Cio ciao!
Tanti auguri (di buona salute, ma non solo),
–––––

[Erasmus]

Oooohhh! Eccolo qua!
Non riuscivo più a trovarlo (dopo averlo risolto ancora la mattikna prestissimo di ieri(martedì 21 giugno).

Mi ricordavo bene la figura ... e non trovandolo più mi ero rifatto la figura cercando che venisse come quella che ricordavo:

Si tratta di due modi di pavimentare un quadrato con le stesse mattonelle quadrate che sono di due colori (alcune verdi e atre grige).
Diciamo v il numero delle verdi e g il numero delle grige. Nella Soluzione A le g mattonelle grige faranno una soecie di cornice uniforme larga x mattonelle attorno alle v nattonelle verdi .
Nella Soluzione B sarano le verdi a fare da cornice, Ma questa volta la cornice verrà larga x–1 mattonelle e avanzerà a una mattonella; e le grige formano pure un quadratio, però con un buco di una mattonella al centro, buco che viene "tappato" dalla mattonella che avanza dalla cornice.
Ladomanda è:
Se diciamo L^2 il numero di mattonelle, quanto è L? Ossia: quante mattonelle è il lato del pavimento
–––––––––––––-
Naturalmente, astraendo da situazioni reali, ci sono più soluzioni!
Quella che voleva aspesi è la seguente:
• x = 3. Ossia: Cornice grigia larga 3 mattonelle o cornice verde larga 2 mattonelle.
• In tutto le mattonelle sono L^2 = 289, ossia: è L = 17.
• Il Numero di grige è g = 168; i numero di verdi è v = 121.
[Si noti che, gustameìmente, g è del tipo m^2 – 1 e v è del tipo n^2.
––––––-
aspesi parlava del pavimento del bagno (immagino di sola doccia, dato che le mattonelle coprono l'intero pavimento!) e di mattonelle di lato 25 cm. Verrebbe un bagno largo 4,25 m ... che non è poco per essere un bagno!
Ma a Putin piacerebbe forse ub bagno per doccia collettiva dei suoi numerosi "quaquaraquà".
E allora ecco per lui la soluzione:
Quadrato L x L= 99^2 = 9801 mattonelle di cui 69^2 = 4761 verdi e 71^2 –1 =5040 grige.
La cornice grigia verrebbe larga 15 mattonelle (e quella verde 14).
––––––––––––
Come ho risolto il quiz.
• La cornice grigia larga x mattonelle è divisibile in 4 rettangoli lunghi L – x e larghi x mattonelle. Nella Soluzione A abbiam0n dunque:
g = 4·(L – x)·x = 4Lx - 4x^2;
v = (L – 2x)^2 = L^2 – 4Lx + x^2 = L^2 – g.
• Con la cornice verde larga x–1 mattonelle abbiamo invece
v = 4·[L – (x–1)]·(x–1) + 1 = 4L(x–1) – 4(x–1)^2 + 1 = 4Lx – 4L – 4x^2 + 8x – 3;
g = [L –2(x–1)]^2 – 1 = L^2 + 4x^2 – 4Lx + 4L – 8x + 3 = L^2 – v.
Uguagliando le espressioni di g della Situazione A e della Situazione B si ottiene una equazione di secondo 'rado in x ed in L. La medesima equazionew si ottiene ugfuagliando le espressioni di v delle due situazopni A e B. Tae equazuine, ridoitta in forma canonica rispetto ad L è:
L^2 – [4(2x – 1)]·L + [8x(x – 1) + 3] = 0.
Risolta quest'equazione rispetto ad L, risulta:
L = 2(2x – 1) ± √[8x·(x – 1) +1]. (*)
Dovendo essere intero L, occorre che 8x·(x – 1) +1 sia il quadrato di un intero, che x sia maggiore di 1 ed L risulti abbastanza grande in modo da consentrire i sue tipi di soluzione.
Per x = 3 la (*) diventa:
L = 2 (2·3 – 1) ± √[8·3·(3 – 1) +1] = 10 ± 7.
E' accettabile solo L = 17.
Con ciò, dalla Soluzione A viene g = 4(17–3)·3 = 12·14 = (13 – 1)(13 + 1) = 13^2– 1 = 168.
Per differenza abbiamo v = 17^2 – 168 = 121 = 11^2.
Oppure, dalla solyzione B: v = 4(17–2)·2 + 1 = 8·15 + 1 = 120 + 1 = 121 = 11^2.
Non ci sono altre soluzioni per 3 < x < 15,
Per x = 15 abbiam:
L = 58 ± 41.
Accettabile è solo L = 99.
Con questo lato dl pavimento quadrato viene g = 5040 = 71^2 – 1 e v = 99^2 – 5040 = 69^2.
––––

[aspesi]

Erasmus

Oooohhh! Eccolo qua!


E allora ecco per lui la soluzione:
Quadrato Lx L= 99^2 = 9801 mattonelle di cui 69^2 = 4761 verdi e 71^2 –1 =5040 grige.
la cornice grigia verrebbe larga 15 mattonelle (e quella verde 14).
––––––––––––

Ci sono infinite soluzioni

289, 9801, 332929, 11309769, ...

formula
a(n) = 34*a(n-1) - a(n-2) - 16

[aspesi]

[nino280]

Ciao

[aspesi]

nino280

Ciao

[nino280]

Ho rifatto il disegno.
Intanto nella scritta in verde lassù c'era un refuso, avevo tralasciato uno zero.
E poi, principalmente, per avere la certezza che la cosa sia vera, cioè il fatto che il rapporto fra le due aree sia veramente il rapporto Aureo, bisogna fare almeno un'altra verifica partendo da valori diversi.
In questo caso ho cambiato la corda secante il mio cerchio iniziale.

Ciao
Rifatto oggi un terzo (o è il quarto disegno?)
E' più pulito ma notevole è far vedere che in questo quiz e di conseguenza nel disegno che ne deriva, il rapporto aureo che era il risultato della domanda del quiz la fa da padrona, nel senso che se si va a misurare i due triangoli, detti triangoli sono "zeppi" di rapporti aurei.
Ad esempio ho misurato le due altezze rispetto alla base lunga è trovo appunto 1,618033
Ed ancora il prolungamento della corda che era un dato iniziale del quiz, qui mi sono perso le lettere inerenti, ma facciamo così, metto i valori e così non ci sbagliamo:
19,59592 (corda) / 12,11093 (prolungamento) = 1,618033