Nino - Nino

[aspesi]

nino280

Si ok.
Vedo ora che chiedeva l'Area e non il raggio della semicirconferenza.
Però se il raggio è giusto abbiamo anche l'area.
Ciao

Il raggio è lungo (5/2)RADQ(7)

[aspesi]

[nino280]

Ciao

[Erasmus]

nino280

Perimetro [area] verde =21

Spiego come posso confermare che il perimetro richiesto vale 21.
• Dette x la larghezza dell'esagono verde ed h l'altezza dei rettangoli di area 18 e 14 ho il seguente sustema di due equazionile due equazioni:
(7 – x)h = 18;
(6 – x)h = 14.
Faccio il rapporto membro a membro ottenendo
(7 – x)/(6 – x) = 9/7
da cuii ricavo:
49 – 7x = 54 – 9x <==> (9 – 7)x = 54 – 49 <==> 2x = 5 <==> x = 5/2.
Allora da una delle prime due equazioni ricavo h, per esempio da (7 – x)h = 18 ho:
(7 – 5/2)h = 18 <==> (14 – 5)h = 36 <==> h = 36/9 <==> h =4.
• Il perimetro del'esagono verde è lo stesso di quello che sarebbe il perimetro di un rettangolo della stessa larghezza e della stessa altezza, cioè di lati x e 2h.
Ergo: Perimetro richiesto = 2(x + 2h) = 2·5/2 + 4·4 = 5+16 = 21.
––––

[aspesi]

Perfetto (a tutti e due)

[nino280]

Ciao

[aspesi]

nino280

Ciao

[aspesi]

[nino280]

R1 = 5
R2 =13
Ciao
Al contrario.

[Erasmus]

Disponendo di mezzi di calcolo automatico avanzati è facile dimostrare che α vale 40 gradi
(e di conseguenza DCB = 30° e quindi ACB = 60°).
Si assuma, per comodità, AD = 1.
L'angolo ACD è di 180 –(80+70) = 30 gradi; e siccome sin(30°) = 1/2 risulta
AC = 2·sin(70°); DC = 2·sin(80°).
Il testo ci dice che è
AB = AC + AD
e quindi è
AB = 2sin(70°) + 1.
Considerando allora l'altezza di ABC riaspetto alla base AB abbiamo:
ACsin(80°) = ABsin(α)
ossia
[2·sin(70°)]·sin(80°) =[2·sin(70°) + 1]·sin(α)
cioè
sin(α) = [2·sin(70°)·sin(80°)]/[2·sin(70°) + 1] (*)
e in definitiva
α = arcsin{[2·sin(70°)·sin(80°)]/[2·sin(70°) + 1]} = 40°
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Senza passare per il calcolo numerico esplicito di espressioni trigonometriche, occorrerebbe dimostrare che la (*) diventa una identità per α = 40°, cosa possibile ma non proprio agevole!
Una volta però che si sospettasse α= 40° la verifica verrebbe abbastanza facile sia per via geometrica che poer via algebrica.
Di seguito batto dpprima la strada geometrica e poi quella algebrica

a) Per via geometrica
Considero un triangolo equilatero PBC (con PB orizzontale e P a sinistra).
Tracco l'altezza relativa a PB. Per ogni punto D di questa altezza il triangolo PBD è isoscele su PB. Sia A l'intersezione di BD con PC. La lunghezza del segmento AD dipende dalla posizione di D sulla altezza di PBC, ossia dall'angolo PBD. Detto φ quest'angolo, ho allora
DPB = PBD = φ. (**)
Suppongo ora di prendere φ tale che risulti
AD = AP
Allora il triangolo PDA è isoscele su PD e in esso ho
APD = ADP = 2φ.
Osservando che è
APB = APD + DPB = 2φ + φ = 3φ
ed essendo APB = 60°, concludo che è
φ = 20°
e quindi che – detto α l'angolo ABC – è
ABC = 60° – φ = 60° – 20° = 40° ==> α = 40°
Con ciò ho anche:
CAD = CAB = 180° – (60° + 40°) = 80°;
CDA = 180° – (80° + 30°) = 70°.
E siccome PBC è equilatero e AP = AD, ho pure:
BC = AC +AD.
Allora i triangoli contigui ADC e CDB realizzano quanto dice il testo del quiz; e dunque ho provato che il valore richiesto dell'angolo α = ABC è 40°.

a) Per via algebrica
Si ponga c = cos(x). Allora si trova cos(3x) = 4c^3 – 3c.
Quando fosse x = 40° sarebbe 3x = 120° e quindi cos(3x) = 4c^3 – 3c = –1/2 ossia;
c = cos(40°) ==> 4c^3 – 3c + 1/2 = 0.
Riprendo la (*)
sin(α) = [2·sin(70°)·sin(80°)]/[2·sin(70°) + 1] (*)
Per comodità pongo
s = sin(40°) e c =cos(40°).
Quindi metto in conto che
sin(80° = sin(2·40°) = 2sc;
2sin(70°)n = 2sin(30° + 40°) =2[cos(30°)·sin(40°) + sin(30°)·cos(40°] = √(3)s + c.
Dalla (*) ricavo allora
sin(α)/sin(40) = 2c[√(3)s + c]/[√(3)s + c +1].
Si tratta allora di provare che per c = cos(40°) è
2c[√(3)s + c]/[√(3)s + c +1] = 1.
Da questa equazione ho:
2c[√(3)s + c] = √(3)s + c +1 <==> √(3)s·(2c – 1) = –2c^2 + c + 1
da cui, quadrando entrambi i membri:
3(1 – c^2)(4c^2 – 4c + 1) = 4c^4 + c^2 + 1 – 4c^3 – 4c^2 + 2c.
Eseguendo i prodotti a sinistra, semplificando e portanto tutto in un solo membro ottengo:
16c^4 – 16c^3 –12c^2 + 14c – 2 = 0 <==>
<==> (16c^4 –12c^2 + 2c) –(16c^3 –12 c +2) = 0 <==> 4(c – 1)(4c^3 – 3c +1/2) = 0.
Nell'ultima uguaglianza, quando è c = cos(40°) è 4c^3 – 3c = –1/2 e dunque l'uguaglanza è verificata proprio per α = 40°; è cioè vero che sin(α)/sin(40°) = 1.
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