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Vecchio 10-07-22, 17:49   #5581
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
[...]Il bello di questo sistema è che è ok anche senza conoscere perimetro, area, e nessuna lunghezza dei lati del triangolo.
Ho messo io il grassetto a "nessuna lunghezza dei lati del triangolo".
L'ho messo per evidenziare questa affermazione ... che [secondo me] è sbagliata, anche se "formalmente" sembra vera.
Mi spiego:
«Se il disegno è in scala, implicitamente passi ad Autocad non una, bensì TUTTE le lunghezze dei vari segmenti del disegno (che hai fatto tu!). E se il disegno non è in scala ad Autocad dai anche qualche lunghezza sbagliata; e se non sono esatte le lunghezze dei lati del triangolo il raggio che Autocad ti restituisce (col metodo da te descritto ... o con qualunque altro metodo appropriato) è sì corretto per quel disegno, ma molto probabilmente sbagliato per l'eventuale quiz illustrato da un disegno non in scala.»

Insomma: Autocad conosce tutte le lunghezze del disegno; e le conosce perché, seppur implicitamente, gliele hai dette tu!
---------
Comunque: il metodo più veloce per conoscere il raggio del cerchio inscritto in un triangolo non rettangolo è sempre quello detto da aspesi:
r =2·Area/perimetro (*)
(spesso nella forma r = Area/semiperimetro dato che, molto probabilmente, si adopera il semiperimetro p per il calcolo dell'area con Erone).
Per un triangolo rettangolo (nel quale il doppio dell'area è il prodotto dei cateti) la formula (*) si seplifica diventando:
r = <somma dei cateti meno l'ipotenusa>/2
(spesso scritta come r = (a+b – c)/2 sottintendendo che tra i lati (a, b, c) l'ipotenusa è c ).
–––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 13-07-22 02:40.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 10-07-22, 18:17   #5582
ANDREAtom
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
OK, ma non devi dimenticare che ragionamento e procedura devono prescindere dal fatto che il disegno sia o meno in scala.

Quando tu hai un cerchio inscritto in un triangolo (di cui puoi calcolare area e perimetro) e ti serve determinare il raggio del cerchio, un modo per calcolarlo è r = 2*Area/perimetro

Ma anche per Erasmus:

Ho scoperto or ora che questo vale non solo per il triangolo, ma per tutti i poligoni regolari purchè il cerchio inscritto abbia la circonferenza tangente con tutti i lati; beh, non lo sapevo, quindi immaginate quante cose ho ancora da imparare.......
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Dai diamanti non nasce niente,
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--------------------------
(Fabrizio de Andrè)

Ultima modifica di ANDREAtom : 10-07-22 18:26.
ANDREAtom non in linea   Rispondi citando
Vecchio 10-07-22, 18:49   #5583
Erasmus
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

Quote:
ANDREAtom Visualizza il messaggio
Quote:
aspesi
[...]r = 2*Area/perimetro[...]
Ma anche per Erasmus:
Ho scoperto or ora che questo vale non solo per il triangolo, ma per tutti i poligoni regolari
Certamente! L'apotema di un poligono regolare (quello che moltiplicato per il semiperimetro dà l'area del poligono regolare) è appunto il raggio del cerchio "inscritto".
Per definizione il cerchio inscritto – se esiste! – è appunto il cerchio tangente internamente a tutti i lati del poligono.
Non sempre esite! Ma a volte l'hanno anche poligoni irregolari. Per esempio i quadrilateri nei quali la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due, (come è, ad esempio, un trapezio isoscele di lati obliqui lunghi 4, base maggiore lunga 5 e base minore lunga 3).
Quote:
ANDREAtom;
[...]purchè il cerchio inscritto abbia la circonferenza tangente con tutti i lati
Appunto! [Anche se il poligono fosse irregolare.]
–––––
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 12-07-22 16:20.
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Vecchio 12-07-22, 14:28   #5584
aspesi
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....



Erasmus, fammi capire perché x=121

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-07-22, 17:41   #5585
Erasmus
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aspesi Visualizza il messaggio

Erasmus, fammi capire perché x=121
Ci provo.
Ma sai bene che sono "vecchio" e ..."che brutta malattia è la vecchiaia!"
––––––––-
Anche se non è detto, mi pare che x debba essere un intero dispari.
Sotto radice quadrata si può raccogliere x.
La somma dei successivi numeri dispar a partire da 1 è (sempre) il quadrato d'un intero.
E quindi, siccome sotto radice ci deve stare il quadrato d'un intero, anche x deve essere il quadrato di un intero. Vediamo quale!
Consideriamo la successione dei dispari 2k+1 da k= 0 in su:
1 = 1^2 = (0 + 1)^2;
1 + 3 = 2^2 = (1 + 1)^2;
1 + 3 + 5 = 3^2 = (2 + 1)^2:
1 + 3 + 5 + 7 = 4^2 = (3+1)^2;
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2 = (4 + 1)^2;
....
1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (n+1)^2.
Detto 2n +1 il nostro x, sotto radice possiamo mettere
(2n+1)·[(n+1)^2]
e deve essere
(2n+1)·[(n+1)^2] = 671^2.
Ma anche 2n+1 deve essere un quadrato!
Supponiamo che sia il quadrato di 2m+1, cioè
2n+1 = 4m^2 + 4m +1 = 2[2m(m+1)] + 1.
Allora è n = 2m(m+1) e quindi (n+1)^2 = [2m(m+1) +1]^2
Sicché possimo pensare di cercare un m tale che
(2m+1)·[2m(m+1) +1] = 671
ossia
4m^3 + 6m^2 + 4m + 1 = 671 <==> 2m^3 + 3m^2 + 2m = 335.
Vedi bene che per m = 5 (cioè n = 60 e quindi x = 121) hai proprio
2m^3 + 3m^2 + 2m = 250 + 75 + 10 = 335.

Ma supponiamo di non conoscere in anticipo il valore di m.
Anche m deve essere dispari, diciamo m = 2k+1.
Allora:
2(2k+1)^3 + 3(2k+1)^2 + 2(2k+1) = 335 <==> 16k^3 + 36k^2 + 28k = 328 <==>
<==> 4k^3 + 9k^2 +7k = 82
Ora k deve essere pari ... e ormai abbastanza piccoletto!
Proviamo k= 2.
4·8 + 9·4 + 7·2 = 32 + 36 + 14 = 82. OK!
Dunque:
k = 2;
m = 2k+1 = 5;
n = 2m(m+1) = 60;
x = 2n + 1 = 121 = C. D. D.
–––––––
Verifica
x = 121 = 11^2;
1 + 3 + .. + 121 = 1 + 3 + ... + (2·60 +1) = (60+1)^2 = 61^2;
√[121·(1 + 3 + ... + 121)] = √[(11^2)·(61^2)] = 11·61 = 671
––––––––
__________________
Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 23-07-22 14:52.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-07-22, 18:05   #5586
aspesi
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Predefinito Re: !

Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
Ci provo.

––––––––-
Anche se non è detto, mi pare che x sia debba essere un intero dispari.
Sotto radice quadrata si può raccogliere x.
La somma dei successivi numeri dispar a partire da 1 è (sempre) il quadrato d'un intero.
E quindi, siccome sotto radice ci deve stare il quadrato d'un intero, anche x deve essere il quadrato di un intero. Vediamo quale!
Consideriamo la successione dei dispari 2k+1 da k= 0 in su:
1 = 1^2 = (0 + 1)^2;
1 + 3 = 2^2 = (1 + 1)^2;
1 + 3 + 5 = 3^2 = (2 + 1)^2:
1 + 3 + 5 + 7 = 4^2 = (3+1)^2;
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2 = (4 + 1)^2;
....
1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (n+1)^2.
Detto 2n +1 il nostro x, sotto radice possiamo mettere
(2n+1)·[(n+1)^2]
e deve essere
(2n+1)·[(n+1)^2] = 671^2.

––––––––


In pratica
x·[(x+1)/2]²=671², →→x=121

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-07-22, 03:26   #5587
Erasmus
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In pratica
x·[(x+1)/2]²=671² → x=121
Certo!
Ma – sempre in pratica – questo va bene come verifica, cioè se già c'è stato qualcuno che ti ha detto: «[Secondo me] x = 121».
Il bello, però, è cercare e trovare che deve essere x = 121 partendo dal non saperne niente!
E al 121 ci arrivi in fretta sapendo che x deve essere il quadrato d'un intero dispari e – allora – scomponendo in fattori primi 671, cioè
671^2 = (11 · 61)^2 = (11^2) · (61)^2)
perché allora hai l'immediata verifica
a) [(x+1)/2]^2 = 61^2 ––> (x+1)/2 = 61 ––> x = 2·61 – 1 =121.
b) x = 11^2 = 121 ––>OK!
–––


P.S.
Supponi che invece di 671 ci fosse 781.
Allora avresti :
x·[(x+1)/2]^2 = 781^2 = (11^2) · (71^2)
e quindi la verifica ti darebbe
a) (x+1)/2 = 71 ––>x = 2·71 – 1 = 141;
b) x = 11^2 = 121 ± 141 ––> NON OK ––>
––> «non esiste un x intero che dia x(1 + 5 + 5 + ... + x) = 781 (*)
[anzi: non esiste proprio alcun x che verifichi l'uguaglianza (*)]»
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Ultima modifica di Erasmus : 13-07-22 04:14.
Erasmus non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-07-22, 08:22   #5588
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....



Quale delle figure solide in basso, capovolta e unita a quella in alto, può ricostruire il cubo completo?

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 18-07-22, 11:36   #5589
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

La n. 4
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Vecchio 18-07-22, 11:41   #5590
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Predefinito Re: Un po' di calcoli ... un po' di logica....

la N° 2
Ciao
nino280 non in linea   Rispondi citando
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