Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[Erasmus]

aspesi

Comunque, l'intuizione di base è che il risultato è dato dal prodotto degli ambi che si formano con m:
[m*(m-1)/2)]
con gli ambi che si formano con n:
[n*(n-1)/2)]]
ovvero:
Comb(m,2) * Comb(n,2)

Ma certo!
Questa è l'intuizione giusta!
Lo smile te lo meriti tu.

Infatti ... (lo dico però "col senno di poi" !) è necessario che sia proprio così!
Faccio finta che l'intuizione sia stata mia ...
---------------------------------------------
Consideriamo i punti Ah e Ak su una retta ed i punti Br e Bs sull'altra retta.
[NB: h e k da 1 a m, h ≠ k; r e s da 1 a n, r ≠ s].

Con due punti Ah e Ak posso fare due coppie ordinate: [Ah, Ak] e [Ak, Ah].
Idem con i due punti Br e Bs: [Br, Bs] e [Bs, Br].
Con queste due coppie di punti posso quindi costruire 2 * 2 = 4 segmenti con estremi uno in Ah o Ak e l'altro in Br o Bs. Eccoli:
AhBr, AhBs, AkBr, AkBs.
Le coppie di segmenti distinti sono 6: ma una sola coppia è di segmenti che si incrociano!
Precisamente, supposto k > h ed s > r, si incrociano solo AhBs e AkBr.

Ah •       • Ak
   | \   / |
   |   X   | 
   | /   \ |
Br •       • Bs 

Morale:
Per ogni coppia di punti distinti [Ah, Ak] su una retta e per ogni coppia di punti distinti [Br, Bs] sull'altra retta (parallela) c'è un incrocio (ed uno solo).

Siano C(m, 2) le coppie non ordinate di punti distinti Ai (i quali sono m in tutto); e siano C(n, 2) quelle dei punti Bj (che sono n in tutto).
Il numero X(m, n) di punti di incrocio, essendoci un incrocio per ogni coppia di Ai distinti e per ogni coppia di Bj distinti, è senz'altro:
X(m, n) = C(m,2)·C(n, 2).
---------––---- (continua) -----------––------
Bellissima la tua intuizione, Nino-aspesi!
Ti regala la soluzione prima ancora di sapere quanto questa fa davvero.

Adesso si può ... "soavemente, squisitamente" concludere (senza quella tediosa sequela di passaggi impostati da Erasmus). Cioè:
------------------(Riprendo ...)---------------

Siccome C(m,2) = m(m–1)/2 e C(n, 2) = n(n–1)/2, si ha in definitiva:

X(m, n) = [m(m–1)/2]·[n(n–1)/2] = [mn·(m–1)(n–1)]/4.

Ciao ciao
----------------

---------------
P.S.
Notevole che X(m,n) sia di 4° grado, cresca cioè molto in fretta al crescere di m ed n.
Viuol dire che punti di incrocio ... li puoi contare "sperimentalmente" (a mano) solo per m ed n piccolini.
Per esempio, già per m = n = 11 (tracciando cioè 22 segmenti) hai:
X(11, 11) = [11·10/2]^2 = 12100/4 =3025.
E chi li conta, a mano, 3 migliaia di incroci su una ventina di segmenti?

[Erasmus]

aspesi

A caso. Ognuno sceglieva il numero da cancellare fra i tre presenti in quel momento e lo sostituiva con la somma degli altri 2 meno 1.

E come faccio a ricostruire il percorso ... a ritroso?
"La somma di due numeri meno 1", partendo da numeri uguali maggiori di 1, è sempre il maggiore dei tre che figurano sulla lavagna in ogni successivo momento.
Chiaramente, ora il terzo numero (che è il maggiore dei tre) è "la somma meno 1" degli altri due:
(17 + 1967) – 1 = 1983.

Le ultime tre terne potrebbero essere state
a)
17 , Y , 1951 ––-> 17, (cancellato), 1951 –––> 17 , (17 + 1951 –1), 1951 –––>
17, 1967, 1951 –––> 17, 1967, (cancellato) –––> 17, 1967, (17 + 1967 – 1) –––>
17, 1967, 1983.

Ma anche:
b)
17, 1967, Z –––> 17, 1967, (cancellato) –––> 17 , 1967, (17+1967 – 1) –––>
7, 1967, 1983 –––> 17, 1967, (cancellato) –––> 17, 1967, (17 + 1967 – 1) –––>
17, 1967, 1983.

E come faccio io a sapere se eravamo nel caso a) o nel caso b)?
Dovrei andare, ad ogni bivio, a visitare entrambe le vie.
Ci vogliono ... decine (almeno una e mezza) di passi all'indietro per arrivare a terne dell'ordine di grandezza delle unità (come [2, 2, 2] o [3, 3, 3]).
Può darsi che almeno un percorso conduca a [2, 2, 2] e nessuno a [3, 3, 3] (o viceversa). Ma anche in tal caso, siccome senz'altro qualche percorso conduce ad altra terna iniziale, non potrei decidere se ha ragione Caio o invece Tizio o nessuno dei due.
In pratica, poi, non potrei neanche se la soluzione fosse unica e ... deterministica.
Se infatti i numeri iniziali erano piccolini, il backtraking di ciascuno del fottio di percorsi possibili è in pratica "intrattabile". (<––– Clicca sul link)

Una cosa posso dire.
Non avete giocato troppo casualmente.
Avete molto più spesso cancellato il secondo o il terzo numero che il primo.
Quel 17, quando avete smesso, era là da un bel po' ad assistere alla vostra incallita abitudine di evitare di cancellare il primo numero.

Bye, bye

[aspesi]

Erasmus

Le ultime tre terne potrebbero essere state
a)
17 , Y , 1951 ––-> 17, (cancellato), 1951 –––> 17 , (17 + 1951 –1), 1951 –––>
17, 1967, 1951 –––> 17, 1967, (cancellato) –––> 17, 1967, (17 + 1967 – 1) –––>
17, 1967, 1983.

Ma anche:
b)
17, 1967, Z –––> 17, 1967, (cancellato) –––> 17 , 1967, (17+1967 – 1) –––>
7, 1967, 1983 –––> 17, 1967, (cancellato) –––> 17, 1967, (17 + 1967 – 1) –––>
17, 1967, 1983.

E come faccio io a sapere se eravamo nel caso a) o nel caso b)?

Perché, ci noti qualche differenza fra i due casi?

Dovrei andare, ad ogni bivio, a visitare entrambe le vie.
Ci vogliono ... decine (almeno una e mezza) di passi all'indietro per arrivare a terne dell'ordine di grandezza delle unità (come [2, 2, 2] o [3, 3, 3]).
Può darsi che almeno un percorso conduca a [2, 2, 2] e nessuno a [3, 3, 3] (o viceversa). Ma anche in tal caso, siccome senz'altro qualche percorso conduce ad altra terna iniziale, non potrei decidere se ha ragione Caio o invece Tizio o nessuno dei due.

Bye, bye

Qui ci vuole un'intuizione.
Se si parte da una terna pari (2,2,2) cosa si ottiene dopo aver cancellato un numero e averlo sostituito con la somma degli altri due meno 1?
E invece partendo da una terna dispari?

[Erasmus]

aspesi

Perché, ci noti qualche differenza fra i due casi?

E come no?
In ogni terna, un numero è la somma degli altri due meno 1 e ciascuno degli altri due è la differenza dei numeri diversi da lui più 1.
Nel caso
a) 17, Y, 1951
potrebbe essere Y = 1951 – 17+1 = 1935 oppure Y = 1951 + 17 – 1 = 1967
Cioè la terna ha l'alternativa:
17, 1935, 1951 oppure 17, 1967, 1951
Nel caso
b) 17, 1967, Z
l'alternativa è:
17, 1967, 1983 oppure 17, 1967, 1951
Vedi che c'è la possibilità che due colpi fa ci sia stata questa o quella terna di 3 terne distinte.

aspesi

Qui ci vuole un'intuizione.
Se si parte da una terna pari (2,2,2) cosa si ottiene dopo aver cancellato un numero e averlo sostituito con la somma degli altri due meno 1?
E invece partendo da una terna dispari?

D'accordo: mi fai notare che partendo da tre numeri tutti dispari ogni terna successiva è fatta da numeri dispari. Partendo invece da 3 numeri pari, per forza cancelli un pari e lo sostituisci con un dispari. Dopo di che tutte le terne saranno di due pari ed un dispari.
[Aggiungo: se parti da 2 dispari ed un pari o [cancellando il pari] caschi e resti in 3 dispari oppure [cancellando un dispari] caschi e resti in 2 pari ed un dispari].
Allora scopro che [2, 2, 2] non va bene. Ma non so mica se va bene [3, 3, 3]!
Se mi avessi proposto di sceglere tra [2, 2, 2] e [1, 3, 5], scartando la terna [2, 2, 2] avrei dovuto optare per [1, 3, 5] che non ha niente a che fare con [3, 3, 3].
Insomma: mi suggerisci un criterio per scartare una opzione. Ma questo criterio non va bene per garantire l'altra opzione.

Ciao, ciao

[aspesi]

Erasmus

D'accordo: mi fai notare che partendo da tre numeri tutti dispari ogni terna successiva è fatta da numeri dispari. Partendo invece da 3 numeri pari, per forza cancelli un pari e lo sostituisci con un dispari. Dopo di che tutte le terne saranno di due pari ed un dispari.
[Aggiungo: se parti da 2 dispari ed un pari o [cancellando il pari] caschi e resti in 3 dispari oppure [cancellando un dispari] caschi e resti in 2 pari ed un dispari].
Allora scopro che [2, 2, 2] non va bene. Ma non so mica se va bene [3, 3, 3]!
Se mi avessi proposto di sceglere tra [2, 2, 2] e [1, 3, 5], scartando la terna [2, 2, 2] avrei dovuto optare per [1, 3, 5] che non ha niente a che fare con [3, 3, 3].
Insomma: mi suggerisci un criterio per scartare una opzione. Ma questo criterio non va bene per garantire l'altra opzione.

Ciao, ciao

Intanto, hai scoperto che [2, 2, 2] non può essere la terna di partenza.
Perché le sequenze (ddd) e (ppd) sono stabili (p=pari, d=dispari)
E avendo ottenuto alla fine una sequenza (ddd), si può essere partiti solo da:
[ddd]
oppure
[pdd]

Risposta: la sequenza iniziale (3, 3, 3) risulta compatibile con il risultato finale (17, 1967, 1983)

A questo punto, la successione dei passi potrebbe essere stata:
3 , 3, 3
3, 3, 5
3, 5, 7
..........
(prosegui tu)

[Erasmus]

aspesi

[...]
Risposta: la sequenza iniziale (3, 3, 3) risulta compatibile con il risultato finale (17, 1967, 1983)

Cerco un individuo sano. Scarto Tizio che ha il diabete. Caio non è diabetico.
Mica per questo sono sicuro che Caio è sano!
Fuori metafora: So che [3, 3, 3] non ha il tipo di incompatibilità che invece ha [2, 2, 2].
Da qui a dire che " [3, 3, 3] risulta compatibile con [17, 1967, 1983] " ce ne corre!
Infine, anche se trovassi una sequenza di terne che mi fa passare da [3, 3, 3] a [17, 1967, 1983] ... non ha nemmeno senso dire che quella iniziale era proprio [3, 3, 3].
Potrebbe essere stata una qualsiasi terna intermedia della sequenza trovata (che incomincia con [3, 3, 3] e finisce con [17, 1967, 1983]) o, magari, qualche altra. Penso, infatti – ma non sono sicuro – che siano parecchie le sequenze che passano per la terna finale senza passare obbligatoriamente per i termini precedenti.

aspesi

3 , 3, 3
3, 3, 5
3, 5, 7
..........
(prosegui tu)

Eh no! Non hai messo i numeri al posto giusto!
Metto in grassetto il numero che poi cancelli per mettere al suo posto la somma degli altri due meno 1.
3, 3, 3
3, 3, 5 oppure 3, 3, 5
3, 7, 5 oppure 7, 3, 5.

Vedi che 3, 5, 7 proprio non ci sta.

Riprendo da capo e continuo a modo mio.
3, 3, 3
5, 3, 3
5, 7, 3
9, 7, 3
9, 11, 3
13, 11, 3
13, 15, 3
17, 15, 3 (continua)
Da questo punto in poi non cancellerò più il primo numero. Qui resterà 17 in eterno.
Devo poi far in modo che il terzo numero alla fine sia uguale al secondo più 16.
D'ora in poi, o cambia il 2° numero che diventa il 3° più 16, o cambia il 3° che diventa il 2° più 16. Provo a cambiare alternativamente il 3°, il 2°, il 3° ...
17, 15, 31
17, 47, 31
17, 47, 63 (continua)
Mi pare di andar bene perché
47 = 2*16 + 15; 63 = 3*16 + 15; 1967 = 122*16 + 15; 1983 =123*16 + 15
Cioè:
• il secondo ed il terzo numero mod 16 fanno 15 come 1967 e 1983
• ogni 2 colpi il 2° ed il 3° numero crescono entrambi di 32.
• d'ora in poi ogni due colpi sarà sempre:<2° num> = (2n)*16 + 15; <3° num> = (2n+1)*16 + 15
• il contatore n crescerà di una unità ad ogni 2 colpi.
Basta allora continuare fino a che sarà n = 61 perché 1967 = 122*16 + 15 = 61*32 +15
17, 47, 63 n = 1
17, 79, 63
17, 79, 95 n = 2
17, 111, 95
17, 111, 127 n = 3
17, 143, 127
17, 143, 159 n = 4
17, 175, 159
....
17, 1935, 1919
17, 1935, 1951 n = 60
17, 1967, 1951
17, 1967, 1983 n = 61

Eccoti accontentato.

Direi che la sequenza è "ben trovata", ma (proprio per questo) mica tanto casuale!
Non appena il primo numero è 17, questo non si tocca più, si toccano gli altri due soltanto.
Ma non casualmente: sempre alternatamente.
E' come avere una progressione aritmetica di ragione 16 che comincia con 15.

 k ––> 0,   1,  2,   2,   4,    5,    6,     7,          k,          k+1,                               122,            123
Ak –> 15, 31, 47, 63, 95, 111, 127, 143, ....,16k +15, 16(k+1) +15,  ....,  16*122 +15, 16*123 +15.

Ciao ciao
-----------

[aspesi]

Erasmus

Eh no! Non hai messo i numeri al posto giusto!
Metto in grassetto il numero che poi cancelli per mettere al suo posto la somma degli altri due meno 1.
3, 3, 3
3, 3, 5 oppure 3, 3, 5
3, 7, 5 oppure 7, 3, 5.

Vedi che 3, 5, 7 proprio non ci sta.

.......

Direi che la sequenza è "ben trovata", ma (proprio per questo) mica tanto casuale!
Non appena il primo numero è 17, questo non si tocca più, si toccano gli altri due soltanto.
Ma non casualmente: sempre alternatamente.
E' come avere una progressione aritmetica di ragione 16 che comincia con 15.

 k ––> 0,   1,  2,   2,   4,    5,    6,     7,          k,          k+1,                               122,            123
Ak –> 15, 31, 47, 63, 95, 111, 127, 143, ....,16k +15, 16(k+1) +15,  ....,  16*122 +15, 16*123 +15.

Ciao ciao
-----------

E perché mai?
Metto in verticale:
3
3 ..
3 .
----
5 si toglie il terzo numero .
7 si toglie il secondo ..
e restano:
3, 5, 7

Il resto è OK
Da 17, 31, 47 in avanti si tiene bloccato il 17 e si cancella sempre il minore degli altri due numeri.
La sequenza è del tipo (17, n, n+16)
e incrementando di 16 ad ogni passo i due numeri maggiori, con altri 121 passi si arriva a (17, 31+121*16, 47+121*16) ossia a (17, 1967, 1983)

[aspesi]

Riprendo questo:

aspesi

3) La combinazione della mia cassaforte è formata da 5 cifre; purtroppo, data l'età , non la ricordo.

Il costruttore per sicurezza mi ha fornito una serie di 10 numeri con i quali è possibile risalire al numero originario.
Difatti, in ciascuno dei 10 numeri seguenti vi è una ed una sola cifra nella esatta posizione della combinazione.

06582
19086
24937
32023
45900
58064
67123
71657
81499
96880

Se guardiamo ad esempio il primo numero dell'elenco, il mio numero potrebbe essere 28560 o 22222, ma non 06111 oppure 33333.

Chi è in grado di aprire la mia cassaforte?

Solo per dare la soluzione, che è:
51983

[aspesi]

aspesi

4) I frati nel convento

In un convento di clausura, ci sono N frati (N>2) dediti al silenzio totale e al rifiuto dell'immagine (non hanno specchi).
Una notte, tutti i frati sognano contemporaneamente che almeno uno di loro è maledetto. I frati maledetti sono distinguibili da un punto nero sulla fronte.

I frati si riuniscono a mensa una volta al giorno; in questa occasione, ciascuno può vedere la fronte degli altri (ma non la sua).
Poi ciascuno si ritira nella sua cella; a quel punto, chi sa con certezza di essere maledetto deve lasciare il convento (e ovviamente sarà assente alla riunione del giorno successivo)

Dopo il sogno, ma prima della prima riunione, tutti i frati fanno questo ragionamento:
sono ipotizzabili diversi scenari:
S1: un solo frate maledetto
S2: due frati maledetti
S3: tre frati maledetti
.....
Sn : n frati maledetti

Ovviamente, uno solo degli scenari è reale: noi sappiamo (ma i frati non lo sanno!) che ci sono 7 frati maledetti.

Come fanno costoro a capirlo e dopo quanti giorni lasceranno il convento?

Si può fare questo ragionamento:

Se è reale lo scenario S1, alla prima riunione il frate maledetto vedrà che nessun altro è contrassegnato, capirà quindi di essere lui il predestinato e abbandonerà il convento.
Quindi, se è vero S1, alla seconda riunione mancherà un frate.

Se è reale S2, alla prima riunione ciascuno dei due maledetti vedrà un solo puntino; non può sapere se sia vero S1 o S2 quindi non fa nulla. Alla seconda riunione, i due vedono ancora un puntino (tutti gli altri due puntini) e nessun frate mancante; capiscono allora che S1 è falso, quindi deve essere vero S2. Conseguentemente se ne vanno e, se è reale S2, alla terza riunione mancheranno due frati.

Se è reale S3, ciascun frate maledetto vede due puntini e resta nel dubbio se lo scenario reale sia S2 o S3. Il dubbio dura per le prime due riunioni e si scioglie alla terza. Infatti, ciascuno dei tre, constatato che nessuno è andato via, capisce che S2 è falso e quindi S3 è vero, e fa fagotto. Quindi, se è reale S3, alla quarta riunione mancano tre frati.

E così di seguito per gli n scenari possibili.
Si può concludere che, in generale, se è vero lo scenario Sk, ciascuno dei frati maledetti se ne renderà conto alla k_esima riunione e quindi abbandonerà subito dopo il convento; alla riunione k+1 ci saranno k frati in meno.

[aspesi]

7) Un quadrato unitario è suddiviso in quattro rettangoli tramite due segmenti paralleli ai suoi lati.
Dimostrare che il prodotto delle aree di due rettangoli non adiacenti non supera 1/16