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Vecchio 12-03-11, 11:42   #421
aspesi
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Col campo di lato 1000 m ci stanno 116 file, alternatamente da 101 e 100 alberi (per un totale di ...) 11658 (l'ho scritto io facendo il prodotto)


------------------------
Bye bye
Eheh...
Ce ne sta qualcuno di più...

Ciao

Ultima modifica di aspesi : 12-03-11 12:08.
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 12-03-11, 19:54   #422
Erasmus
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Ce ne sta qualcuno di più...

---------------
Immaginiamo un reticolo infinito (che occupa tutto il piano), e diciamo d la distanza minima tra due nodi del reticolo.
Con questo reticolo ... triangolare [che mi pare "ottimo"], in un rombo di lato L(n) = n·d e diagonale minore lunga ancora n·d ci stanno al massimo N(n) = (n+1)^2 nodi, (compresi i 4·n nodi sul perimetro).
L'area di tale rombo è A(n) = (n·d)·[n·d·√(3)/2].
L'area occupata per nodo è dunque:
A(n)/N(n) = {[d^2]·√(3)/2} · [n/(n+1)]^2

Al tendere di n all'infinito, l'area per nodo viene quella di un triangolo equilatero di lato d (con i vertici in tre nodi "prossimi").

Su un piano infinito, in un km^2 mediamente ci stanno 11547,005383 ... alberi.

E' solo perché si prendono i nodi sul perimetro che si supera questo numero.

Sul reticolo infinito, metto in posizione qualsiasi un quadrato di lato 100·d. Poi lo sposto e lo giro opportunamente in modo da beccare il maggior numero possibile di nodi ....
....
Non capisco come possano starci più di 11658 alberi in un km^2 ...

--------
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 12-03-11 20:36.
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Vecchio 12-03-11, 21:46   #423
aspesi
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---------------
Immaginiamo un reticolo infinito (che occupa tutto il piano), e diciamo d la distanza minima tra due nodi del reticolo.
Con questo reticolo ... triangolare [che mi pare "ottimo"], in un rombo di lato L(n) = n·d e diagonale minore lunga ancora n·d ci stanno al massimo N(n) = (n+1)^2 nodi, (compresi i 4·n nodi sul perimetro).
L'area di tale rombo è A(n) = (n·d)·[n·d·√(3)/2].
L'area occupata per nodo è dunque:
A(n)/N(n) = {[d^2]·√(3)/2} · [n/(n+1)]^2

Al tendere di n all'infinito, l'area per nodo viene quella di un triangolo equilatero di lato d (con i vertici in tre nodi "prossimi").

Su un piano infinito, in un km^2 mediamente ci stanno 11547,005383 ... alberi.

E' solo perché si prendono i nodi sul perimetro che si supera questo numero.

Sul reticolo infinito, metto in posizione qualsiasi un quadrato di lato 100·d. Poi lo sposto e lo giro opportunamente in modo da beccare il maggior numero possibile di nodi ....
....
Non capisco come possano starci più di 11658 alberi in un km^2 ...

--------
Tutto perfetto, Erasmus!
Ma, come hai detto nel messaggio precedente, avanza una piccola striscia... vogliamo utilizzarla, per quanto possibile?

E allora... (un piccolo miglioramento facile ... e un altro che dovresti essere tu a calcolare meglio...)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 13-03-11, 04:08   #424
Erasmus
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... (un piccolo miglioramento ...)
Ho capito.
Invece di avere sempre un reticolo triangolare, incominci e/o termini con strisce a reticolo quadrato in modo da avere qualche riga in più da 101 alberi (invece che da 100).

Ma ... geometricamente non lo vedo come un "miglioramento

Serve una verifica (per tentativi).
a) Provo a pensare 5 file parallele da 101 alberi:
(1000 – 40)/[10√(3)/2] = 110,85 ...
Non va bene: le file vengono 115 in tutto invece di 116

b) (1000 – 30)/[10√(3)/2] = 112,0059 ... O.K.

Si incomincia e/o si finisce con file parallele non sfalsate (reticolo quadrato invece che triangolare.
Posso metterne una, 2, 3 , 4 da un lato del campo (e quindi 4, 3, 2 o una sull lato opposto).
Comunque, vengono sempre 2 soli alberi in più.
Per esempio:
• 4 file parallele da 101 alberi ciascuna (con 4 alberi ai vertici di un quadrato 10 m x 10 m) –> 404 alberi
• Resta un rettangolo di lati 1000 m x 970 m.
In esso ci stanno 112 file distanti 5√(3) m – con la prima fila [da 100 alberi] pure distante 5√(3) m dalla 4ª – su reticolo triangolare perché 970/[10·√(3)/2] = 112,0059 ... > 112.
––> 56 file da 100 alberi + 56 da 101 = 56·(201) ––> 11256 alberi.

Totale: 404 + 11256 = 11660 alberi.

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Vecchio 13-03-11, 09:53   #425
aspesi
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Ho capito.
Invece di avere sempre un reticolo triangolare, incominci e/o termini con strisce a reticolo quadrato in modo da avere qualche riga in più da 101 alberi (invece che da 100).

Ma ... geometricamente non lo vedo come un "miglioramento

................

Totale: 404 + 11256 = 11660 alberi.

-----------------


----------------------------

Penso però che, a scapito di geometria elegante e di simmetria, ci si possa mettere ancora qualche albero in più...

Infatti, se partiamo dal primo filare (101 alberi) e alterniamo con un filare da 100 alberi, dopo il 115.o filare, che e' di 101 alberi, si avanza una striscia lunga 1km e larga 12.731 m.

Qua, facendo qualche contorsione e sfalsando, si dovrebbero poter sistemare 104 o 105 alberi, (per i calcoli, Erasmus, se hai voglia, io aspetto...), la qual cosa porta il numero totale a 11662 o 11663...

http://i51.tinypic.com/29vjlp5.jpg

(E se il campo fosse rotondo, cioè un cerchio di 1 km di diametro, quanti alberi ci potrebbero stare?
Riesci a determinarlo in modo meno grossolano di quanto io sappia fare con il rapporto delle aree?)


Ultima modifica di aspesi : 13-03-11 10:36.
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Vecchio 14-03-11, 02:01   #426
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... facendo qualche contorsione e sfalsando, si dovrebbero poter sistemare 104 o 105 alberi, (per i calcoli, Erasmus, se hai voglia, io aspetto...), la qual cosa porta il numero totale a 11662 o 11663...

http://i51.tinypic.com/29vjlp5.jpg
Questa figura:
=> studio.png
l'ho fatta scrivendo sopra una copia di quella che hai mostrato tu per spiegare cosa intendevi per "contorsione e sfasamento".

Seguendo quell'idea, al posto di una fila rettilinea da 101 alberi si può mettere una fila un po' a zig-zag. e quindi un po' più numerosa.

[Leggere per bene tutto quel che c'è sulla figura, ... capirne e memorizzarne il significato!]

Mettiamo nella figura le coordinate cartesiane: x in orizzontale e y in verticale.
Chiamo "a" la distanza di 10 metri (minima) tra nodi vicini.
I nodi di questa fila a zig-zag hanno ascisse a passo
∆x = 0,9617767584787·a
Il lato del campo è L = 100·a.
Ora risulta L/∆x = 100/0,9617767584787 = 103,9742 ...
Quindi su questa linea a zig-zag per un pelo NON ci stanno 105 nodi con distanza a tra nodi consecutivi.
Ma occorre stare attenti a dove metterli!
Diciamo ∆y la differenza tra l'ordinata della 115ª fila e l'ordinata dei nodi alti di questa 116ª fila a zig-zag.
Seguendo l'impostazione suggerita dalla tua figura, risulta ∆y = 0,9992692248·a < a.
Ora il 2° nodo di quest'ultima fila a zig-zag (primo suo nodo alto) dista esattamente a dal 2° nodo della penultima fila (rettilinea, di 101 nodi a passo a)
Siccome ∆x < a, i nodi alti dell'ultima fila (a zig-zag), risultano (orizzontalmente) più fitti dei nodi di posto pari della penultima fila. Il 54° nodo della fila a zig-zag casca quasi alla stessa ascissa del 52° della fila rettilinea soprastante. [Controllare nella figura!] Qui non ci posso mettere l'albero perché disterebbe da quello più vicino un pelo meno di a.
Per stare allora con i 104 alberi nel filare a zig-zag, basta metterne 53 (o 52 o 51) (sempre a zig-zag) partendo dal vertice in basso a sinistra e i restanti 51 (o 52 o 53 rispettivamente) partendo dal vertice in basso a destra.
[La cosa viene comoda perché per un pelo soltanto non ci stanno 105 nodi,; ossia, in ascissa avanza "gioco" di quasi un passo].

Ma ... tutto questa attenzione (avuta nella speranza che ci stessero 105 nodi nell'ultima fila a zig-zag, ma poi andata delusa) è superflua una volta accertato che i 105 nodi non ci stanno.
Pensiamo ancora un'ultima fila a zig-zag, ma mettiamo i suoi nodi alti esattamente a distanza a da penultima fila. Allora non dovremmo più preoccuparci di dove cascano le ascisse di questi nodi.
Fatti i conti, siccome ∆y era prima davvero un pelo soltanto minore del passo a, il nuovo passo in ascissa – diciamolo ∆x' – viene solo un soffio più lungo del ∆x di prima.
Prima era ∆x = 0,9617767...·a.
Ora viene ∆x' =0,9619845...·a
Risulta dunque
L/∆x' = 103,95176...
[invece di L/∆x = 103,9742...]

Quindi ci stanno (comodi!) ancora 104 alberi nell'ultimo 116° filare, fatto a zig-zag, con uno scarto di ordinata di (circa) 2,731 m.

In totale gli alberi sono dunque:
58*101 + 57*100 + 104 = 11662

---------------------
In un cercchio di diametro 100·a, per un reticolo infinito triangolare a passo a, mediamente di alberi ce ne stanno
[(50^2)*π]/[(√(3)/2] = 9068,9968 ...
Il meglio che si può fare è avere una simmetria centrale, con 3 file diametrali da 101 alberi messe come le 3 duiagonali massime di un esagono regolare.
Insomma: al massimo 6 alberi sulla circonferenza.

Il conteggio effettivo ... è scorbutico da fare.
Occorrerebbe fare per bene il conteggio degli alberi che stanno in un segmento di cerchio con corda lunga come il raggio (500 m, 51 alberi in fila rettilinea).

Dovrebbero essere 9071 o 9072 alberi al massimo.
-------------
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Vecchio 14-03-11, 10:22   #427
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Erasmus, grazie.

Ho dato solo un'occhiata (sto seguendo la situazione in Giappone), approfondirò in seguito.

Sono contento di aver ... indovinato a occhio ... (avevo scritto: "si dovrebbero poter sistemare 104 o 105 alberi la qual cosa porta il numero totale a 11662 o 11663...")

Sempre per intuito, non sono però convinto (se hai scritto questo) che il miglior zig-zag debba sempre posizionarsi su 2 file parallele con sempre lo stesso scarto di ordinata.
L'ottimizzazione richiederebbe un avvicinamento ed allontanamento dalla fila regolare superiore, fermo restando che un abero sì e uno no cada sempre sul confine dell'ultima fila (sei proprio sicuro che così non ce ne possano stare 105?)

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-03-11, 13:40   #428
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In un cercchio di diametro 100·a, per un reticolo infinito triangolare a passo a, mediamente di alberi ce ne stanno
[(50^2)*π]/[(√(3)/2] = 9068,9968 ...
Il meglio che si può fare è avere una simmetria centrale, con 3 file diametrali da 101 alberi messe come le 3 diagonali massime di un esagono regolare.
Insomma: al massimo 6 alberi sulla circonferenza.

Il conteggio effettivo ... è scorbutico da fare.
Occorrerebbe fare per bene il conteggio degli alberi che stanno in un segmento di cerchio con corda lunga come il raggio (500 m, 51 alberi in fila rettilinea).

Dovrebbero essere 9071 o 9072 alberi al massimo.
-------------
Io pensavo di sistemare gli alberi sulla circonferenza di anelli concentrici distanti 10 m.
Però non saprei fare il calcolo e se viene di meno o di più rispetto all'esagono che dici.

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-03-11, 14:02   #429
Mizarino
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Predefinito Re: Qualche quiz

Io pianterei gli alberi secondo un reticolo esagonale a facce centrate, e me ne fregherei se lungo i bordi rimangono dei "difetti reticolari" ... Non sarà qualche albero in meno che mi guasta la piantagione ...
Mizarino non in linea   Rispondi citando
Vecchio 17-03-11, 15:05   #430
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Mizarino Visualizza il messaggio
Io pianterei gli alberi secondo un reticolo esagonale a facce centrate, e me ne fregherei se lungo i bordi rimangono dei "difetti reticolari" ... Non sarà qualche albero in meno che mi guasta la piantagione ...
Mi pare sia quello che suggeriva Erasmus...
E probabilmente sarebbe la soluzione migliore

aspesi non in linea   Rispondi citando
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