Qualche quiz

[nino280]

Ciao,ciao.

[nino280]

Il concetto geometrico è molto antico, ma i termini "rapporto aureo","sezione aurea","numero aureo" hanno una origine molto più recente.

Il termine "sezione aurea" sembra essere stato usato per la prima volta nel 1835 dal matematico Federico Martin Ohm nella seconda edizione del suo libro "La matematica elementare pura"; il simbolo consueto per indicare il numero aureo era la lettera greca Τ (tau), iniziale di tomè=sezione.
Il simbolo Φ per il numero aureo fu introdotto all'inizio del xx secolo dal matematico americano Mark Barr, dall'iniziale del nome di Fidia, grande scultore dell'antica Grecia,il quale, secondo numerosi storici, lo utilizzò nelle sue opere più importanti, come il Partenone di Atene.
Ciao,ciao

[nino280]

Ø Ø Ø ♫ § ☺ ♂ ¾ Ñino e via di seguito !!!!!!
Evviva, ci sono riuscito, ci ho messo 8 anni, ma alla fine, cioè da questo momento, riesco a scrivere i caratteri ASCII, finalmente.
Ciao
Ho sottomano la tabella con 255 simboli e caratteri, non vedo però gli operatori matematici tipo radice quadrata che sarebbe anche utile.
Ciao

[Erasmus]

Ancora questo:

aspesi

In qualsiasi poligono regolare, posto = 1 il raggio del cerchio circoscritto, che cosa si ottiene se si moltiplicano fra loro le distanze fra un dato vertice e tutti gli altri ? (io non ho capito perché )

Finpra, possiamo dire: «Perché SI'», avendo sperimentato che è così anche se non abbiamo capito!
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@aspesi

Ho scritto il paper che avevo promesso.
E' di due pagine.

Lo metto qui.
Dai, aspesi: fa uno sforzo e guarda se ti riesce di andare avanti ... dove io non so procedere!

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[aspesi]

Erasmus, non mi sopravvalutare (in particolare per le nozioni teoriche)

Ho cercato di seguire tutti i passaggi del tuo papier e ... mi è venuto il mal di testa (che è rimasta vuota! )
Senza riuscire, non dico a trovare una parvenza della dimostrazione che cerchi, ma neppure a capire se, ammesso che si riesca a completare il tuo ragionamento, il procedimento da te seguito sia una strada percorribile per trovarla.

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(... e poi sei tu a lamentarti della decadenza...

[Erasmus]

aspesi

... e poi sei tu a lamentarti della decadenza...

Io non mi lamento. La constato e basta!
Ma poi ... «non si parla di corda a casa dell'impiccato!»
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Ho trovato un'altra cosa, sempre a proposito di questo argomento.
Se n (dispari) è una potenza di un altro dispari, per esempio n = b^2, continuando con la prostaferesi, si semplifica tutto fino che resta la potenza della base, (P(n) = b·P(b) nell'esempio).

Mi spiego con n = 9 = 3^2, dove alla fine mi viene P(9) = 3·P(3).

[NB: in quel che segue, i simboli c1, c2, c3 ... e in generale ck per k da 1 a n–1 stanno a significare cos(π/n). cos(2·π/n), cos(3·π/n) ... e in generale ck = cos(k·π/n).]

Abbiamo già visto che, per n = 7 e n = 11, si arriva [rispettivamente] a:
P(7) = 7 – (1 – c1 + c2 – c3 – c4 + c5 –c6) = 7 – 0
perché, essendo ora ck = cos(kπ/7), la somma tra parentesi è la proiezione sull'asse delle x di una stella di 7 vettori di modulo 1 a simmetria centrale (cioè a somma nulla).

P(11) = 11 – (1 – c1 + c2 – c3 – c4 + c5 – c6 + c7 – c8 + c9 – c10) = 11 – 0
perché, essendo ora ck = cos(kπ/11), la somma tra parentesi è la proiezione sull'asse delle x di una stella di 11 vettori di modulo 1 a simmetria centrale (cioè a somma nulla).

Invece con n = 9, sempre continuando con la prostaferesi e semplificando poi quel che si può, si trova
P(9) = 6 + 6 c3.
Siccome ora c3 = cos(3π/9) = cos(π/3) = 1/2, si trova ancora P(9) = 9.
Ma, senza usare la conoscenza dei valori dei coseni, si può fare così [ora che ck = cos(kπ/9) e quindi c6 = coa[(9–3)·π/9] = cos(π – 3·π/9) = –c3]:
P(9) = 9 – 3(1 –2·c3) = 9 – 3(1 – c3 + c6) = 3·[3 –(1 – c3 + c6)] =
= 3{3 – [1 – cos(3π/9) + cos(6π/9)]} = 3·{3 – [1 – cos(π/3) + cos(2π/3)]} = 3·P(3)
Infatti ora 1 – cos(π/3) + cos(2π/3) è la proiezione sull'asse x di una stella di tre vettori a simmetria centrale (come la stella della Mercedes).

Invece, provando con n = 15 = 3·5, non ho trovato qualcosa di equivalente.
E' vero che nel prodotto di P(15) si può evidenziare il prodotto di entrambi i fattori P(3) e P(5) – cioè proprio P(3)·P(5) – e che il prodotto dei rimanenti fattori (provato con la calcolatrice grafica) dà 1: ma la cosa non si vede affatto (se non si prova appunto con i valori dei coseni, introdotti automaticamente dalla calcolatrice facendole calcolare quel prodotto), mentre si arriva ancora all'espressione:
P(15) = 15 – (1 – c1, + c2 – c3 + c4 – ... + c11 – c12 + c13 – c14) = 15 – 0 = 15.

Ma da qualche parte ci deve pur essere una dimostrazione generale di questo teorema!
E magari è anche facile, come spesso succede ... "col senno di poi".
Il problema è trovarla. La ricerca è difficile perché non si sa con che parole–chiave cercare.
[Magari il teorema ha un nome di un matematico, del tipo "Teorema do Pinco Pallino"].
A chi ci si potrebbe rivolgere?
Una volta c'era Piotr che di storia della matematica e dei matematici ne conosceva parecchia.
Adesso non si fa vivo nemmeno ed invo-evo–carlo!
[Ricevo ogni mese la rivista "Rudi Mathematici". L'ultima volta, avendo trovato un piccolo errore grafico in un quiz ... che però invalida il quiz stesso – cioè: un "≥" (maggiore o uguale) al posto di "≤" (minore o uguale) – gli ho scritto, per segnalarglielo. Ma non mi ha risposto!]
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[Erasmus]

Erasmus

Ispirato dall'ultimo quiz di Nino II (aspesi), [V. #1218], mi va di complicarlo un po'.
[...]
1) Di una piramide a base quadrata ABCD e vertice P si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale, cioè:
a = PA = 39 cm;
b = PB = 33 cm;
c = PC = 52 cm.
Inoltre si sa che gli spigoli PA e PC sono ortogonali uno all'altro.
Determinare la lunghezza q del lato della base e l'altezza h della piramide.
Stabilire anche la posizione di H (piede della perpendicolare per P al piano di base nello stesso piano) dicendo se H è interno od esterno al quadrato di base.

2) Di una piramide a base quadrata ABCD e vertice P si conoscono le lunghezze di tre spigoli della superficie laterale, cioè:
a = PA = 39 cm;
b = PB = 33 cm;
c = PC = 52 cm.
Inoltre si sa che, tra le infinite piramidi con tali dati, questa è quella di volume massimo.
Determinare la lunghezza q del lato della base e l'altezza h della piramide.
Stabilire anche la posizione di H (piede della perpendicolare per P al piano di base nello stesso piano) dicendo se H è interno od esterno al quadrato di base.

Questo era rimasto irrisolto
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[aspesi]

Erasmus

Questo era rimasto irrisolto
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1) q=65/RADQ(2)
Il resto lo lascio, se vuole, al cad di Nino....

[Erasmus]

aspesi

1) q=65/RADQ(2)
Il resto lo lascio, se vuole, al cad di Nino....

Spiritoso!
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Speravo che Miza intervenisse [e magari anche Luciano ... e Rob77 – come mai non si vede più? –]

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Ho fabbricato un paper con la discussione completa di questo quiz.
E' in due pagine.
Posto adesso la prima pagina. E' una introduzione, i quiz non sono espressamente risolti!
La seconda puntata ...a domani!

Quiz_Piramide, pag. 1 di 2

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[aspesi]

Non ho guardato il tuo papier (che probabilmente avrei difficoltà a seguire ) ...

Ho fatto questo ragionamento:
- Conoscendo le lunghezze degli spigoli AP, BP, CP e DP (quest'ultimo si calcola), si possono calcolare con Erone le aree delle due superfici laterali triangolari APD (=887,5860) e BPC (=748,1036).
-Da queste si determinano le altezze, cioè le apoteme delle due facce opposte della piramide:
ap_APD = 38,6227
ap_BPC = 32,5532
-A questo punto, con Pitagora si scrivono due equazioni alle due incognite H - y (e H - (q-y))
ap_BPC^2 = H^2 + y^2
ap_APD^2 = H^2 + (65/radq(2) - y)^2
Da cui, per sottrazione:
ap_APD^2 - ap_BPC^2 = 65^2/2 -(2*65/radq(2))y
e quindi:
y = 18,2814
e H = 26,935

Ho sbagliato?
Non va... Facendo i calcoli con gli altri due triangoli (il piede H cade a sinistra fuori dal quadrato ABCD, la x è negativa) ... ma mi viene un H diverso...