Easy quiz(zes): but mathematical!

[nino280]

ANDREAtom

Mi ricorda la conchiglia NAUTILUS; ci deve essere una ragione biologica per quella forma particolare, chissa qual'è....

https://i.postimg.cc/CL6ML9K5/10-Ottobre-5.png

Questo è un libro di un paio che ho sulla rapporto o sezione Aurea.
Ed è raffigurato in copertina proprio il Nautilus
Ciao

[nino280]

Ripeto il messaggio riguardante il mio libro.
Perchè non so perchè nel precedente il l'immagine non si vede direttamente senza cliccare sul link
Ciao

[Erasmus]

aspesi

[...] la parte rettangolare HFGD, di 18 quadratini, [...]
parte quadrata AEFH [...]
Di quanti quadratini è formata la parte quadrata EBCG ?

Troppo facile!
135 – 18 = 117.
Occoore treovare due qudrati con somma 117.
Il maggiore dei due quadrati è la risposta giusta.
Basta detrearre a 117 i quadrati minori di 117 in ordine devrescente e vedere se ilresto è un quadrato.
117 – 100 = 17 no;
117 – 81 = 36 = 6·6 SI'!
117 – 64 = 53 no;
117 – 49 = 68 no;
117 – 36 = 81 = 9·9 SI'
117 – 25 = 92 no.

Risposta: 81
––––––––

[Erasmus]

nino280

[...] Mi pare angolo al vertice 36°
Ed è qualcosa imparentata con il pentagono.

Certo!
In un pentagono due diagonali hanno sempre un estremo comune e gli altri duie estremi come estremi di un lato derl pemtagono.
Il triangolo isoscele Ti fatto da due diagonali di un pentagono e dal lato del pentagono con estremi nei loro estremi distinti è proprio quello che, "roteantdo" , genera la spirale logaritmica in questione. L'angolo al vertice di Ti è di 36 gradi e gli altri due di 72 gradi ciascuno. E' così che la bisettrice b di uno di questi divide Ti in due triangoli pure isosceli di cui uno è simile a Ti. Ciò comporta che la bisettrice b sia la sezione aurea del lato lungo di Ti.

Sia a il rapporto aureo [√(5)+1]/2.
cos(36°) = sin(54°) = [√(5) + 1]/4 = a/2:
sin(i8°) = cos(72°) = [√(5) – 1]/4 =2/a.
––––––––
Sia x = 18°.
Allora
2·18° = 36°; 3x = 54° e 36 + 54 = 90;
sin(2x) = cos(3x)= cioè
2·sin(x)·cos(x) = 4·[co(x)]^3 – 3·cos(x) ==> 2·sin(x) = 4·[cos(x)]^2 – 3 ==>
===> 2·sin(x) = 1 – 4·[sin(x)]^2.
Posto per comodità s = 2sin(x) abbiamo l'equazione
s^2 + s – 1 = 0 ==> s = [–1 ± √(1 + 4)]/2 ==>
==> 2·sin(x) = 1/a oppure sin(x) = – a/2 (per x = – 54° ≠ 18°).
–––

[nino280]

Mi ricordavo bene.
Non sono smemorato.
Anche se comincio ad avere i primi sintomi.
Ieri non mi veniva in mente l'acqua minerale che bevo da 15 anni a questa parte e sarebbe la Rocchetta
Poi volevo ricordare un'altra acqua famosa la San Bernardo e neanche quella mi veniva.
Tant'è che mi sono preoccupato.
Ciao

[nino280]

nino280

Sulla falsa riga di questo quiz, vale a dire di un rettangolo che si trasforma poi in due quadrati, metto un famoso giochino di rettangoli roteanti o se vogliamo dire anche quadrati roteanti, a secondo del punto di vista.
Il rapporto che c'è fra l'altezza e la base del primo rettangolo grande da cui sono partito non ve lo dico
E' un disegno che non so quante altre volte ho già fatto qui nei Rudi, ma ho sempre più difficoltà ad andare a cercare ndo sta.
Faccio prima a rifarlo.
A dimenticavo, visto che c' ero, mi disegno anche la spirale inerente.
Ciao
E questo disegno lo dovevo già fare la settimana scorsa, perchè c'era un quiz non ricordo più quale che lo esigeva o che lo suggeriva.
Ma io devo aspettare l'ispirazione ed il momento propizio.

Rimetto questo disegno per poterne riparlare magari approfondire o chiarire e mi quoto in modo che posso fare riferimento a quello che dico.
Questa spirale l'ho fatta io, oltre che non mi piace molto, mi chiedevo, ma è giusta?
Se osserviamo le 4 curve, quelle più grandi le ho realizzate con 4 raggi diversi, puntando con il compasso (ipotetico) lì dove i lati fanno 90° va bè se cerco di spiegare poi faccio confusione, si capisce dove ho puntato.
Ma essendo 4 detta curva ha 4 raggi di curvatura diversi che se ricordo bene sono 1/R
Ora è evidente che questi raggi di curvatura cambiano "bruscamente nella congiunzione fra un quadrato e quello adiacente.
Ma allora che spirale è? Del cavolo.
Se prendiamo ad esempio la spirale di Archimede (anche qui vado molto a memoria) pur essendo il passo della spirale costante, il raggio di curvatura non cambia mai bruscamente, cambia sì ma in modo costante.
Ho ben presente visivamente e quindi mentalmente una spirale di Archimede.
Tutti i mandrini (parlo ora dei torni) ne hanno una perfetta nel loro interno è pure rettificata cioè lavorata alla rettifica. Metterò un' immagine dopo che l'avrò cercata cos' rendo bene l'idea. E' diciamo una filettatura anche se parlare di filetto è azzardato, un filetto radiale a sezione rettangolare. Ma ripeto cercherò una immagine.
Ciao

Ciao
Mi sono quotato. Perchè ho fatto una considerazione su quella spirale
Leggere a partire dall' emoticon dalla smile che saluta.
Ciao

[aspesi]

nino280

Ieri non mi veniva in mente l'acqua minerale che bevo da 15 anni a questa parte e sarebbe la Rocchetta

Ciao

Plin plin

Io preferisco le acque Eva, Sant'Anna, Lauretana e Pian della Mussa. Per spendere poco la Guizza.

[Erasmus]

aspesi

Plin plin [...]

Lasciamo erdere le acque minerali, se no ... stiamo involontariamente facendo pubblicità ...o anti-pubblicità! Credo che in questo forum siano entrambe vietate
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La cosiddetta "spirale logaritmica" è detta così perché si considera variabile indipendente la distanza di un suo punto P dal "polo" O (che è il punto a cui tende il punto P girando nel vwerso in cui la spirale diventa sempre più compatta) – distanza che è il modulo ρ el raggio vettore O ––>P – e variabile dipendente (funzione di ρ) l'angolo θ di inclinazione di OP su un versore di riferimento, (per esempio quello del semiasse positivo delle ascisse). Infatti l'equazione della spiale logaritmica generica è del tipo:
θ = k·ln(ρ/ρo). (*)
Il logaritmo naturale è la funzione inversa della funzioone esponenziale di base e (con variabile indipendente θ e raggio ρ) funzione esponenziale di θ):
ρ = ρo e^(θ/k). (**)
Mi pare che gli "astrofili" dilettanti abbiano più confidenza con le funzioni in cui la variabile indipendente è un angolo e quella indipendente è una distanza ρ (funzione di quell'angolo), che non le funzioni inverse in cui èl'angolo funzione della distanza ρ.

Comunque:
Ad ogni giro il raggio cresce in un verso e cala nell'altro verso di un certo rapporto dipendente dal parametro che io ho chiamato k.
La spirale di nino280 (quella che assomiglia alla forma del "nautilus") ha il raggio che cresce nel rapporto aureo a ad ogni quarto di giro, ossia in un giro cresce nel rapporto
a^4 = e^[4ln(a)]
dove a è il rapporto aureo [√(5) + 1]/2 ≈ 1,618.
La sua equazoione è dunque:
ρ = ρo e^[(2/π)ln(a)θ)
cioè del tipo (**) – che ripeto –
ρ = ρo e^(θ/k)
dove è
k = π/[2ln(a)]
ossia cresce ad ogni giro nel rapporto
ρ(θ+2π)/[ρ(θ)] = e^[4ln(a)] = a^4 ≈ 6,8541.
Se al posto del rettangolo con i lati nel rapporto aureo a considerismo il triangolo isoscerle con l'angolo alvertice di 36 gradi (come nella variante proposta da aspesi, e quindi ancora col rapporto aureo tra il lato lungo e quello corto), in un giro il raggio ρ cresce nel rapporto
a^(10/3) ≈ 4,973.
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[aspesi]

Il triangolo isoscele in figura è diviso a metà dell'altezza, che misura i 2/3 della base. Il quadrato inclinato, a sinistra, ha il lato di 35 mm.
Quanto misura, in mm, il lato del quadrato di destra?

[ANDREAtom]

37 mm