Easy quiz(zes): but mathematical!

[Erasmus]

aspesi

Questo è facile se si ricorda il teorema della potenza di un punto esterno ad un cerchio rispetto a quel cerchio
«Sia P un punto esterno al cerchio Gamma di centro C e raggio r.
Sia d la distanza di P dal centro C di Gamma, sia cioè d = PC.
Da P si tracci una semiretta s che intersechi Gamma e siano A e B i punti di intersezione.
Si dimostra facilmente che il prodotto
PA·PB
(detto "potenza di P rispetto al cerchio Gamma")
non dipende dall'inclinazione della secante s sulla retta per P e per il centro C di Gamma.
Quando la secante passa per il centro di Gamma si ha
PA·PB = (p – r)·(p + r) = p^2 – r^2.
Alla massima inclinazione della secamte su PC, la secante diventa tangente al cerchio Gamma in un punto T e allora
PT^2 = p^2 – r^2.

Venendo al quiz, se si indica con a ila lunghezza del tratto BC e con b la comune lunghezza deri tratti AB e TC, per il menzionato teorema della potenza troviamo:
a(a + b) = b^2 ==> a = {[√(5) – 1]/2 }·b <==> b = {[√(5) + 1]/2 }·a.
Tenendo conto di ciò si ha allora:
(S + S')/S = (a + b)/b = [(b^2)/a]/b = b/a ==> S/S' = (√(5) + 1)/2 ≈ 1,61803399.
––––––

[aspesi]

Una carovana attraversa un deserto utilizzando questa tabella di marcia:
Il primo giorno copre 1/10 dell’intero viaggio.
Il secondo giorno, copre un tratto equivalente ai 2/3 della strada già percorsa il giorno prima.
Continua poi in questo modo, alternando giorni nei quali percorre 1/10 della strada che ancora rimane da fare, a giorni dove percorre i 2/3 di tutto il tragitto già coperto nei giorni precedenti.

Alla fine del settimo giorno, si scopre che le restano da fare ancora Km. 22,5.

Quanto è lungo l’intero viaggio ?

[Erasmus]

aspesi

astromauh

I disegni se non sono pasticciati non ti piacciono!

–––––––––
Salvo eventuali "errori di sbaglio" risulta:
r1 = 14;
r2 = 6;
r3 = 8:
r4 = 10.
-----------------------
Oltre a scrivere due banali equazioni lineari, ho applicato 2 volte quel teorema di Euclide che, ridotto in forma metrica, dice che iin ogni triangolo rettangolo il quadrato dell'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al prodotto delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Le equazioni lineari sono:

1)       2r1 = 2r2 + 2r3  ==>  r2 + r3 = r1;
2)       4 + r3 + r2 + 2 = 2r4 ==> 2r4 = r2 + r3 + 6.

Da queste, siccome r2 + r3 = r1, viene
2r4 = r1 + 6. (*)
Notare che il cerchio di raggio r4 taglia a metà le circonferenze dei cerchi di rsggio r2 ed r3. Ecco allora applicabile quel teorema di Euclide che ho menzionato.

3)       4·(2r4 – 4) = r3^2 ==> r3 = √[4·(2r4 – 4)];
4)       2·(2r4 – 2) = r2^2 ==> r2 = √[2·(2r4 – 2)].

Sostituendo in 3) e in 4) 2r4 con r1+6 le 3) e 4) diventano
r3 = √[4(r1 + 2)];
r2 = √[2(r1 + 4)].
Sommando membro a membro e mettendo poi in conto la 1) si ha la seguente equazione in r1:
r1 = √[2(r1 + 4)] + √[4(r1 + 2)]. (**)
Si può verificare subito che questa equazione è risolta da r1 = 14. Infatti
√[2(14+4)] + √[4(14 + 2)] = √(2·18)+ √(4·16) = √(36) + √(64) = 6 + 8 = 14.
Ma è interessante risolverla con una doppia quadratura trovando che le soluzioni algebriche sono 4 di cui due sono la soluzione doppia r1 = 0, una terza è r1 = 14 ed una quarta è r1 = –2; e quindi geometricamente accettabile è solo r1 = 14.
Con una prima quadratura (ponendo per comodità x al posto di r1) la (**) diventa:
x^2 = 6x + 16 + 4√[2(x+4)(x+2)] = 4√(2x^2 + 12x + 16).
Con una seconda quadratura dopo aver isolato il radicale si trova:
(x^2 – 6x – 16)^2 = 32x^2 +192x + 256 <==>
<==> x^4 –12x^3 +4x^2 + 192x + 256 = 32x^2 +192x + 256 <==>
<==> x^4 –12x^3 – 28x^2 = 0.
Ecco allora la soluzione doppia x=0.
Per x ≠ 0 si può dividere entrambi i membri per x^2 trovando l'equazione di 2° grado:
x^2 – 12x – 28 = 0 <==> x^2 –2·x·6 + 6^2 = 36 + 28 <==> (x –6)^2 = 64 <==>
<==> x = 6 ± 8 <==>x = 14 oppure x = –2.
Ovviamente è geometricamente accrttabile solo x = 14.
Tornando da x ad r1, per r1 = 14 risulta:
r2 = √[2(14 + 4)] = √(2·18) = √(36) = 6;
r3 = √[4(14 + 2)] = √(4·16) = √(64) = 8;
r4 = (14 + 6)/2 = 20/2 = 10.
–––––––-
Mi pare che "errori di sbaglioi" non ce ne siano.
–––

[nino280]

aspesi

Una carovana attraversa un deserto utilizzando questa tabella di marcia:
Il primo giorno copre 1/10 dell’intero viaggio.
Il secondo giorno, copre un tratto equivalente ai 2/3 della strada già percorsa il giorno prima.
Continua poi in questo modo, alternando giorni nei quali percorre 1/10 della strada che ancora rimane da fare, a giorni dove percorre i 2/3 di tutto il tragitto già coperto nei giorni precedenti.

Alla fine del settimo giorno, si scopre che le restano da fare ancora Km. 22,5.

Quanto è lungo l’intero viaggio ?

Questo quiz era molto dispendioso per le mie capacità.
Allora ho chiesto aiuto al contadino del 3° piano che lavora i campi.
Si chiama Peppino.
Si perchè nella mia scala ci abita gente in gamba.
Vi ricordate anche i premi Nobel del 7° Terzillo e Pautasso?

Ciao
Peppino mi ha detto che il percorso è 120 km.

[nino280]

Rimetto lo stesso disegno perchè leggermente più chiaro, per via del fatto che mi erano sfuggiti, rimasti, alcuni punti.
Ciao

[aspesi]

nino280

Peppino mi ha detto che il percorso è 120 km.

Peppino ha ragione.
Bravo Peppino

[Erasmus]

aspesi

[...] Km. 22,5

Ti ci metti anche tu, adesso, a scrivere sbagliati i simboli metrici SI?
Non mi dire che non è importante scriverli invece correttamente!
In SI l'italiano "22,5 chilometri" si scrive "22,5 km" ed ogni scrittura diversa da questa è sbagliata!
Quindi:
• simbolo dell'unità di misura a destra del numero-valore della misura:
• "cappa" minuscol;:
• non il punto dopo il simbolo metrico (come se si trattasse di una abbreviazione).
–––––––

[aspesi]

Erasmus

Ti ci metti anche tu, adesso, a scrivere sbagliati i simboli metrici SI?

–––––––

Io mi sono solo limitato ad un copia-incolla del testo del quiz (scritto da chi l'aveva proposto).

So che per te è una grave mancanza non aver corretto questa quisquilia...

[Erasmus]

aspesi

Una carovana attraversa un deserto utilizzando questa tabella di marcia:
• Il primo giorno copre 1/10 dell’intero viaggio.
Il secondo giorno copre un tratto lungo 2/3 della strada percorsa il giorno prima.
Continua poi in questo modo alternando giorni nei quali percorre 1/10 della strada che ancora rimane da fare a giorni in cui percorre 2/3 della strada già percorsa nei giorni precedenti.
Alla fine del settimo giorno si scopre che le restano da fare ancora 22,5 km.
Quanto è lungo l’intero viaggio?

NB: Mi sono permesso di modificare un po' il testo del quiz:
• cancellando le [quattro] virgole superflue,
• correggendo l'espressione dellla strada residua dopo 7 giorni di viaggio e
• cambiando qualche parola per migliorarne il contesto.
––––––––-
Nella tabella che segue indico con x la lunghezza dell'intero tragitto.
Indico poi con:
• G il numero del giorno a partire dall'inizio del viaggio;
• D la lunghezza del percorso diurno;
• S la lunghezza della strada già percorsa;
• R la lunghezza della strada residua.
NB.: La strada percorsa nei giorni dispari è un decimo della strada ancora da percorrere alla fine del giorno precedente; la strada percorsa nei giorni pari è due terzi di quella già percorsa alla fine del giorno precedente.

G ––>    1           2           3           4           5           6           7
D ––>  x/10       x/15      x/12       x/6     7x/120   57x/180   x/48            
S ––>  x/10        x/6        x/4      5x/12  57x/120    57x/72  13x/16
R ––> 9x/10      5x/6      3x/4     7x/12    21x/40     5x/24    3x/16

In conlusione:
3x/16 = 22,5 km ⇔ x = 120 km
–––––––

[Erasmus]

aspesi

Io mi sono solo limitato ad un copia-incolla del testo del quiz (scritto da chi l'aveva proposto).
So che per te è una grave mancanza non aver corretto questa quisquilia...

Ma ... fai apposta, per provocazione?
Avevo infatti anche scritto:

Erasmus

Non mi dire che non è importante scriverli invece correttamente!

Certo che la mancata correzione è una grave mancanza ortografica di chi trascrive senza precisare che intende citare "fedelmente" uno scritto altrui!
Non solo per me, lo sai bene anche tu!! Per me in quanto d'accordo con le convenzioni internazionali.
Bada che sono io, non sei tu, ad essere in numerosa e buona compagnia! Tu ti metti in compagnia numerosissima (certo!) ma pure pessima! [Miliardi di persone costituenti "il popolo bue" dal quale in altri casi – per esempio dal punto di vista politico – tu ci tieni a ditinguerti!].
Non è "quisquilia" qualcosa che viene ripetutamente raccomandato dal BIPM (Bureau international des poids et mesures) e dal CIPM (Comité international des poids et mesures).
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Ogni grammatica insegna che i numeri sono "aggettivi". Se dico che un percorso è lungo "tre chilometri" questo "tre" è un attributo del sostantivo "chilometri"
Sai bene anche tu che, a differenza delle lingue neolatine, in inglese (come in tedesco ed in tutte le lingue germaniche) gli attributi si debbono premettere ai rispettivi sostantivi!
Tuttavia i barbari anglofoni premettono il nome della moneta (o il suo sombolo) al numero che esprime un certo valore in quella moneta!

Probabilmente questa consuetudine deriva dal fatto che, per farsi capire anche da chi non sa leggere i numeri (e/o per ridurre la probabilità di fraudolente alterazioni del valore numerico), è invalso l'uso di scrivere i valori di somme monetarie in lettere anziché (o oltre che) in cifre. In questo modo di scrivere la lunghezza delle parole che esprimono il numero varia parecchio da caso a caso. Ecco allora che nei moduli prestampati non è possibile stabilire un opportino spazio in cui scrivere il valore della somma monetaria davanti al nome della moneta.
Tuttavia io trovo davvero ridicolo leggere – per esempio – che il costo di un libro è di "euro 10,50"; (ridicolo soprattutto nella mia lingua, anche se è ormai diventato rergola scrivere così in inglese).
E certamente è INACCETTABILE – ben altro che ridicolo! – il premettere l'unità di misura al suo valore numerico quando l'unità di misura è propria del SI.
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