Easy quiz(zes): but mathematical!

[aspesi]

Erasmus

================

Quote:
aspesi
[...]
Se x e y = 0
[...]
Se x o y = 0



Quote:
Erasmus
b) Dati due numeri reali positivi x ed y, ...


Embé????
E' un reato confrontare le medie anche per gli altri casi?

[aleph]

Erasmus

c) Dare una interpretazione geometrica (chiara ed elegante!) del fatto che, se x ed y sono numeri reali positivi, allora:
√(xy) ≤ (x+y)/2

Proviamo con la dimostrazione geometrica, ma non so se sarà chiara né tantomeno elegante...

Rad(xy) è il lato di un quadrato di area equivalente a quella di qualsiasi rettangolo di lato x e y. Immaginiamo tutti i rettangoli di area unitaria. La media aritmetica dei due lati sarà compresa tra infinito e 1 ma mai inferiore...

[Mizarino]

Erasmus

Aah ... così?
Ti interessi ai miei 'post' solo quando sei rincoglionito ?

No. Per la verità Astromauh sa benissimo in che circostanze io, al mattino, leggo i post...
Ora, lo stato di rincoglionimento in quel momento dipende da quanto tempo è passato dal risveglio e dal fatto che io abbia oppure no già bevuto il caffè ...
Comunque, se si perdona la svista immediatamente prima della conclusione, tutto il ragionamento fila benissimo ...

[astromauh]

Mizarino

Caro Erasmus, visto che ogni tanto rimproveri un mio presunto disinteresse, rispondo al quiz (in genere io rispondo se e solo se - per dirla con stile matematico, intravedo la soluzione in meno di cinque minuti). Ecco dunque la "mia" soluzione.
Siano A e B i lati del rettangolo, di cui A è il minore, e sia L la loro media aritmetica, e X la metà della differenza (B-A).
Il perimetro P del rettangolo è 2*(A+B), e si può scrivere come 2*(L+X + L-X) ovvero 4*L.
L'area S sarà A*B, e dunque sarà (L+X)*(L-X) = L^2 - 2*L*X + X^2.
Poiché si ha sempre X < L, S sarà sempre minore di L^2 per qualsiasi X > 0, e sarà massima, ovvero uguale ad L^2, per X=0, quando abbiamo un quadrato.

Errore a parte, la dimostrazione data da Mizarino mi sembra leggermente prolissa perchè ricorre anche alla media aritmetica dei lati del rettangolo.
Io avrei detto cosi':


Dato un quadrato di lato x, la sua area è x^2.

I rettangoli con il perimetro uguale a questo quadrato, sono quelli che hanno una coppia di lati opposti uguali a (x + a) e quelli restanti uguali a (x - a), per cui la sua area risulterà essere (x+a) *(x-a) => x^2 - a^2.

Siccome il quadrato di un numero diverso da zero è sempre maggiore di zero, l'area del quadrato x^2 è sempre maggiore di quella del rettangolo x^2 -a^2.



OK, non c'è molta differenza.

[Erasmus]

Erasmus

c) Dare una interpretazione geometrica (chiara ed elegante!) del fatto che, se x ed y sono numeri reali positivi, allora:
√(xy) ≤ (x+y)/2

=> Media Geometrica vs. Media Aritmetica

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[Erasmus]

Un problema preso dal testo di matematica di 2ª media di quando mio figlio faceva appunto la 2ª media.

«L'area di un triangolo isoscele acutangolo è 300 cm^2 e uno dei due lati uguali è lungo 25 cm.
Determinare la lunghezza dell'altezza relativa al terzo lato».

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Aggiungo io un'altra domanda:
Perché mai è specificato che il triangolo isoscele è acutangolo?

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[astromauh]

Soluzione/i ?:

1) 20 cm

2) Forse perchè un'altra soluzione valida sarebbe meno 20 cm ?


Io già ogni tanto ho degli incubi in cui sogno di dover ripetere l'esame di maturità e di non riuscirci, e adesso tu vorresti farmi venire anche quelli di non riuscire a superare gli esami di terza media?

[aspesi]

Erasmus

Un problema preso dal testo di matematica di 2ª media di quando mio figlio faceva appunto la 2ª media.

«L'area di un triangolo isoscele acutangolo è 300 cm^2 e uno dei due lati uguali è lungo 25 cm.
Determinare la lunghezza dell'altezza relativa al terzo lato».

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Aggiungo io un'altra domanda:
Perché mai è specificato che il triangolo isoscele è acutangolo?

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Chiamando 2x la lunghezza del terzo lato del triangolo isoscele e h l'altezza da determinare, si ha:

x*h = 300
x^2 + h^2 = 25^2

la seconda equazione si può scrivere:
x^2 + h^2 -2x*h + 2x*h = 625
(x - h)^2 = 625 - 2x*h

e sostituendo x*h = 300
(x - h)^2 = 625 - 600 = 25

Da cui:
x - h = +- 5
x_1 = h + 5 ................ X_2 = h - 5

Perciò:
(h + 5)*h = 300 ......... e
(h - 5 )*h = 300

Risolvendo l'equazione di secondo grado (e trascurando le speculari soluzioni negative) si ha:
h_1 = 15 cm (e x_1 = 20 cm)
h_2 = 20 cm (e x_2 = 15 cm)

Di queste, la soluzione corretta è la seconda (altezza = 20 cm); infatti, con la prima, il lato di base sarebbe lungo più del doppio dell'altezza (40 cm contro 15) e quindi si tratterebbe di un triangolo isoscele ottusangolo.

[Erasmus]

aspesi

Chiamando 2x la lunghezza del terzo lato del triangolo isoscele e h l'altezza da determinare, si ha:

x*h = 300
x^2 + h^2 = 25^2

la seconda equazione si può scrivere:
x^2 + h^2 -2x*h + 2x*h = 625
(x - h)^2 = 625 - 2x*h

e sostituendo x*h = 300
(x - h)^2 = 625 - 600 = 25

Da cui:
x - h = +- 5
x_1 = h + 5 ................ X_2 = h - 5

Perciò:
(h + 5)*h = 300 ......... e
(h - 5 )*h = 300

Risolvendo l'equazione di secondo grado (e trascurando le speculari soluzioni negative) si ha:
h_1 = 15 cm (e x_1 = 20 cm)
h_2 = 20 cm (e x_2 = 15 cm)

Di queste, la soluzione corretta è la seconda (altezza = 20 cm); infatti, con la prima, il lato di base sarebbe lungo più del doppio dell'altezza (40 cm contro 15) e quindi si tratterebbe di un triangolo isoscele ottusangolo.

Giusto, però ...
In 2ª media si studiano la radice quadrata, le proporzioni, la similitudine tra triangoli, il teorema di Pitagora, ma non certo le equazioni di 2° grado.
Anzi: i problemi sono ancora svolti senza l'uso formale delle equazioni.

Ripercorri tutto il discorso, e procedi in modo comprensibile per il bambino di 2ª media!
Ti dò allo scopo un'ulteriore informazione: l'esercizio è preso da quelli che seguono il capitolo sul Teorema di Pitagora e sulle sue applicazioni.

[aspesi]

Erasmus

Giusto, però ...
In 2ª media si studiano la radice quadrata, le proporzioni, la similitudine tra triangoli, il teorema di Pitagora, ma non certo le equazioni di 2° grado.
Anzi: i problemi sono ancora svolti senza l'uso formale delle equazioni.

Ripercorri tutto il discorso, e procedi in modo comprensibile per il bambino di 2ª media!
Ti dò allo scopo un'ulteriore informazione: l'esercizio è preso da quelli che seguono il capitolo sul Teorema di Pitagora e sulle sue applicazioni.

E' passato troppo tempo
Ti spiace se passo la palla a qualcun altro?