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Vecchio 04-12-17, 14:33   #1151
aspesi
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Si ha un trapezio rettangolo:

Base maggiore = AD
Base minore = EC
Lato obliquo = AD + EC
Altezza = DE = 2DM

Si vede subito che
p*q = AB*BC = DM* ME = DM^2 = MB^2
AMC è un triangolo rettangolo per il secondo teorema di Euclide

Anche l'area del triangolo AMC è 1/2 dell'area del trapezio ACEDA
SADM = SABM
SECM = SMBC
perché DM = ME = MB

(Erasmus , lo so che non ti piace e non la consideri una dimostrazione... )



Cacchio, ho visto adesso che Lagoon mi ha preceduto...
aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-12-17, 15:09   #1152
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Io non mi cimento +. Perché ho già visto sia la risposta di Lagoon che quella di Aspesi.
Ciao
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nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 04-12-17, 22:58   #1153
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

https://s18.postimg.org/cmejafb89/Talete_Erasmus.png


Se si fa il disegno come Dio comanda si vedono tante cose.
Quando è stato che ho parlato di Talete? Toh, questa mattina, in miscellanea quando ho scritto che se vedo un fascio di rette parallele io penso immediatamente a Talete.
E nel disegno si vede proprio un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali come diceva Talete.
Io ho il difetto che riesco meglio a disegnare e meno a spiegarmi.
Faccio un tentativo.
Se disegno due circonferenze tangenti, la circonferenza che passa per i loro centri ma che ha anche il centro sulla congiungente ha come diametro la somma dei raggi delle circonferenze iniziali.
E raggio la loro media aritmetica, (R + r) /2
Dal disegno:
i segmenti h1 e i1 per forza di cose sono uguali fra di loro, ma per Talete anche n è uguale a m
Anche f1 è media aritmetica fra j1 e k1 (non mi ricordo se si dice media aritmetica o geometrica)
E il segmento C D è tangente alle tre circonferenze e passa per E come punto medio.
Ma poi si sa che tutti i punti che stanno su una semicirconferenza e se prendo come ipotenusa il diametro e cateti le congiungenti fra quel punto e gli estremi del diametro stesso hai sempre 90° nel vertice opposto al diametro o ipotenusa.
Poi l'ho marcato. Si vede chiaramente senza troppe parole.
Per correttezza metto i valori dei tre raggi:
j1 = 10
f1 = 8
k1 = 6
Ciao
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nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-12-17, 06:10   #1154
nino280
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Ancora + veloce senza passare ne dalle aree ne da Talete.
https://s17.postimg.org/aw76n4aan/Veloce.png


Ora ho tracciato il segmento E K = h2
Ma ora si vede subito che:
m = h2
n = h2
perché derivano da rette tangenti alla circonferenza.
Io poi trasgredendo il disegno di Erasmus ho dato delle lettere diverse a punti e segmenti e ho chiamato p e q i cateti del triangolo A E B
Questi cateti però sono anche bisettrici degli angoli C E K e di K E D
e la loro somma è 180°
quindi la somma dei due semi angoli deve essere = a 90°
Come verifica rilevo i due semi angoli (si vedono marcati in verde epsilon e tau (o sigma in greco)
52,23876° + 37,76124° = 90°
Ciao
In pratica il concetto geometrico che ci serve per questo problemino è uno solo:
dato un punto esterno ad una circonferenza e tracciate le due rette tangenti dal punto alla circonferenza, sono uguali i due segmenti che vanno dal punto ai due punti di tangenza.
Poi il resto viene da se come conseguenza.
E una prima conseguenza è quella che se congiungo il punto con il centro della circonferenza, questa terza retta è bisettrice dell'angolo fra le due tangenti.
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Ultima modifica di nino280 : 05-12-17 15:32.
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Vecchio 05-12-17, 10:33   #1155
Erasmus
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

Quote:
aspesi Visualizza il messaggio
Si vede subito che
p*q = AB*BC = DM* ME =[...]
La 1ª uguaglianza è superflua, ... la 2ª io non la vedo subito. Perché sono "ipovedente"?

–––––
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Ultima modifica di Erasmus : 05-12-17 14:06.
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Vecchio 05-12-17, 14:06   #1156
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Erasmus forse non ha ancora avuto tempo di esaminare le mie due soluzioni.
Non so se ho detto bene o sciocco.
Aspetto fiducioso
Ciao
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Vecchio 05-12-17, 14:42   #1157
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Quote:
Erasmus Visualizza il messaggio
La 1ª uguaglianza è superflua, ... la 2ª io non la vedo subito. Perché sono "ipovedente"?

–––––
Non vedi subito questa uguaglianza?
AB*BC = DM*ME = MB^2

Come dice Nino280
MB=DM perché sono segmenti che partono dallo stesso punto M e sono tangenti alla stessa circonferenza.

Quindi, i triangoli ADM e AMB sono uguali (congruenti) perché hanno i 3 lati uguali.
E lo stesso per BMC e CME

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 05-12-17, 17:44   #1158
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Quote:
nino280 Visualizza il messaggio
Ma ora si vede subito che:
m = h2
n = h2
perché derivano da rette tangenti alla circonferenza.[...]
Non va bene! Dici tutte cose vere, ma qualcuna è conseguenza di qualcosa che ancora non hai detto!
Hai detto che congiungevi E (punto medio di CD) con K (punto di tangenza delle due date circonferenze). Adesso dai per scontato che EK è pure tangente. E' vero: ma da quello che hai detto fino ad ora non si può ancora sapere.

[Ma perché hai stravolto tutti i simboli?
Hai cambiato nome ai punti ... e non solo ai punti.
Ti costava troppo usare i simboli del testo del quiz?
In questo modo si fa una fatica boia a vedere ... "se dici giusto o se dici sciocco"!].

NB: Se si parte, come dice il testo del quiz, avendo già il punto medio del segmento i cui estremi sono i punti di tangenza, Talete va benissimo!
Invece il secondo tuo approccio ha una lacuna logica (dà cioè per vera una proprietà senza averla dimostrata).

Prova a sfruttare meglio la retta tangente alle due circonferenze nel punto in cui esse si toccano!
Allora arrivi al processo logico che ho fatto io per cucinare quesrto quiz!

La dimostrazione di Lagoon è ineccepibile per logica: ma si può trovarne un'altra che non passare per le aree dei tre triangoli in cui lagoon ha scomposto il trapezio rettangolo ACED..

@ nino290, aspesi & Lagoon
[Occhio, nino280! Riprendo ad usare i simbioli del testo del quiz!]

a) [Primo modo]
Calcoliamo la lunghezza del segmento DE.
Dalla figura abbiamo subito AD = p e CE = q; e quindi:
DE^2 = (p+q)^2 – (pq)^2 = 4pqDE =2√(pq),
E siccome M è il punto medio di DE abbiamo:
DM = ME = √(pq).
Infne, sfruttando queste ultime uguaglianze e ... pitagoreggiando un po', si trova:
AM^2 + MC^2 = (p^2 + pq) + (pq + q^2) = (p+q)^2 = AC^2.
Dunque, nel triangolo ACM la somma dei quadrati dei due lati AM e MC uguaglia il quadrato del terzo lato AC.
[Donde la conclusione!]

b) [Secondo modo]

Ignoriamo per un attimo la presenza del punto medio Mdi DE.
Sia P l'interzezione con DE della perpendicolare ad AC in B. Siccome risulta DP= PB e PB = PE, ne seguei:
DP=PE.
Dunque P è il punto medio di DE, coincidente col punto che avevamo chiamato M.
In altre parole la perpendicolare ad AC per il punto medio M di DE passa per B, e quindi MB = DM.
Tracciamo per M la perpendicolare a DE: essa [per il Teorema di Talete ed essendo DM = ME] interseca AC in un punto N tale che AN = NC e quindi:
AN = NC = (p+q)/2.
Sempre per colpa di Talete abbiamo anche MN = (p+q)/2.
Ma allora anche NB = ABAN = p-(p+q)/2 = (p-q)/2.
E infine (con Pitagora):
MB^2 = MN^2 –NB^2 = (p + q)/2]^2 – [(p – q)/2]^2 = pq.
Pertanto MB/AB = √(pq)/p = √(q/p) = q/√(pq) = BC/MB.
Siccome ad aspoesi piacciono moltissimo le funzioni trigonometriche, gli faccio notare che il primo di questi rapporti, cioè:
MB/AB
è la tangente dell'angolo BAM; e l'ultimo rapporto (uguale al primo) , cioè
BC/MB
è la tangente dell'angolo BMC che è complementare dell'angolo BCM.
Dunque, nel triangolo ACM sono complementari gli angoli di vertici rispettivi A e C e quindi è retto il terzo angolo di vertice M.
Senza funzioni trigonometriche, essendo MB perpendicolare ad AC ini B, l'uguaglianza
MB/AB =BC/MBMB^2 = AB·BC
ci richiama alla mente un terema di Euclide dal quale si deduce che nel triangolo ACM l'angolo di vertice M è retto.
–––
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Vecchio 05-12-17, 18:24   #1159
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[Ma perché hai stravolto tutti i simboli?
Hai cambiato nome ai punti ... e non solo ai punti.
Ti costava troppo usare i simboli del testo del quiz?
In questo modo si fa una fatica boia a vedere ... "se dici giusto o se dici sciocco"!].

In verità non sono io che stravolgo nomi e simboli.
Quando disegno tutta la nomenclatura mi viene imposta diciamo d'ufficio dal sistema (si direbbe quasi di default) certamente ho poi la possibilità di cliccare su quello che lui mi ha imposto e rinominarlo. Ma non sempre lo faccio, pigrizia? Be forse si.
Per i punti e i segmenti lui parte da a e va fino a z lettere maiuscole per i punti. Noterete che ci sono segmenti con indice tipo f1, k1 il motivo e che evidentemente ho disegnato tutti i segmenti fino alla z, dopo di che lui ricomincia da capo con a1, b1, ecc.
Ciao
Credo che quando il sistema mi etichetta i segmenti esclude le lettere x y z che si riserva per gli assi cartesiani.
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Ultima modifica di nino280 : 06-12-17 18:08.
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Vecchio 05-12-17, 18:51   #1160
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Predefinito Re: Easy quiz(zes): but mathematical!

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Non va bene! Dici tutte cose vere, ma qualcuna è conseguenza di qualcosa che ancora non hai detto!
Hai detto che congiungevi E (punto medio di CD) con K (punto di tangenza delle due date circonferenze). Adesso dai per scontato che EK è pure tangente. E' vero: ma da quello che hai detto fino ad ora non si può ancora sapere.

Non che non ci abbia pensato a questa cosa.
Condizione necessaria e sufficiente affinché il segmento che io ho chiamato con h2 sia tangente alle due circonferenze e che sia anche"normale" all'ascissa ( visto che disegno sempre su assi cartesiani). Mentre disegnavo il dubbio mi rimaneva latente.
Ecco perché di norma alla fine dei conti faccio una verifica e questa volta era quella di sommare i due semi angoli che mi doveva dare 90°. Dopo di che aspettandomi 90 e lui mi da 90 io lascio perdere ed il dubbio che mi portavo dietro sparisce.
Comunque quello dici è da considerare.
Ho già in mente di fare un disegnino partendo al contrario.
Traccio prima la tangente poi i cerchi e vado avanti cioè all'indietro come i gamberi o un film alla rovescio.
Vediamo cosa ne viene fuori. Subito su due piedi posso anticipare che se traccio una retta e su questa retta ci sistemo due circonferenze anche di raggio diverse la tangente alle due circonferenze non può non essere normale alla nostra retta, ma questo è persino banale.
Ciao
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