Estrazioni casuali

[ANDREAtom]

Immaginavo qualcosa del genere; comunque l'effetto placebo è considerato anche dalla medicina ufficiale , quando nei casi più disperati i farmaci sono impotenti si stimola il cervello il quale può avere capacità insospettate di mettere in moto meccanismi di difesa....

[Erasmus]

ANDREAtom

Immaginavo qualcosa del genere; comunque l'effetto placebo è considerato anche dalla medicina ufficiale , quando nei casi più disperati i farmaci sono impotenti si stimola il cervello il quale può avere capacità insospettate di mettere in moto meccanismi di difesa....

Occhio!
Non facciamo confusione tra i DANNI REALI al fisico e quelli apparenti che sente una persona se ha stati di depressioone ... maniacali!
L'effetto "placebo" dà davvero la "sensazione" di star megilo (e anche di guarire da una malattia grave): ma appunto dà la sensazione, mica guarisce davvero una effettiva malattia grave (di solito non guaribile senza farmaci o senza interventi chirurgici).
Insomma: l'effetto placebo lo possono avere gli "anormali" dal punto di vista psicanelitico.
Quanto ai farmaci omeopatici, ... non servono assolutamente a nulla (nel senso di modificare davvero qualcosa nel comportamento dei vari sistemi fisiologici). Quando uno crede che gli siano stati utili vuol dire che li ha assunti per tutto il tempo in cui sarebbe guarito ugualmente.
Io trovo SCANDALOSO che le farmacie siano zeppe di prodotti omeopatici (con cui lucrano forse meno ma con uguale ordine di grandezaìa di que che lucrano con i farmaci, E ancora più SCANDALOSO trovo che la maggioranza [addirittura!] delle farmacie abbia dei granbdiosi cartelloni pubblicitari proprio dell'omeopatia.
Sono gli stessi quelli che non si vogliono vaccinare e credono di sostituire i farmaci sintetici con prodotti di erboresteria molto spesso anche vanesii perché omeopatici!
Ma il popopolo bue resta volontariamente bue!
Ci sono ancora quelli che confidano nell'omeopatia perché credono che, anche se a forza di diluire non è rimasta nemmeno una molecola della sostanza di partenza, nel solvente sia rimasta una specie di "impronta" der principio medicamentoso!
Siamo nel terzo millennio ma una grande percentuale di persone (anche colte in generale) crede a fantasiose idiozie! D'altrea parte ... basta pensare che in Campania c'è ancora un sacco di gente che crede nella "Smorfia"! [Per non parlare delle divinazioni dei "cartomanti": queste si devono fare con i "tarocchi"! Se si usano carte da Poker la divinazione non funziona!]
Magari ... sono io l'anormale!
Fatto sta che io sono convinto che in depressione ci casca chi ci crede. Io mi incazzo facilmente se le cose mi vanno storte. Ma in depressione non casco mai perché nemmeno creso che esista. Il depresso è in realtà uno che si piange addosso perché direttamente o indirettamente qualcuno, plagiandolo, gliel'ha insegnato!

Oops! Stop!
Ci leggeremo domani.
[Domani è un altro giorno ... un altro giorno in cui io continuo a sperare che ci sia qualcuno che "fa le scarpe" a quel gran figlio di put... che è Putin ("nomen omen!" si dice).
–––––––

[aspesi]

Erasmus

[Domani è un altro giorno ...un altro giorno in cui io continuo a soerare che ci sia qualcuno che "fa le scarpe" a quel gran figlio di put... che è Putin ("nomen omen!" si dice).
–––––––

E io in un mondo dove non ci siano più Putin, Xi Jinping, Biden, Boris Johnson e la Nato.
E dove liberismo e patriottismo non siano considerati belle parole.

[Mizarino]

aspesi

E io in un mondo dove non ci siano più Putin, Xi Jinping, Biden, Boris Johnson e la Nato.
E dove liberismo e patriottismo non siano considerati belle parole.

Appena un po' meno improbabile che azzeccare 40 boccette giuste su 50 scelte dal totale delle 100!...

[aspesi]

Mizarino

Appena un po' meno improbabile che azzeccare 40 boccette giuste su 50 scelte dal totale delle 100!...

[aspesi]

Il mese prossimo ho intenzione di visitare 4 grandi capitali europee, Madrid, Parigi, Londra e Berlino.

Però non ho stabilito un calendario preciso, sceglierò casualmente, di volta in volta, l'ordine delle città, cioè quale città visitare dopo quella appena vista.

Purtroppo, ho la memoria corta e quindi quando dopo aver visitato una certa città deciderò la prossima meta, terrò in considerazione tutte le altre 3, anche se le ho già visitate.
Mi spiego meglio: supponiamo che la prima tappa del viaggio sia Parigi; dopo avervi soggiornato, sceglierò la prossima meta fra le altre 3, poniamo sia Londra; dopo aver visitato anche Londra, non sceglierò la successiva destinazione solo fra Madrid e Berlino (come sarebbe logico), ma includerò anche Parigi tra la prossima tappa tra cui scegliere. E così via...

Mediamente, quanti viaggi dovrò fare (cioè qual è il valore atteso) per visitare tutte e 4 le città?

[astromauh]

Ci vorrebbe una simulazione, ma non ho il PC con me.

Ho iniziato a calcolare quante sono le probabilità di fare il giro delle quattro capitali con pochi viaggi.

Capitali

1 e 2 sicuramente bene

Fail 1/3
Ok 2/3

Fail 2/3
Ok 1/3

__________________

4. 2/9 = 6/27 = 18/81

5. 1/3 * 2/3 * 1/3= 2/27= 6/81

5. 2/3 * 2/3 * 1/3 = 4/27 = 12/81

6. 1/3 * 2/3 * 2/3 * 1/3 = 4/81

6,* 1/3 * 1/3 * 2/3 * 1/3 = 2/81

6. 2/3 * 2/3 * 2/3 * 1/3=: 8 /81

Però andando avanti i calcoli diventano più complicati, e quindi rinuncio.

[aspesi]

astromauh

Ci vorrebbe una simulazione, ma non ho il PC con me.

Ho iniziato a calcolare quante sono le probabilità di fare il giro delle quattro capitali con pochi viaggi.

Capitali

1 e 2 sicuramente bene

Fail 1/3
Ok 2/3

Fail 2/3
Ok 1/3

__________________

Ciao astromauh
Ci sei...

Soluzione di chi ha proposto il quiz:

Detto V il numero medio di viaggi per visitare tutte e quattro le città, abbiamo V=V0+V1+V2+V3 dove Vi è il numero medio di viaggi da fare per visitare una nuova città dopo averne già visitate i.

Quindi V0=V1=1

Per calcolare V2 e V3 possiamo usare la formula p(1−p)^(k−1) cioè quella che determina la probabilità di avere un successo al k-esimo tentativo dopo averne falliti k−1 (e dove p è la probabilità di avere successo).

La media di quella serie è 1/p quindi siccome è p2=2/3 e p3=1/3 ne consegue che V2=3/2 e V3=3,
concludendo che V=1+1+3/2+3=13/2

[Erasmus]

aspesi

Il mese prossimo ho intenzione di visitare 4 grandi capitali europee, Madrid, Parigi, Londra e Berlino.

Però non ho stabilito un calendario preciso, sceglierò casualmente, di volta in volta, l'ordine delle città, cioè quale città visitare dopo quella appena vista.

Purtroppo, ho la memoria corta e quindi quando dopo aver visitato una certa città deciderò la prossima meta, terrò in considerazione tutte le altre 3, anche se le ho già visitate.
Mi spiego meglio: supponiamo che la prima tappa del viaggio sia Parigi; dopo avervi soggiornato, sceglierò la prossima meta fra le altre 3, poniamo sia Londra; dopo aver visitato anche Londra, non sceglierò la successiva destinazione solo fra Madrid e Berlino (come sarebbe logico), ma includerò anche Parigi tra la prossima tappa tra cui scegliere. E così via...

Mediamente, quanti viaggi dovrò fare (cioè qual è il valore atteso) per visitare tutte e 4 le città?

A me il quiz non pare moltro difficile, semprecché il mio ragionamento sia corretto.
Aspetto dunque che aspesi – il mago della probabilità – e pure Miza – l'Illustrissimo [quasi] infallibiile – valutino il mio modo di ragionare.
Se ho capito bene, può succedere che si ripetano le visite alla stessa capitale perché, dopo il primo viaggio in visita ad una certa precisa capitale, c'è sempre un terzo di probabilità di andare a visitare una delle altre 3 prescindendo dall'averla già visitata o no.

a) La probabilità di fare solo 4 viaggi a me pare essere (2/3)·(1/3) =2/(3^2).
Infatti dopo la visita di due capitali c'è probabilità 2/3 di visitarne una terza e, se ciò succede, probabilità 1/3 di visitare la quarta.
Facciamo che la lista delle visite in ordine temporale sia del tipo (a, b, c, d).
La probabilità di fare più di 4 viaggi è dunque 7/9.
Il numero di viaggi può essere un numero intero qualunque maggiore di 4 ma con probabilità sempre minore al crescere del numero stesso.

b) Supponiamo che i viaggi siano 5.
Vuol dire che una delle 4 capitali è visitata due volte .
In questo caso
• dopo la visita della seconda città c'è probabilità 1/3 di ri-visitare la prima e, se succede, 2/3 di visitarne una terza e,s e succede, 1/3 di visitare la quarta.
Quindi (1/3)·(2/3)·(1/3) = 2/(3^3) = 2/27 è la probabilità dello schema (a, b, a, c, d).
• Ma lo schema potrebbe essere anche (a, b, c, a, d).
Dopo le visite a due diverse capitali. la provbavbilità di visutarne una terza è 2/3 e, se succede, la probabilità di rivusitare una già visitata è 2/3 e, se ciò succede, la probabilità di vcisitare la quarta è 1/3, Quindi la probabilitrà dello schema (a, b, c, a, d) è (2/3·(2/3)·(1/3 = (2^2)/(3^3) = 4/27.
Complessivamente la probabilità di fare 5 viaggi è dunque 2/27 + 4/27 = (2 + 4)/(3^3).

c) Cerco la probabilità di fare 6 viaggi.
Gli schemi possono essere del tipo:
(a, b, a, a, c, d) con probabilità (1/3)·(1/3)·(2/3)·1/3 = 2/(3^4);
(a, b, a, c, a, d) con ptobabilità (1/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 4/(3^4);
(a, b, c, a, a, d) con ptobabilità (2/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 8/(3^4).
Complessivamente la probabilità di fare 6 viaggi è (2 + 4 + 8)/(3^4).

d) Cerco la probabilità di fare 7 viaggi.
Gli schemi possibiliu sono:
(a, b, a, a, a, c, d) con probabilità (1/3)·(1/3)·(1/3)·(2/3)·1/3 = 2/(3^5);
(a, b, a, a, c, a, d) con probabilità (1/3)·(1/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 4/(3^5);
(a, b, a, c, a, a, d) con probabilità (1/3)·(2/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 8/(3^5);
(a, b, c, a, a, a, d) con probabilità (3/3)·(2/3)·(2/3)·(2/3)·1/3 = 16/(3^5).
Complessivamente, la ptobabilità di fare 7 viaggi è (2 + 4 + 8 +16)((2^5).

e) Tra 4 e 7 viaggi ho trovato le probabilità:
p(4) =2/9; p(5) = (2+4)27; p(6) = (2+4+8)/81; p(7) = (2 + 4 + 8 + 16)/243.
Queste sono tutte del tipo:

                        n–3
                         ∑ 2^k
                        k=1
p(n viaggi) = –––––––
                       3^(n–2)

Penso allora che questa legge vada bene per un numero n qualunque di viaggi.
Mi conforta la verifica che la somma di tali probabilità per n da 4 a ∞ fa proprio 1.
Infatti, sommando i ternini con lo stesso numeratore trovoo:
2/9 + 2/27 + ... + 2/(3^k)+ ... = (2/9)·(1+1/3+1/9 + ...) = (2(9)·(3(2) =1/3.
4/27 + 4/81+ ... +4/)3^k)+ ... = (4/27)·(1+1/3+1/9 + ...) = (4(27)·(3(2) =2/9.
8/81+8/243+ ... +8/)3^k)+ ... = (8/81)·(1+1/3+1/9 + ...) = (8(81)·(3(2) = 4/27.
...
{(2^k)/[3^(k+1)]} ·(1+1/3+1/9 + ...) = (2^k)/[3^(k+1)]·(3/2) = [2^(k–1)]/3^k.
...
Sommando queste infinite somme e raccogliendo da tutte il fattore 1/3 trovo:
(1(3)·[1 + 2/3+ 4/9 + 8/27+...+ (2/3)^k + ...] = (1/3)·[1/(1 – 2/3)] = (1/3)·(3/1) = 1.

Il cercato "valore atteso" del numero di viaggi –diciamolo n – è dunque:

                      ∞      n–3
              n = ∑ n · ∑ (2^k)/[3^(n–2)]
                    n=4     k=1

Non ho ancora fatto il calcolo numerico di questa serie.
Adesso vado a farlo (con Grapher sull'altro computer) ... e vedremo se combacia con quello che uscirà dalla simulazione di astreomauh.
Intanto aspesi potrebbe controllare confrontando con la soluzione sua o di altro "mathematicus" dilettante.
–––––

–––––––––––
[Occhio! Scrivo sopra il P.S. che ho già scritto qui sotto.
Per cancellare la scritta che il sistema aggiunge in calce al testo quando si modifica, ho cancellato il messaggio (che avevo già modificato inserendo un P.S.) e poi l'ho rimesso di nuovo. Ma il primo messaggio l'avevo già inviato circa un'ora fa.]

P.S. (Editando)
Sono antato sull'altro computer a fare il calcolo con Grapher.
Naturalmente la somma per n da 4 a ∞ non si può fare!
Ma la somma da 4 a r con r crescente, cresce avvicinianandosi sempre piiù a 6,5 e, siccome il Grapher sa scrivere solo le primwe 16 cifre dopo la virgola, andando di 10 in 10 trovo
6,500 000 000 000 000 0
a partire da 70 in su!
Dunque secondo me il valore atteso del numero di viaggi è 6,5.

P.S. 2
Solo adesso mi accorgo che aspesi ha già messo in ccolor linen la soluzione di chi ha proposto il quiz!
Clicco su "QUOTA" e la leggo.
Non capisco il tipo di procedimento!
Però alla fine leggo che. secondo l'autore, la risposta giusta è 13/2.
URRAAAH! E 'proprio uguale alla mia!
Oh: un a me stesso questa voplta è giusto che me lo metta!

P.S.3 (Editando)
Sono le 9 in punto di lunedì 23/05/22.
Jo editato (per l'ennesima volta) per correggere ulteriori errori di "stUmpa"!

[aspesi]

Erasmus

A me il quiz non pare molto difficile, semprecché il mio ragionamento sia corretto.

Però alla fine leggo che. secondo l'autore, la risposta giusta è 13/2.
URRAAAH! E 'proprio uguale alla mia!
Oh: un a me stesso questa vplta è giusto che me lo metta!

te lo metto molto volentieri anch'io