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Vecchio 02-12-21, 08:56   #3341
aspesi
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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[b]
Bello 'sto quiz!
Ma tu, aspesi, ... dove vai a pescarli 'sti quiz sulla teoria della probabilità?
Penso che sei tanto ferrato in materia che qualcuno te lo inventi tu stesso.
E questa formula? L'hai individuata tu facendo dapprima come ho fatto io e meditando poi sui risultati (fino ad estrapolarla da essi) o l'hai trovata da qualche parte?

Ciao ciao.
Questo quiz mi è stato utile ... per diminuire la mia antipatia verso i quiz di probabilità.
Grazie, dunque!
–––
Una volta ero molto più sveglio, adesso perdo colpi e sono diventato anch'io lento...
Questo quiz l'ha proposto un professore di matematica molto bravo (anche se è un cattolico integralista e vax scettico...) in un gruppo Facebook.
La soluzione (per il caso proposto e da me ripetuto) l'hai trovata brillantemente anche tu, mentre la formula l'ha presentata lo stesso professore esaminando e risolvendo il caso generale.
Nessun merito particolare da parte mia

aspesi non in linea   Rispondi citando
Vecchio 03-12-21, 05:49   #3342
Erasmus
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

Quote:
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[...]
Questo quiz l'ha proposto un professore di matematica molto bravo (anche se è un cattolico integralista e vax scettico...) in un gruppo Facebook.
La soluzione (per il caso proposto e da me ripetuto) ...] l'ha presentata lo stesso professore esaminando e risolvendo il caso generale [...]
E che vorrebbe dire che quel profe è un "cattolico. integralista" [detto come detrazione]?
E che è "integralista"?
Ai mei tempi in FUCI si parlava [nel senso di "parlartne bene"] di "cristianesimo integrale" (ossia: completo, totale, "senza se e senza ma")
Penso che ... più "cattolico integrale" del papa non si possa essere!
Io sono ormai agnostico da 62 anni! Ma questo papa mi sta simpatico.
Ed ha pure esosrtato a farsi vaccinare, dando lui stesso il buon esempio!
Non mescolarmi i No vax con i cristiani, per favore! I No vax, che si professimo o no cristiani, di spirito critiano mi pare che ne abbiano pochino ...
[Però ho apprezzato molto anche il predecessore di papa Francesco (Ratzunger ... ingiustamente calunniato fin dal suo esordio come papa). Invece ... mi è sempre "puzzato" papa Wojtyla (che vedevo molto più "politicante" che "cristiano integrale" ... e non capisco in cosa sarebbe "santo")

Sccsa la digressione.
––––––––––––––––-
Torno alla "formula che ho chiamato P(n, k, p) intendendo la probabilità di vincere di chi ha (n – k) gettoni su n e probabilità p di guadagnare un gettone ad ogni esecuzione dell'evento ripetitivo con due possibili diversi esiti.

La formula va bene per ogni n intero positivo, ogni k ta 0 ed n compresi e per ogni p tra 0 e 1 trnne però p =1/2 perché allora è p/(1 – p) = 1 e 1^x fa 1 per ogni x per cui la formula assune la forma (1 - 1)/(i – 1) = (0/0.
Se però si calcola P(n,k, 1/2) come ho fatto io (ricorsivamente implicando tutte le situazioni, cioè per ogni possibile k) si trova, come è da aspettarsi
P(n, k, 1/2) = (n – k)/n.

E' un peccato lasciare quella discontinuità in quella funzione!

Si può, però, facilmente eliminare la discontinuità assumendo che p differisca da 1/2 di un infinitesimo δ/4 e calcolando appunto il limite di P(n, k, 1/2 – δ/4) al tendere di δ a zero. Allora abbiamo:
Codice:
                           [NB. Ometto di ripetere la scrittura  lim
                                                                             δ→ 0 ]
                          (1 – δ/2)^n     (1 – δ/2)^k
                          ––––––––––  – ––––––––––
                           (1 + δ/2)^n    (1 + δ/2)^k     (1 – δ)^n – (1 – δ)^k
P(n,k,1/2) = lim  ––––––––––––––––––––––– ≈ –––––––––––––––––– ≈
                 δ→ 0         (1 – δ/2)^n                         (1 – δ)^n – 1 
                                 ––––––––––  –  1
                                (1 + δ/2)^n   
 
        (1– nδ) –  (1– kδ)       –nδ + kδ      n – k
   ≈ ––––––––––––––––  = –––––––– = –––––.
           (1– nδ) –  1                 –nδ             n
–––
__________________
Erasmus
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«SI' alla "Costituzione Europea" federale, democratica e trasparente!»

Ultima modifica di Erasmus : 03-12-21 08:37.
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Vecchio 06-12-21, 11:25   #3343
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Aldo, alla guida di un fuoristrada, deve andare da A a B, attraversando, prima, un tratto sterrato (consumo costante di carburante Cst=0,25 L/km) e poi, un tratto sabbioso (consumo Csa=0,5 L/km).

Individuare il percorso che minimizza il consumo di carburante e calcolare tale consumo (L minimi)



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Vecchio 06-12-21, 16:12   #3344
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Da A si attraversa diagonalmente lo sterrato fino al km 8,7777477 (valore ottenuto semplicemente per approssimazioni successive) e poi si procede cambiando direzione sulla sabbia e puntando a B. In tal modo il consumo minimo di carburante sarà complessivamente 5,724313034 L.

Erasmus farebbe così:




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Vecchio 07-12-21, 22:06   #3345
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Una botte è piena di vino puro. Ogni giorno se ne attingono due secchi, che vengono sostituiti con due secchi d'acqua. In capo a sei giorni, la botte è piena per metà d'acqua e per metà di vino.

Qual era la sua capacità?

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Vecchio 12-12-21, 14:04   #3346
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Una botte è piena di vino puro. Ogni giorno se ne attingono due secchi, che vengono sostituiti con due secchi d'acqua. In capo a sei giorni, la botte è piena per metà d'acqua e per metà di vino.

Qual era la sua capacità?
[E che c'entrano le "estrazioni casuali"? Qua di casuale non c'è nulla!]

Se non ho fatto "errori di sbaglio" la capacità della botte è di circa 18 secchi ed un terzo [di secchio].
Teoricamente;
Capacità della botte in secchi: 2/[1– (1/2)^(1/6)] secchi ≈ 18,331590... secchi
––––––––––-
La capacità della botte sia di n secchi.
Il volume d'acqua nella miscela della botte alla fine dell'm-esimo giorno sia di V(m) secchi.
Alla fine del giorno dopo diventa:
V(m+1) = V(m) – (2/n)V(m) + 2 (*)
Ponendo k = 1– 2/n la (*) dà;
Per ogni m intero da 0 a 5 compresi V(m+1) = k·V(m) + 2 (**)

Alla fine del sesto giorno deve essere V(6) = n/2 (***)
Si noti che se è k = 1– 2/n allora è n = 2/(1–k), per cui dalla (**) abbiamo:
v(1) = 2;
V(2) = 2·k + 2;
V(3) = 2·k^2 + 2·k + 2;
V(4) = 2·k^3 +2·k^2 + 2·k + 2;
V(5) = 2·k^4 +2·k^3 +2·k^2 + 2·k + 2;
V(6) = 2 k^5 + 2·k^4 +2·k^3 +2·k^2 + 2·k + 2 = 2(1–k^6)/(1–k). (****)
Deve essere V(6) = n/2 cioè – in base alla (***) – V(6) =1/(1 – k) e quindi dalla (****)
2[(1–k^6)/(1–k) = 1/(1 – k) ==> k^6 = 1/2 ==> k = (1/2)^(1(6) ==>
==> n = 2/(1 – k) = 2/[1 – (1/2)^(1/6) = 2/(1–0,8908987...) = 2/0,10910128... ≈ 18,331590 ...
–––––––-
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Vecchio 12-12-21, 14:55   #3347
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Quote:
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Deve essere V(6) = n/2 cioè – in base alla (***) – V(6) =1/(1 – k) e quindi dalla (****)
2[(1–k^6)/(1–k) = 1/(1 – k) ==> k^6 = 1/2 ==> k = (1/2)^(1(6) ==>
==> n = 2/(1 – k) = 2/[1 – (1/2)^(1/6) = 2/(1–0,8908987...) = 2/0,10910128... ≈ 18,331590 ...
–––––––-


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Vecchio 20-12-21, 09:03   #3348
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Vecchio 20-12-21, 17:56   #3349
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Non ho ben capito perché. Ho fatto qualche tentativo al PC. Si vede che mentre gli altri oggetti possono variare di peso, il quadratino giallo non può pesare che 7 grammi.
A può variare da 0 a circa 9 grammi.
B può variare da 5 a circa 14 grammi.
C può variare da 0 a quasi 18 grammi.


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Vecchio 20-12-21, 18:14   #3350
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Predefinito Re: Estrazioni casuali

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Soluzione: 7 grammi

Non ho ben capito perché. Ho fatto qualche tentativo al PC. Si vede che mentre gli altri oggetti possono variare di peso, il quadratino giallo non può pesare che 7 grammi.
A può variare da 0 a circa 9 grammi.
B può variare da 5 a circa 14 grammi.
C può variare da 0 a quasi 18 grammi.


In effetti, il quadratino giallo si può determinare (il suo peso) a differenza degli altri (infatti le incognite sono 4 e le equazioni o pesate 3). Però, mi spiace ma non pesa 7 grammi ...

aspesi non in linea   Rispondi citando
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