Easy quiz(zes): but mathematical!

[aspesi]

La mia soluzione è come quella di Erasmus (quella di astromauh è solo leggermente diversa)

C'è anche questa:
ABCDE è un pentagono (concavo), per cui la somma dei suoi angoli è 540°
Angolo alfa = 540 - 45 (C) - 270 (B) - 40 (A) - 90 (E) - 70 (D) = 25°

[aspesi]

Questo non è pe me

[astromauh]

nino280

Che vuol dire che le ellissi sono simili?

Vuol dire che hanno la stessa eccentricità (schiacciamento, rapporto tra i due assi) che è ciò che caratterizza le ellissi, oltre alla lunghezza dell'asse maggiore, che però in questo caso è diversa perché un ellissi è più grande dell'altra.

[nino280]

Ok.
Avevo travisato.
Ciao
Ma sono penso giustificato.
Tempo fa avevo tentato di disegnare due ellissi, una grande ed una piccola dentro, ma con l'asse maggiore diciamo sulla stessa retta, non come ora che sono messe a 90°
Ed ero andato a controllare se riuscivo a mantenere il parallelismo fra le due ellissi.
Mi spiego meglio.
Volevo fare in modo che la distanza fra una ellisse e l'altra fosse costante.
Avete presente la corona circolare? E' costante (fra due cerchi la loro distanza radiale)
Ebbene con le ellissi non ci ero riuscito.
Ciao

[nino280]

Questo è solo l'inizio.
Diciamo L' A B C della storia.
Anzi è solo la A
In pratica devo innanzitutto cercare di capire che fa GeoGebra.
La domanda è:
Dato una ellisse, mi dà l'area?
Allora ne disegno diciamo una veramente a caso.
I sui valori sono i fuochi a 10 - 10 vale a dire distanza 20 e diametro minore anche lui 20
Lui mi restituisce un 200
Ed io non so cosa sia questo 200.
Se dovesse essere l'area siamo a buon punto.
Un pò di più che la A
Ho soltanto per ora invertito l'immagine.
Allora passo successivo, ho disegnato anche l'altra ellisse.
Caso vuole che mi restituisce di questa ellisse più grande un 400
Ora devo andare in rete farmi dare l'area dell'ellisse che non conosco, poi sostituire i valori, se mi da 200 e 400 Ok
Cancello tutto e riprendo tutto da capo.
Metto ora i fuochi variabili perchè per ora sono fissi.
Ci metto anche una qualche formula che fa le differenze fra le aree , mescolo tutto bene bene e dovrei ottenere il risultato del quiz.

Ciao

[nino280]

Cancello tutto quello che ho scritto
200 e 400 non sono le aree delle ellissi.
L'Area si trova se ho visto bene semidiametro maggiore x semidiametro minore x PI
Non vorrei dare cattive o sbagliate informazioni
Ciao

[aspesi]

aspesi

ì

Questo è il valore dell'eccentricità delle due ellissi

= (9+RADQ(69)/18)^(1/3) + (9-RADQ(69)/18)^(1/3) = 1,3247179572447...

Scommetto che Erasmus non ce la fa a risolvere questo problema...

[nino280]

I casi sono due:
o io mi ricordo una cosa sbagliata, oppure io mi ricordo una cosa sbagliata.
Nel senso che io mi ricordavo che l'eccentricità va da 0 a 1
Cioè Zero virgola qualcosa.
Qui si dice che è maggiore di 1
Ad ogni modo, nessun problema di sorta: basta fare il reciproco di quel numero.
Ciao

[nino280]

Ho poi scoperto che cosa mi restituisce GeoGebra dopo che io ne ho disegnata una.
Mi dice che 2X^2 + Y^2 = costante
Ed allora metto un punto a caso sulla ellisse più grande, è il punto P
Ha coordinate x = 11,05579 e y = 12,47153
Applico la formuletta e la vedete scritta anche sul disegno.
Ecco che ho scoperto il valore che mi restituisce Geo, vi ricordate quel 400 che non capivo che cosa era?
Ciao

[Erasmus]

aspesi

Questo è il valore dell'eccentricità delle due ellissi
= (9+RADQ(69)/18)^(1/3) + (9-RADQ(69)/18)^(1/3) = 1,3247179572447...

Scommetto che Erasmus non ce la fa a risolvere questo problema... .

Quanto sei disposto a scommettere? Di nuovo 100 € come quella volta che hai perso la scommessa?
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Intanto:
a) Nessuna ellisse ha eccentricità maggiore di 1
Questo dovrebbero saperlo anche i periti (se si ricordano un minimo di geometria analitica).
b) Il problema è facile (almeno per Erasmus... e dovrebbe essere abbastanza facile anche per un perito, sempre se si ricorda qualcosa di analitica).
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Richiami sull'ellisse
L'eccentricità di un'ellisse è
e = c/a
dove a è metà del diametro maggiore (cioè della distanza tra i due vertici) e c è metà della distanza tra i fuochi.
La metà del diametro minore, detta di solito b, vale
b = √(a^2 – c^2) = a·√(1 – e^2)

@ aspesi Ti faccio risparmiare i 100 € che perderesti con la scommessa.
Soluzione del quiz
Detta e la richiesta eccentricità delle due ellissi [simili], si ponga
x = √(1 – e^2)
E' questo il rapporto tra il diametro minore ed il diametro maggiore
Si dimostra che , per le ellissi del quiz, risulta
x^3 +x^2 – 1 = 0.
Quest'eqazione ha una sola soluzione reale.
Si trova:
x ≈ 0,754877666
e quindi, essendo x = √(1 – e^2),
e = √(1 – x^2) ≈ 0,655865618
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Discussione
E' evidente che il diametro maggiore dell'ellisse minore (di area bianca) è lo stesso diametro minore dell'ellisse maggiore (di area rossa)
Ed è pure evidente che il diametro minore dell'ellisse minore (di area bianca) è il diametro del cerchio in essa inscritto (di area celeste)

Supponimo, per comodità, che sia a = 1 il semidiametro maggiore dell'ellisse più grande.
Allora il suo semidiametro minore è
b = a·√(1– e^2) = 1·√(1– e^2) = √(1 – e^2).
Questo è anche il semidiametro maggiore dll'ellisse minore il cui semidiametro minore (essendo essa simile alla maggiore) è
b·√(1 – e^2) = √(1– e^2) · √(1 – e^2) = 1– e^2.
Il raggio del cerchio celeste – diciamolo r – è lo stesso semidiametro minore dell'ellisse più piccola; e quindi è
r = 1 – e^2.
L'area dell'ellisse più grande è
π·a·b = π·1·√(1–e^2)= π·√(1–e^2)
L'area dell'ellisse più piccola è
π·b·r = π·√(1 – e^2)·(1–e^2) = π·[(1 – e^2)^(3/2)].
L'area rossa è dunque
πab – πbr = πb(a – r) = π√(1–e^2).[1–(1–e^2)] = π(e^2)√(1–e^2).
L'area celeste è π(1–e^2)^2.
Il testo chiede dunque quale deve essere e affinché sia
π(e^2)√(1–e^2) = π(1 – e^2)^2 ==> e^2 = (1–e^2)^(3/2) )*)
Se poniamo
x = √(1 – e^2). (**)
abbiamo
e^2 = 1 – x^2
e la (*) diventa
1– x^2 = x^3 <==>x^3 + x^2– 1 = 0 (***)
Risolta dunque la (***) – che ha una sola soluzione reale –; e si ha poi
e ^= √(1 – x^2)
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P.S.
Il numero che hai scritto come eccentrìicità – che chiamo e – è in realtà il reciproco del numero che ho chiamato x; è cioè:
1/x = 1/√(1–e^2).