Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[Mizarino]

Erasmus

Quale deve essere il rapporto R/H [tra il rggio R della base del cono e la sua altezza H] affinché, tra i cilindri "incappellati" dal cono, il cilindro di volume massimo sia quello equilatero?

Rispondo tirando ad indovinare, in base ad una pura intuizione.

Non è che il cono+cilindro, visti in proiezione laterale, sono un triangolo equilatero con inscritto un quadrato che poggia sulla base del triangolo?

[aspesi]

Erasmus

Domanda:
«Qual è il rapporto R/H [tra raggio della base e altezza] dei coni per i quali il cilindro inscritto a volume massimo è equilatero?»
––––––

Senza pensarci troppo
con R/H = 0,25 il cilindro inscritto a volume massimo dovrebbe essere quello equilatero (d=h)



Esempio
Sia Per il cono -----> D=10 e H=20
Quindi R_cono/H = 0,25

Si ha per il cilindro inscritto:
d=5 .... h=10 ----->volume=62,5
d=6 .... h=8 ----->volume=72
d=20/3 .... h=20/3 ----->volume=74,074... max
d=7 .... h=6 ----->volume=73,5
d=8 .... h=4 ----->volume=64

[Erasmus]

Mizarino

Rispondo tirando ad indovinare, in base ad una pura intuizione.

Non è che il cono+cilindro, visti in proiezione laterale, sono un triangolo equilatero con inscritto un quadrato che poggia sulla base del triangolo?

No!
Se la sezine piana del cono per il suo asse fosse un triangolo equilatero il rapporto R/H sarebbe 1/√(3). Invece ... è molto di meno! .
Questo perché non è il rettangolo inscritto nel triangolo equilatero che deve avere l'area massima, ma è il cilindro inscritto nel cono che deve avere il volume massimo. E passando da 2 a 3 dimensioni, mentre l'altezza del tuo rettangolo resta lineare, la larghezza del tuo rettangolo diventa di secondo grado!
–––––––––-
In generale, se H è l'altezza del cono, R il raggio della sua base, h l'altezza di un cilindro inscritto nel cono ed r il suo raggio, hai [dalla figura che hai pensato tu]:
(H – h)/r = h/(R – r) ⇔ h = (H/R)·(R – r)
per cui il volume del cilindro viene (in funzione del possibile suo raggio tra 0 ed R esclusi):
V = π(H/R)(Rr^2 – r^3).
Come ti insegnava il profe al Liceo Scientifico, fai:
dV/dr =π(H/R)(2Rr – 3r^2); dV/dr = 0 ⇒ r= 0 ∨ r = (2/3)R.
Il massimo volume ce l'hai dunque per r = (2/3)R e allora h = H/3.
Se tale cilindro deve essere equiilatero deve essere h = 2r cioè
H/3 = 2· (2/3)R ⇔ R/H = 1/4.

aspesi

Senza pensarci troppo
con R/H = 0,25 il cilindro inscritto a volume massimo dovrebbe essere quello equilatero (d=h)

Ma ... come hai fatto a pensare proprio 1/4?
Dai: prima hai smanettato un po' con la matita su un foglio di carta... e così hai visto di colpo la proporzione (H – h)/r = h/(R – h) ... e allora hai subito verifivato con un esempio che va bene H = 4R.
––––––-

[Erasmus]

nino280

Scusami Erasmus, non ci sono ancora.
Mi è parso di capire che una volta parli di un cilindro incappellato ed un'altra volta di cilindro inscritto nel cono.
In pratica per cilindro incappellato, io avevo pensato ad un cilindro ed un cono che hanno lo stesso diametro cioè attaccati (base cono con diametro alto del cilindro) Insomma forse ho frainteso ma avevo pensato ad un cono messo sopra al cilindro [...]

Non hai tutti i torti a pensare "incappellato" come hai pensato tu!
Ma io avevo esplicitamente scritto:
«Mi piace dire che i cilindri che tu dici "inscritti" nel cono sono "inappellati" dal cono, nel senso che il cono può pensarsi appoggiato in una sua direttrice sulla circonferenza della base superiore di ciascuno di questi cilindri»
Vedi che NON parlo "una volta di cilindro incappellato ed un'altra di cilindro inscritto", ma che per "incappellato" intendo quello che aspesi chiama "inscritto". E dico che l'appoggio del cono sul cilindro sta su una direttrice del cono, non sulla circonferenza della base del cono.
Facciamo così: pensa che il cappello sia troppo grande ... in modo da scendere fino sulle spalle!
[Una testa "incappellata" io me la vedo tutta dentro nel cappello!]
–––


P.S. (Editando).
Se cerchi bene nel mio "post" del "quizzetto" ci trovi anche la risposta!
[Prova a cliccarci QUOTA per vedere di preciso cosa ho scritto]

[aspesi]

Erasmus

Ma ... come hai fatto a pensare proprio 1/4?
Dai: prima hai smanettato un po' con la matita su un foglio di carta... e così hai visto di colpo la proporzione (H – h)/r = h/(R – h) ... e allora hai subito verificato con un esempio che va bene H = 4R.
––––––-

Ho immaginato subito che per avere i volumi, R lavora su una superficie (quindi un ^2) e H su una dimensione lineare; quindi il verosimile D/H = 1 ---->R/H =1/2 doveva essere elevato al quadrato (cioè (1/2)^2)

La conferma copn un esempio numerico

[aspesi]

[nino280]

Se per 2S e 3S intendiamo che le due aree sono i 2/3 dell'altra, allora trovo che il valore
AB = BC = BE = 11,18 circa.
Ciao

[aspesi]

nino280

Se per 2S e 3S intendiamo che le due aree sono i 2/3 dell'altra, allora trovo che il valore
AB = BC = BE = 11,18 circa.
Ciao

Bravo

5RADQ(5) -----> 11,18033989

[Erasmus]

Anche questo non è certo di livello molto elevato!
Si tratterà infatti di risolvere una equazione biquadratica.
––––––
Posto x il lato incognito del quadrato si ha subito 3S + 2S = 5S = x^2 ⇔ S = (x^2)/5.
Considerando il triangolo DEB di lati DE = 5, EB =x e BD = √(2)·x si osservi che la differenza S tra le aree di colore diverso è il doppio dell'area di questo triangolo.
Cioè:
Area(DEB) = S/2 = (x^2)/10.
Ricordando che, in generale, il quadrato dell'area di un triangolo di lati (a, b, c) è
{2[(a^2)(b^2) + (b^2)(c^2) + (c^2)(a^2)] –(a^4 + b^4 + c^4}/16,
per a=5, b = x e c = √(2)x troviamo immediatamente l'equazioone:
{2[25x^2 + 50x^2)+2x^4)] – (625 + x^4 + 4x^4)}/16 = [(x^2)/10]^2 ⇔
⇔ 150·x^2 – x^4 – 625 = (4/25)·x^4 ⇔ 29·x^4 – 6·625·x^2 + 25·625 =0. (*)
Posto t = (x^2)/125, l'ìequazione (*) [dividendo tutto per 125^2] diventa
29·t^2 – 30·t + 1 = 0 ⇔ t=1 ∨ t= 1/29. Ed essendo t = x^2/125:
x = 5√(5) ≈ 11,1803398875 ∨ x=5√(5/29) ≈ 2,07613699634.
La soluzione minore di 5 va rifiutata percHè allora E non sarebbe un punto interno al quadrato ABCD.
Dunque: AB= BC =BE = 5√(5) ≈ 11,18034.
–––

[nino280]

Erasmus

Anche questo non è certo di livello molto elevato!
Si tratterà infatti di risolvere una equazione biquadratica.
––––––

Infatti, è robetta da seconda media, massimo massimo di quinta elementare per essere buoni.
Quello che non si capisce è per quale motivo tu perdi il tuo tempo dietro a questi Quiz infantili.
Quando potresti fare dell'altro.
Ciao