Estrazioni casuali

[aspesi]

astromauh

male = 11107966
male = 11,108 % Il giocatore perde 2 euro

bene = 88892034
bene = 88,892 % Il giocatore vince 38 euro

Probabilità di perdere possedendo 1 sola moneta:

p = 1/4 + 3/4p^2

da cui
3/4p^2 - p + 1/4 = 0
3p^2 - 4p + 1 = 0

p = (4 +- RADQ(16-12))/6

p=1 se il primo colpo è negativo

p = 1/3 ----> soluzione generale

Quindi, se si parte avendo 2 monete si perdono tutte e due con
p^2 = 1/9

[aspesi]

Duello a tre.
Tre avversari: Ascani, Brunetti e Colli, sono impegnati in un duello a tre.
Ogni avversario ha un colpo a disposizione: prima Ascani, poi Brunetti ed infine Colli. Terminato il primo turno, i sopravvissuti hanno diritto ad ulteriori colpi nella stessa sequenza.

Per ogni sfidante il miglior risultato è essere l’unico sopravvissuto. Il secondo miglior risultato è di essere uno dei due sopravvissuti. Il terzo risultato è rappresentato dalla possibilità che nessuno muoia. Il peggiore è sicuramente quello di venire uccisi.

Si sa che: Ascani non è un buon tiratore e ha soltanto il 30% di possibilità di colpire la persona a cui mira; Brunetti tira molto meglio raggiungendo una precisione dell’80%; Colli è un tiratore nato non sbaglia mai un colpo.

Qual è la miglior strategia di Ascani nel primo turno?
Chi ha la maggior possibilità di sopravvivenza e quali sono le probabilità di ciascuno di sopravvivere?

[aspesi]

La lotteria del paese mediamente vende 2000 biglietti e vi sono 50 premi assegnati ai fortunati vincitori.
Ma Gianni fa notare a Marco che negli ultimi 5 anni in ogni estrazione vi erano almeno due vincitori di premi con numero consecutivo e la cosa per lui non è spiegabile se non con un estrazione truccata.

I sospetti di Gianni sono fondati?

[Mizarino]

A me verrebbe che la probabilità che l'estrazione non dia alcuna coppia di numeri consecutivi è circa 1/2. (*) Da cui quella che ci sia almeno una coppia di consecutivi è pure 1/2. Che la cosa si verifichi per 5 anni consecutivi avrebbe una probabilità 1/32. Un po' sospetta ma verosimile anche senza trucchi.

(*) Siccome ad ogni successivo numero estratto i casi favorevoli (alla non contiguità) diminuiscono di 2 unità (i numeri adiacenti a quello estratto) e quelli possibili diminuiscono di 1, verrebbe dal prodotto (1997/1999)*(1995/1998)*(1993/1997)*...* (1901/1951)

[aspesi]

Mizarino

A me verrebbe che la probabilità che l'estrazione non dia alcuna coppia di numeri consecutivi è circa 1/2.

E' molto meno.
Dicevi tu di ragionare su agglomerati minori...

Ad esempio, con l'estrazione di 5 numeri su 10 biglietti (da 1 a 10), le combinazioni totali sono C(10,5) = 252 e quelle senza consecutività sono solo 6.
Se i biglietti fossero 11, i 5 estratti non consecutivi sono 21.
Quindi...

[Mizarino]

Ho usato invece la forza bruta...
La probabilità che in una singola tornata della lotteria siano estratti almeno due numeri consecutivi è 0.715.
Perciò la probabilità che ciò si verifichi per 5 tornate consecutive è 0.187, del tutto verosimile.

P.S. Per inciso, la probabilità che in una singola tornata siano estratti almeno 3 numeri consecutivi è circa 0.028.

[aspesi]

Mizarino

Ho usato invece la forza bruta...
La probabilità che in una singola tornata della lotteria siano estratti almeno due numeri consecutivi è 0.715.
Perciò la probabilità che ciò si verifichi per 5 tornate consecutive è 0.187, del tutto verosimile.

Giusto.

Precisamente 100 - 28,48191 = 71,51809 %

C(N-n+1,n) sono le combinazioni di n numeri senza consecutività su N numeri totali (da 1 a N)

Quindi la probabilità di nessuna consecutività di 50 estratti su 2000 biglietti è C(1951,50) = 5,6855E+99 casi favorevoli rispetto ai C(2000,50) = 1,9962E+100 casi totali, che corrisponde al 28,48191%

Ne consegue che la probabilità che per 5 anni di fila le estrazioni abbiano presentato almeno due numeri consecutivi è (1-0,2848191)^5 = 18,71%

valore come hai detto verosimile.



(Anche per i 3 numeri consecutivi avevo trovato una formula (quando facevo i sistemi per il totocalcio e il lotto), ma adesso non la ricordo...

[Mizarino]

Per 4 consecutivi siamo a un po' più di 6 su 10mila.

[aspesi]

Mizarino

Per 4 consecutivi siamo a un po' più di 6 su 10mila.

Ho trovato (da una mia vecchia discussione) una formula valida per calcolare le combinazionni per max 2 numeri consecutivi su N numeri presi a gruppi di n=10 (cioè 10 biglietti estratti).

C(N_max2cons,10) = C(N-9,5) + 15C(N-9,6) + 35C(N-9,7) + 28C(N-9,8) + 9C(N-9,9) + C(N-9,10)

Es. Per N=2000 dovrebbero esserci 2,75849E+26 combinazioni e dividendo per C(2000,10) la probabilità è = 0,99982

Ma sappiamo che le combinazioni con nessuna consecutività sono C(1991,10) = 2,637E+26 e quindi
la probabilità per esattamente 2 consecutivi (anche multipli) risulta 0,044018

Invece il numero delle sestine (n=6) con consecutività minima = 4 dovrebbe essere:
C(N_min4,6) = (N-4)(N-5)^2/2

Per N = 2000 e n=6 si ha
C = 3,972E+09 (p=4,5022E-08)

[aspesi]

Abbiamo un mazzo ben mescolato di 52 carte (13 carte per ciascuno dei 4 semi).

Quante carte vengono distribuite in media prima che esca il primo asso?