Easy quiz(zes): but mathematical!

[Erasmus]

a) Dimostrare, senza far uso del calcolo differenziale, che l'area di un rettangolo, a parità di perimetro, è massima se il rettangolo è un quadrato.
Oppure che il perimetro di un rettangolo, a parità di area è minimo se il rettangolo è un quadrato.

b) Dati due numeri reali positivi x ed y, si indichino con
• Ma la media aritmetica (x+y)/2
• Me la media efficace √[(x^2 + y^2)/2]
• Mg la media geometrica √(xy)
• Mh la media armonica 2/(1/x + 1/y).
Se x = y = M, ogni media vale ovviamente M
Se x è diverso da y, si mettano in ordine crescente le 4 medie provando la validità dell'ordine.

c) Dare una interpretazione geometrica (chiara ed elegante!) del fatto che, se x ed y sono numeri reali positivi, allora:
√(xy) ≤ (x+y)/2

d) Una barra rettilinea (pesante, rigida e a densità uniforme) lunga L è posta su un piano orizzontale rigido e liscio (ossia: se la barra si muove striasciando, non fa attrito!). Sulla barra sono montati (ancorati rigidamente) due piccoli "razzi", (ossia dispositivi capaci di gettare gas propellente per combustione di speciale combustibile. I "razzi sono identici e sono montati uno ad una estremità e l'altro accanto ad una distanza L/4 dalla stessa estremità. Quando sono accesi, gettano il gas orizzontalmente ma sempre perpendicolarmente alla barra e sempre uno in un verso e l'altro nel verso opposto. I razzi vengono accesi simultaneamente a barra ferma e le forze che essi applicano alla barra sono, per tutto il tempo del loro funzionamento: orizzontali, ortogonali alla barra, di verso opposto ma di intensità uguale e costante.
La massa dei razzi non è trascurabile: ma si suppone trascurabile il calo di massa dovito all'espulsione del gas propellente.
Dire come si muove la barra durante l'azione dei due "razzi".
NB. La figura che segue ... ha la pretesa di schematizzare una istantanea del dispositivo durante il suo funzionamento.

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           | |       f
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  <–––––––<====
  -f 

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[Mizarino]

Erasmus

a) Dimostrare, senza far uso del calcolo differenziale, che l'area di un rettangolo, a parità di perimetro, è massima se il rettangolo è un quadrato.

Caro Erasmus, visto che ogni tanto rimproveri un mio presunto disinteresse, rispondo al quiz (in genere io rispondo se e solo se - per dirla con stile matematico, intravedo la soluzione in meno di cinque minuti). Ecco dunque la "mia" soluzione.
Siano A e B i lati del rettangolo, di cui A è il minore, e sia L la loro media aritmetica, e X la metà della differenza (B-A).
Il perimetro P del rettangolo è 2*(A+B), e si può scrivere come 2*(L+X + L-X) ovvero 4*L.
L'area S sarà A*B, e dunque sarà (L+X)*(L-X) = L^2 - 2*L*X + X^2.
Poiché si ha sempre X < L, S sarà sempre minore di L^2 per qualsiasi X > 0, e sarà massima, ovvero uguale ad L^2, per X=0, quando abbiamo un quadrato.

[astromauh]

Mizarino

Caro Erasmus, visto che ogni tanto rimproveri un mio presunto disinteresse, rispondo al quiz (in genere io rispondo se e solo se - per dirla con stile matematico, intravedo la soluzione in meno di cinque minuti). Ecco dunque la "mia" soluzione.
Siano A e B i lati del rettangolo, di cui A è il minore, e sia L la loro media aritmetica, e X la metà della differenza (B-A).
Il perimetro P del rettangolo è 2*(A+B), e si può scrivere come 2*(L+X + L-X) ovvero 4*L.
L'area S sarà A*B, e dunque sarà (L+X)*(L-X) = L^2 - 2*L*X + X^2.
Poiché si ha sempre X < L, S sarà sempre minore di L^2 per qualsiasi X > 0, e sarà massima, ovvero uguale ad L^2, per X=0, quando abbiamo un quadrato.

Scusa, ma non hai sbagliato un passaggio?

(L+x)*(L-x)= L^2 - x^2

[aspesi]

Erasmus

a) Dimostrare, senza far uso del calcolo differenziale, che l'area di un rettangolo, a parità di perimetro, è massima se il rettangolo è un quadrato.
Oppure che il perimetro di un rettangolo, a parità di area è minimo se il rettangolo è un quadrato.

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Si deve dimostrare che:
a*b = max quando a=b

Poniamo:
a > b
e:
x = a - b
quindi:
b = a-x

Si può scrivere:
a* b = a * (a - x) = a^2 -a*x

Poiché abbiamo ipotizzato che x è positivo (a>b) e anche a è positivo, di conseguenza:
a*x > 0

Quindi a^2 = max quando a*x = 0
e questo si verifica solo quando
x = 0
cioè a = b



Aspetto ancora qualche ora a dare la mia soluzione sul cow boy e la fiala dell'antidoto contro il veleno del serpente


Nino

[Mizarino]

astromauh

Scusa, ma non hai sbagliato un passaggio?
(L+x)*(L-x)= L^2 - x^2

Sì, certo, ho sbagliato per rincoglionimento mattutino post-sveglia ...
Però correggendo l'errore il ragionamento ne esce indenne ... la superficie è massima quando x è minimo, cioè zero ...

[aspesi]

Erasmus

b) Dati due numeri reali positivi x ed y, si indichino con
• Ma la media aritmetica (x+y)/2
• Me la media efficace √[(x^2 + y^2)/2]
• Mg la media geometrica √(xy)
• Mh la media armonica 2/(1/x + 1/y).
Se x = y = M, ogni media vale ovviamente M
Se x è diverso da y, si mettano in ordine crescente le 4 medie provando la validità dell'ordine.

NON MI PIACCIONO TANTO QUESTE COSE SCOLASTICHE

Comunque:

Se x e y = 0
Le medie: aritmetica, efficace e geometrica sono = 0, quella armonica è N.D.

Se x o y = 0
L'ordine è questo:
Media efficace > 0 ** Media geometrica = 0 ** Media aritmetica > 0 o < 0 a seconda del segno del termine non nullo ** Media armonica = N.D.

Se x > 0 e y > 0
L'ordine è questo:
Media efficace > media aritmetica > media geometrica > media armonica

Se x > 0 e y < 0 (o viceversa):
Media efficace > media aritmetica > media armonica (media geometrica = N.D.)

Se x < 0 e y < 0
Media efficace > media geometrica > 0 > media armonica > media aritmetica

Esaminiamo il caso x>0 e y>0 :

Media efficace > Media aritmetica:
Facciamo i quadrati
(x^2 + y^2)/2 > ((x+y)/2)^2 = (x^2 + y^2 +2xy)/4
(2x^2 + 2y^2) > (x^2 + y^2 + 2xy)
(x^2 + y^2) > 2xy

Infatti, se a= b + c (c>0)
b^2 + c^2 + 2bc + b^2 > 2b^2 + 2bc
2b^2 + c^2 > 2b^2 come volevasi dimostrare

Media aritmetica > Media geometrica:
(x + y)/2 > radq(xy)
Facciamo il quadrato:
(x^2 + y^2 + 2xy)/4 > xy
(x^2 + y^2) > 2xy
come già dimostrato prima

Media geometrica > Media armonica:
radq(xy) > 2/(1/x + 1/y) = 2xy/(x+y)
Facciamo il quadrato:
xy(x+y)^2 > 4x^2y^2
(x^3y + 2x^2y^2 + xy^3) > 4x^2y^2
(x^2 + y^2) > 2xy
come già dimostrato prima


Nino

[aspesi]

Erasmus

c) Dare una interpretazione geometrica (chiara ed elegante!) del fatto che, se x ed y sono numeri reali positivi, allora:
√(xy) ≤ (x+y)/2

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Non mi cimento nella dimostrazione geometrica

Faccio il quadrato:
xy <= (x^2 + 2xy + y^2)/4
2xy <= (x^2 + y^2)
come già ampiamente dimostrato nel messaggio precedente

Sono stanchissimo!
Per il problema d)... lascio la palla a qualcun altro...

Ciao
Nino

[Erasmus]

Erasmus

a) Dimostrare, senza far uso del calcolo differenziale, [1] che l'area di un rettangolo, a parità di perimetro, è massima se il rettangolo è un quadrato.
Oppure [2] che il perimetro di un rettangolo, a parità di area è minimo se il rettangolo è un quadrato.

Detti x ed y i lati, p il semiperimetro e A l'area del rettangolo abbiamo
x + y = p
xy = A
Da qui, quadrando e combinando, abbiamo:
p^2 = (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy;
4A = 4xy;
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p^2 – 4A = x^2 + y^2 – 2xy = (x–y)^2 ≥0;

(*) A =xy =[p^2 – (x–y)^2]/4.

Siccome x ed y sono entrambi positivi risulta A>0
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[1] Per p costante, siccome (x–y)^2 ≥ 0, ricaviamo dalla (*) che il massimo di A si ha per
|x–y| = 0 <=> x=y (rettangolo-rombo = quadrato)

[2] Per A costante, scritta la (*) nella forma equivalente:

(**) 2p = 4√[A + (|x–y|/2)^2],

essendo |x–y|^2 ≥ 0, ne seque che il perimetro 2p è minimo per
|x – y| = 0 <=> x=y (rettangolo-rombo = quadrato).

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P.S.
Che bello che l'Illustrissimo sia "quasi" infallibile ma non del tutto!
E che bello lui pure possa avere qualche defaillance al risveglio!
Vuoi vedere che non è un vero alieno e quindi gli sarebbe impossibile tornarsene su Orione?
E che jella, (per lui; e che fortuna per Astromauh) che a correggerne un errore sia un astrologo!!!

Miza: quando sbagli ... ti voglio persino bene, ti voglio!
Smack to You, Sir!
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[Erasmus]

Mizarino

Sì, certo, ho sbagliato per rincoglionimento mattutino post-sveglia ...

Aah ... così?
Ti interessi ai miei 'post' solo quando sei rincoglionito ?

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[Erasmus]

aspesi

[...]
Se x e y = 0
[...]
Se x o y = 0

Erasmus

b) Dati due numeri reali positivi x ed y, ...

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